Session de rattrapage 2008

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Partie 1

Soit `g` la fonction numérique définie sur `R` par `g(x)= e^(2x) -2x `

1) a) Calculer `g'(x)` pour tout ` x in R `

b) Montrer que `g` est croissante sur `[0,+infty[` et décroissante sur `]-infty , 0]`

c) Calculer ` g(0)` , puis en déduire que ` forall x in R : g(x) > 0 `

Partie 2

Soit `f` la fonction définie sur `R` : ` f(x)= ln(e^(2x) -2x) ` et `C_f` sa courbe représentative dans un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j))`

1a) Montrer que ` lim_{ x to +infty} f(x)= +infty `

b) Montrer que ` forall x in R^(ast) : (f(x))/x = (e^(2x)/x -2)(ln(e^(2x) -2x))/(e^(2x) -2x) `

c) Montrer que ` lim_{ x to -infty} (f(x))/x = 0 `

d) En déduire que la courbe `C_f` admet une branche parabolique au voisinage de `-infty` dont on déterminera la direction

2a) Vérifier que pour tout ` x in [0,+infty[` : ` 1-(2x)/e^(2x) > 0 ` et ` f(x)= 2x+ln(1-(2x)/e^(2x) ) `

b) En déduire que `lim_{ x to +infty} f(x) = +infty `

c) Montrer que la droite `(D)` d'équation ` y = 2x ` est une asymptote oblique de la courbe `C_f` au voisinage de `+infty`

d) Montrer que ` forall x in [0,+infty[ : f(x) -2x <= 0 ` et en déduire que la courbe `C_f` est en dessous de la droite `(D)` sur l intervalle `[0,+infty[`

3a) Montrer que ` forall x in R : f'(x)= (2(e^(2x) -1))/(g(x))`

b) Etudier le signe de `f'(x) ` pour tout ` x in R ` puis dresser le tableau des variations de `f`

4) Tracer la courbe `C_f` et la droite `(D) `

Session de rattrapage 2008

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Partie 1

Soit `g` la fonction numérique définie sur `R` par `g(x)= e^(2x) -2x `

1) a) Calculer `g'(x)` pour tout ` x in R `

la fonction `g` est dérivable sur `R` et on a

` g'(x)= ( e^(2x) -2x)' = (2x)'e^(2x) -(2x)' `

` = 2e^(2x) -2 `

`forall x in R : g'(x)= 2(e^(2x) -1) `

b) Montrer que `g` est croissante sur `[0,+infty[` et décroissante sur `]-infty , 0]`

Soit ` x in [0, +infty[ `

`=> x >= 0 `

`=> 2x >= 0 `

`=> e^(2x) >= e^(0) = 1 ` car ` x->e^x` est croissante

`=> e^(2x) -1 >= 0 `

`=> 2(e^(2x) -1) >= 0 `

`=> g'(x) >= 0 `

alors `g` est croissante sur `[0,+infty[ `

Soit ` x in ]-infty , 0]`

`=> x <= 0 `

`=> 2x <= 0 `

`=> e^(2x) <= e^(0) = 1 ` car ` x->e^x` est croissante

`=> e^(2x) -1 <= 0 `

`=> 2(e^(2x) -1) <= 0 `

`=> g'(x) <= 0 `

alors `g` est décroissante sur `]-infty , 0] `

c) Calculer ` g(0)` , puis en déduire que ` forall x in R : g(x) > 0 `

On a `g(0)= e^(0) -2xx0 = 1 `

`=> g(0)= 1 `

Montrons que ` forall x in R : g(x) > 0 `

Soit ` x in [0,+infty[ `

`=> x >= 0 `

` => g(x) >= g(0) = 1 > 0 ` car ` g` est croissante sur `[0,+infty[`

`=> forall x >= 0 : g(x) > 0 `

Soit ` x in ]-infty , 0] `

`=> x <= 0 `

` => g(x) >= g(0) = 1 > 0 ` car ` g` est décroissante sur `]-infty , 0] `

`=> forall x <= 0 : g(x) > 0 `

il s'ensuit que ` forall x in R = ]-infty , 0] cup [0,+infty[ : g(x) > 0 `