Session normale 2008

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1) Résoudre dans `C` l'équation `z^2-6z+34= 0 `

2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct `(O, vec(e_1), vec(e_2))` On considère les points `A, B , C ` d'affixes respectives

`a = 3+5i ` , `b = 3-5i ` et `c = 7+3i `

Soit `z` l'affixe du point `M` du plan et ` z' ` l'affixe du point `M'` image du point `M` par la translation `T` du vecteur `vec(u)(4-2i)`

a) Montrer que `z' = z+4-2i` puis vérifier que `C` est l image du point `A` par la translation `T`

b) Montrer que `(b-c)/(a-c)= 2i `

c) En déduire que `ABC` est un triangle rectangle et que `BC = 2AC `

1) Résoudre dans `C` l'équation `z^2-6z+34= 0 `

Soit `S` l'ensemble des solutions de l'équation

On a `Delta = (-6)^2 -4xx34xx1 = 36 -136 = -100 = `

Puisque `Delta < 0 ` l'équation admet deux solutions complexes conjuguées

`z_1 = (6 + sqrt(100)i)/2 = 3 + 5i` et `z_2 = bar(z_1)= 3-5i `

`=> S={ 3+5i , 3-5i } `

a) Montrer que `z' = z+4-2i` puis vérifier que `C` est l image du point `A` par la translation `T`

On a `T(M)=M' <=> vec(MM')= vec(u) `

`<=> z' -z = 4-2i `

`<=> z' = z+4-2i `

`=> T(z)= z+4-2i `

On a `T(a)= 3+5i +4-2i = 7 +3i = c `

`<=> T(A)= C `

`T_{vec(u)} (A)= C `

b) Montrer que `(b-c)/(a-c)= 2i `

On a ` (b-c )/(a-c)= (3-5i -7-3i)/(3+5i -7-3i) `

` = ( -4 -8i)/(-4 +2i) = (-2( 2+4i))/(4i^2+2i) `

` = (-2(2+4i))/(i(2+4i)) = -2/i `
` = (-2xx(-i))/(abs(i)^2) = 2i ` ` bar(i)= -i ` et `abs(i)= 1 `

`=> (b-c)/(a-c)= 2i `

c) En déduire que `ABC` est un triangle rectangle et que `BC = 2AC `

On a `(b-c)/(a-c)= 2i `

`=> abs( (b-c)/(a-c)) = abs(2i)= abs(2)xxabs(i)= 2 ` `abs(z_1xxz_1)=abs(z_1)xxabs(z_2) `

`=> (abs(b-c))/(abs(a-c)) = 2 ` `abs(z_1/z_2)= (abs(z_1))/(abs(z_2))`

`=> abs(b-c) = 2abs(a-c) <=> CB = 2CA `

` => BC = 2AC `

et on a `(b-c)/(a-c)= 2i `

`=> arg( (b-c)/(a-c)) = arg(2i) [2pi] = arg(2) +arg(i)[2pi]` `arg(z_1xxz_2)=arg(z_1)+arg(z_2)[2pi]`

`=> (bar(vec(CA) , vec(CB))) = (pi)/2 [2pi]`

`=> ABC` est un triangle rectangle en `C `