Session normale 2017

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On considère les nombres complexes `a` et `b` tels que `a= sqrt(3) +i ` et ` b = sqrt(3) -1 + (sqrt(3)+1)i `

1a) Vérifier que ` b =(1+i)a `

b) En déduire que `abs(b)=2sqrt(2)` et `arg(b)= (5pi)/(12)[2pi]`

c) Déduire de ce qui précède que ` cos((5pi)/(12)) = (sqrt(5) -sqrt(2))/4 `

2) le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct `(O, vec(e_1), vec(e_2))`

On considère les points `A` et `B` d'affixes respectives `a` et `b` et le point `C` d'affixe `c` telle que ` c = -1+isqrt(3)`

a) Vérifier que ` c= ia ` et on déduire que `OA = OC text{ et } (bar( vec(OA) , vec(OC))) = (pi)/2[2pi]`

b) Montrer que le point `B` est l image du point `A` par la translation de vecteur `vec(OC)`

c) En déduire que le quadrilatère `OABC` est un carré

1a) Vérifier que ` b =(1+i)a `

On a `(1+i)a = (1+i)(sqrt(3) +i) `

` = sqrt(3) + sqrt(3)i + i +i^2 `

` = -1 +sqrt(3) + i(sqrt(3)+1) `

` = b `

`=> b =(1+i)a `

1 b) En déduire que `abs(b)=2sqrt(2)` et `arg(b)= (5pi)/(12)[2pi]`

On a ` b = (1+i)a ` alors ` abs(b)= abs((1+i)a)`

` = abs(1+i)xxabs(a) ` `abs(z_1xxz_2)=abs(z_1)xxabs(z_2) `

` = sqrt(1^2+1^2) xxsqrt(sqrt(3)^2+1^2)` ` abs(x+iy)=sqrt(x^2+y^2) `

` = sqrt(2)xxsqrt(4) `

` = 2sqrt(2) `

`=> abs(b)= 2sqrt(2) `

et de meme on a ` arg(b)= arg((1+i)a)[2pi]`

` = arg(1+i) + arg(a) [2pi]` `arg(axxb)= arg(a)+arg(b) [2pi]`

Déterminons un argument de `1+i `

On a `abs(1+i)= sqrt(1^2+1^2)= sqrt(2) `

`=> 1+i = sqrt(2) ( 1/(sqrt(2)) + i 1/(sqrt(2))) `

` = sqrt(2) ( (sqrt(2))/2 + i (sqrt(2))/2) `

` = sqrt(2) ( cos((pi)/4) + i sin((pi)/4)) `

`=> 1+i = [ sqrt(2) , (pi)/4] `

Déterminons un argument de `a= sqrt(3) +i `

On a ` abs(a)= sqrt(sqrt(3)^2+1^2) = 2 `

`=> sqrt(3) + i = 2((sqrt(3))/2 +1/2i ) `

` = 2( cos((pi)/6) + i sin((pi)/6)) `

`=> a = [2 , (pi)/6]`

il s'ensuit que `arg(b)= arg(a) + arg(1+i)[2pi] = (pi)/4 +(pi)/6 [2pi]`

` = (3pi+2pi)/(12)[2pi]`

` = (5pi)/(12)[2pi]`

`=> arg(b)= (5pi)/(12)[2pi]`

1 c) Déduire de ce qui précède que ` cos((5pi)/(12)) = (sqrt(5) -sqrt(2))/4 `

Rappel

Une forme trigonométrique d'un nombre complexe est de la forme `z = abs(z)[cos((arg(z)) + i sin(arg(z))] `


On a ` abs(b)= 2sqrt(2)` et `arg(b)= (5pi)/(12) [2pi]`

Donc une forme trigonométrique de `b` est ` b = 2sqrt(2)(cos((5pi)/(12)) + i sin((5pi)/(12)) )`

Or ` b = sqrt(3) -1 + (sqrt(3) + 1) i `

donc `underbrace{ sqrt(3) -1 + (sqrt(3) + 1) i }_{text{ forme algébrique}} = underbrace{2sqrt(2)(cos((5pi)/(12)) + i sin((5pi)/(12)) ) }_{text{ trigonométrique}} `

donc ` sqrt(3) -1 = 2sqrt(2)cos((5pi)/(12))` et ` sqrt(3)+1= 2sqrt(2)sin((5pi)/(12))` `z_1=z_2 <=>[ Re(z_1)= Re(z_2) text{ et } Im(z_1)= Im(z_2)]`

`=> cos((5pi)/(12)) = (sqrt(3) -1)/(2sqrt(2)) = (sqrt(2)xx(sqrt(3)-1))/(2xxsqrt(2)^2) = (sqrt(6) -sqrt(2))/4 `

et ` sin((5pi)/(12)) = (sqrt(3) +1)/(2sqrt(2)) = (sqrt(2)xx(sqrt(3)+1))/(2xxsqrt(2)^2) = (sqrt(6) +sqrt(2))/4 `

` => cos((5pi)/(12))= (sqrt(6) -sqrt(2))/4`

2) le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct `(O, vec(e_1), vec(e_2))`

On considère les points `A` et `B` d'affixes respectives `a` et `b` et le point `C` d'affixe `c` telle que ` c = -1+isqrt(3)`

a) Vérifier que ` c= ia ` et on déduire que `OA = OC text{ et } (bar( vec(OA) , vec(OC))) = (pi)/2[2pi]`

On a ` ixxa = i(sqrt(3)+i)= isqrt(3) +i^2 = -1 + isqrt(3) = c `

`=> c = ia`

et par suite `abs(c)=abs(ia)= abs(i) xxabs(a) = abs(a) `

donc `abs(c-0)= abs(a-0) <=> OC = OA `

et on a `(bar( vec(OA) , vec(OC))) = arg((c-0)/(a-0))[2pi] `

` = arg(c/a)[2pi]= arg(i) [2pi] `

` =(pi)/2[2pi]`

`=>(bar( vec(OA) , vec(OC))) = (pi)/2[2pi] `

2 b) Montrer que le point `B` est l image du point `A` par la translation de vecteur `vec(OC)`

Rappels

1 `aff(vec(AB))= z_b -z_a `

2 ` vec(u) = vec(v) <=> aff(vec(u) ) = aff( vec(v) ) `

3 `t_{ vec(u)} (M)= M' <=> vec(MM')= vec(u) `



on a ` z_b -z_a = sqrt(3) -1 +i(sqrt(3)+1) -sqrt(3) -i = -1+isqrt(3) `

` = c - 0 `

il s'ensuit que `z_b -z_z = z_c -z_o`

et par suite `vec(AB) = vec(OC) `

donc `B` est l 'image de `A` par la translation de vecteur ` vec(OC) `