Session normale 2015

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Partie 1

Soit `g` la fonction définie sur `R` par ` g(x)= e^x -2x `

1) Calculer ` g'(x)` pour tout ` x in R ` et en déduire que `g` est décroissante sur `]-infty , ln2]` et croissante sur `[ln2,+infty[`

2) Vérifier que ` g(ln2)= 2(1-ln2)` puis déterminer le signe de `g(ln2) `

3) En déduire que ` forall x in R : g(x) > 0 `

Partie 2

Soit `f` la fonction définie sur `R` par ` f(x)= x/(e^x -2x) ` et `C_f` sa courbe représentative dans un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j)) `

1) a) Montrer que ` lim_{ x to +infty} f(x)= 0 ` et ` lim_{ x to -infty} f(x)= -1/2 ` Indication ` forall x in R^(ast) : e^x -2x= x( e^x/x-2) `

b) Interpréter graphiquement les résultats obtenus

2a) Montrer que ` forall x in R : f'(x)= ((1-x)e^x)/(e^x -2x)^2`

b) Etudier le signe de ` f'(x)` et déduire le tableau de de variation de `f`

c) Montrer que la droite d'équation ` y =x ` est l'équation de la tangente `(T)` à la courbe `C_f` au point `O(0,0) `

3) Construire la courbe `C_f` et la tangente `(T) `

Partie 3)

Soit `h` la fonction définie sur `]-infty , 0]` par ` h(x)= f(x) `

1) Montrer que `h` admet une fonction réciproque `h^(-1)` définie sur un intervalle `J` que l'on déterminera

2) Construire la courbe représentative de `h^(-1) `

Partie 4

On considère la suite numérique `(u_n)` définie par `u_0= -2 ` et ` u_(n+1)= h(u_n)` pour tout ` n in N `

1) Montrer par récurrence que `( forall n in N ) : u_n <= 0 `

2) Montrer que la suite `(u_n)` est croissante : indication pour tout ` x in ]-infty , 0] : h(x) >= x `

3) En déduire que la suite `(u_n)` est convergente puis déterminer sa limite

Partie 5

1) Par intégration par parties montrer que `int_0^1 xe^(-x) dx = 1 -2/e`