On considère les complexes suivants

` z_ 1= sqrt(3) - i ` , ` z_2 = 1+i ` , ` z_3 = 1-isqrt(3) `

1) a) Déterminer une forme trigonométrique de chacun des complexes `z_1 , z_2, z_3 `

b) En déduire une forme trigonométrique des complexes ` z_1xxz_2 ` et ` z_2/z_3 `

2) Ecrire sous forme algébrique chacun des complexes ` z_1xxz_2 ` et ` z_2/z_3 `

3) En déduire une valeur de chacun des nombres :

` cos((pi)/(12)) , sin((pi)/(12)) , cos((7pi)/(12)) , sin((7pi)/(12)) `

1) a) Déterminer une forme trigonométrique de chacun des complexes `z_1 , z_2, z_3 `

Une forme trigonométrique du complexe ` z_1 = sqrt(3) -i `

On a ` abs(z_1)= sqrt(sqrt(3)^2 +(-1)^2)= sqrt(4)= 2 `

`=> z_1 = 2( (sqrt(3))/2 -1/2i )`

` = 2 ( cos((pi)/6) -sin((pi)/6)i ) `

` = 2 ( cos((-pi)/6) + sin((-pi)/6)i) `

`=> z_1 = [2, -(pi)/6] `

une forme trigonométrique du complexe ` z_2 = 1+i `

On a `abs(z_2)= sqrt(1^2+1^2)= sqrt(2) `

`=> 1+i = sqrt(2) xx( 1/(sqrt(2)) + 1/(sqrt(2))i ) `

` = sqrt(2) [ cos((pi)/4) + i sin((pi)/4))`

`=> 1+i = [sqrt(2) , (pi)/4] `

une forme trigonométrique du complexe ` z_3= 1-isqrt(3) `

On a ` abs(z_3)= sqrt(1^2 + (-sqrt(3))^2)= sqrt(4) = 2 `

`=> 1-isqrt(3)= 2( 1/2 - i(sqrt(3))/2) `

` = 2( cos((pi)/3) - i sin((pi)/3)) `

` = 2 ( cos((-pi)/3) + i sin(-(pi)/3)) `

`=> 1-isqrt(3) = [ 2, -(pi)/3] `

1b) En déduire une forme trigonométrique des complexes ` z_1xxz_2 ` et ` z_2/z_3 `

Rappels

si `z_1 = [r_1 , theta_1]` et `z_2 = [r_2 , theta_2]` alors

` z_1xxz_2 = [r_1xxr_2 , theta_1 + theta_2 ]` et ` z_1/z_2 = [r_1/r_2 , theta_1 - theta_2 ]`



une forme trigonométrique de `z_1/z_2 `

On a ` z_1 = [2, -(pi)/6] ` et ` z_2 = [sqrt(2) , (pi)/4]`

`=> z_1xxz_2 = [2sqrt(2) , -(pi)/6 +(pi)/4 ] = [ 2sqrt(2) , (pi)/(12)] `

`=> z_1xxz_2 = [ 2sqrt(2) , (pi)/(12)] `

une forme trigonométrique de `z_2/z_3`

On a ` z_3 = [ 2, -(pi)/3] ` et ` z_2 = [sqrt(2) , (pi)/4]`

` => z_2/z_3 = [(sqrt(2))/2 , (pi)/4 -(-(pi)/3) ] = [ (sqrt(2))/2 , (7pi)/(12)] `

`=> z_2/z_3 = [ (sqrt(2))/2 , (7pi)/(12)] `

2) Ecrire sous forme algébrique chacun des complexes ` z_1xxz_2 ` et ` z_2/z_3 `

la forme algébrique de ` z_1xxz_2 `

On a ` z_1xxz_2 = (sqrt(3) -i)(1+i ) `

` = sqrt(3) + isqrt(3) -i -i^2 `

` = 1+ sqrt(3) + i (sqrt(3) -1) `

`=> z_1xxz_2 = 1+ sqrt(3) + i (sqrt(3) -1) `

une forme algébrique de `z_2/z_3 `

On a `z_2/z_3 = (1+i)/(1-isqrt(3)) `

` = ((1+i)(1+isqrt(3)))/(1+(-sqrt(3))^2) ` `1/z = (bar(z))/(zbar(z)) = (bar(z))/(abs(z)^2) `

` = ( 1+isqrt(3) + i +i^2sqrt(3))/4`

` = ( 1-sqrt(3))/4 + i (sqrt(3)+1)/4 `

`=> z_2/z_3 = ( 1-sqrt(3))/4 + i (sqrt(3)+1)/4 `

3) En déduire une valeur de chacun des nombres : ` cos((pi)/(12)) , sin((pi)/(12)) , cos((7pi)/(12)) , sin((7pi)/(12)) `

Méthode

Etape 1 On écrit ` z` sous sa forme algébrique ` z = x+ iy `

Etape 2 On écrit ` z` sous sa forme trigonométrique ` z = r (cos(theta) + isin(theta)) = r cos(theta) + rsin(theta)i `

Etape 3 `text{ forme algébrique } =text{ trignométrique } ` donne ` cos(theta)= x/r ` et ` sin(theta)= y/r `


On a ` z_1xxz_2 = underbrace{ 1+ sqrt(3) + i (sqrt(3) -1)}_{ text{ forme algébrique} } = underbrace{ [ 2sqrt(2) , (pi)/(12)] }_{ text{ forme trigonométrique }} `

`=> 1+ sqrt(3) + i (sqrt(3) -1) = 2sqrt(2) ( cos((pi)/(12)) + i sin((pi)/(12))) `

`=> 1 + sqrt(3)= 2sqrt(2)xx cos((pi)/(12)) ` et ` sqrt(3) -1 = 2sqrt(2)xx sin((pi)/(12)) ` `z_1=z_2 <=> [ Re(z_1)= Re(z_2) text{
et} Im(z_1)= Im(z_2) ]`

`=> cos((pi)/(12)) = (1+sqrt(3))/(2sqrt(2)) = (sqrt(2)(1+sqrt(3)))/(2xx2)= ( sqrt(2) +sqrt(6))/4 `

et ` sin((pi)/(12)) = (sqrt(3) -1)/(2sqrt(2)) = (sqrt(2)(sqrt(3) -1))/(2xx2)= ( sqrt(6) -sqrt(2) )/4 `

`=> cos((pi)/(12)) = ( sqrt(2) +sqrt(6))/4 text{ et } sin((pi)/(12)) = ( sqrt(6) -sqrt(2) )/4 `

On a ` z_2/z_3 = ( 1-sqrt(3))/4 + i (sqrt(3)+1)/4 = [ (sqrt(2))/2 , (7pi)/(12)] `

` ( 1-sqrt(3))/4 + i (sqrt(3)+1)/4 = 1/(sqrt(2)) xx ( cos((7pi)/(12)) + i sin((7pi)/(12)) ) `

`=> 1/(sqrt(2)) cos((7pi)/(12)) = ( 1-sqrt(3))/4 ` et ` 1/(sqrt(2)) sin((7pi)/(12)) = (sqrt(3)+1)/4 `

`=> cos((7pi)/(12)) = ( sqrt(2)-sqrt(6))/4 ` et ` sin((7pi)/(12)) = (sqrt(6)+sqrt(2) )/4 `

`=> cos((7pi)/(12)) = ( sqrt(2)-sqrt(6))/4 text{ et } sin((7pi)/(12)) = (sqrt(6)+sqrt(2) )/4 `