Session normale 2006

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On considère les nombres complexes :

` z_1 = (sqrt(3)+1) + (sqrt(3) -1)i ` et ` z_2 = (sqrt(3) -1) + (sqrt(3)+1)i `

1) Montrer que `z_1^2 = 4(sqrt(3)+i) ` et `z_2 = ibar(z_1)`

2a) Ecrire sous forme trigonométrique le nombre complexe `4(sqrt(3) +i) `

b) En déduire une forme trigonométrique de chacun des nombres complexes `z_1` et `z_2`

3) On considère dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct `(O, vec(e_1) , vec(e_2))` les points `A` et `B` d'affixes respectives `z_1` et `z_2`

Calculer ` arg(z_1/z_2)` puis en déduire que le triangle `OAB` est équilatéral

1) Montrer que `z_1^2 = 4(sqrt(3)+i) ` et `z_2 =i bar(z_1)`

On a `z_1^2 =((sqrt(3)+1) + (sqrt(3) -1)i )^2 `

` = (sqrt(3)+1)^2 +2 (sqrt(3)+1) (sqrt(3) -1)i + ( (sqrt(3) -1)i )^2`

` = 4+ 2sqrt(3) +2(sqrt(3)^2-1)i - (sqrt(3)-1)^2 ` `i^2= -1 `

` = 4+2sqrt(3) +4i -(4-2sqrt(3))`

` = 4sqrt(3) +4i `

` = 4(sqrt(3) +i) `

`=> z_1^2 =4(sqrt(3) +i) `

On a `bar(z_1)= (sqrt(3)+1) - (sqrt(3) -1)i `

`=> i bar(z_1)= i(sqrt(3)+1) + sqrt(3) -1 =z_2 `

`=> z_2 =i bar(z_1)`

2 a) Ecrire sous forme trigonométrique le nombre complexe `4(sqrt(3) +i) `

On a `abs(sqrt(3)+i)= sqrt(3+1)= 2`

`=> sqrt(3)+i = 2((sqrt(3))/2+1/2i)= 2( cos((pi)/6)+ i sin((pi)/6))`

`=>4(sqrt(3) +i) = 8( cos((pi)/6)+ i sin((pi)/6)) `

`=> 4(sqrt(3)+i)= [8 , (pi)/6] `

b) En déduire une forme trigonométrique de chacun des nombres complexes `z_1` et `z_2`

Rappels

1 soit `z^2= [ r , theta]` alors `z = [ sqrt(r) , (theta)/2]` ou `z = [ sqrt(r) , (theta)/2+pi] `

2 si `z_1 = [r_1, theta_1]` et `z_2=[r_2, theta_2]`

alors `z_1xxz_2= [r_1xxr_2 , theta_1+theta_2] `



On a `z_1^2 = [8 , (pi)/6] `

`=> z_1 = [ sqrt(8) , (pi)/(12)] ` ou `z_1 = [sqrt(8) , (pi)/(12)+pi] = [ 2sqrt(2), (13pi)/(12) ] `

On a ` cos((pi)/(12)+pi) < 0 ` et ` sin((pi)/(12)+pi) < 0`

Comme `z_1 = sqrt(3)+1 + i (sqrt(3)-1) => Re(z_1) > 0` et `Im(z_1) > 0 `

alors `=> z_1 = [ 2sqrt(2) , (pi)/(12)] `

`=> ibar(z_1)= [ 1, (pi)/2] xx [ 2sqrt(2) , -(pi)/(12)] = [2sqrt(2) , (pi)/2-(pi)/(12)] `

`=> z_2 = [ 2sqrt(2) , (5pi)/(12)] `

3) On considère dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct `(O, vec(e_1) , vec(e_2))` les points `A` et `B` d'affixes respectives `z_1` et `z_2`

Calculer ` arg(z_1/z_2)` puis en déduire que le triangle `OAB` est équilatéral

On a ` z_1 = [ 2sqrt(2) , (pi)/(12)] ` et ` z_2 = [ 2sqrt(2) , (5pi)/(12)]`

alors `z_1/z_2= [ (2sqrt(2))/(2sqrt(2)) , (pi)/(12)- (5pi)/(12) ] = [ 1, -(pi)/3] `

`=> arg(z_1/z_2)= -(pi)/3[2pi] ` et `abs(z_1/z_2)= 1 `

c'est à dire `(bar(vec(OB) , vec(OA))) = -(pi)/3[2pi] ` et `abs(z_1)= abs(z_2) `

`=>(bar(vec(OB) , vec(OA))) = -(pi)/3[2pi] ` et `OB=OA `

donc `OAB` est un triangle équilatéral