Exercice
Session normale 2010
Partie 1
Soit `g` la fonction définie sur `R` par ` g(x)= 1+4xe^(2x) `
1) Montrer que `forall x in R : g'(x)= 4(2x+1)e^(2x) `
2) Montrer que `g` est croissante sur `[-1/2,+infty[` et décroissante sur `]-infty, -1/2]`
3a) Etablir que ` g(-1/2)= 1 -2/e ` puis vérifier que ` g(-1/2) > 0 `
b) En déduire que `( forall x > 0) : g(x) > 0 `
Partie 2
Soit `f` la fonction numérique définie par ` f(x)= (2x-1)e^(2x) + x+1 `
et soit `C_f ` sa courbe représentative dans un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j)) `
1) Calculer `lim_{ x to +infty} f(x) ` et montrer que `lim_{ x to -infty} f(x)= -infty `
2) Montrer que `f'(x)= g(x) ` pour tout ` x in R ` puis en déduire que `f` est strictement croissante sur `R`
3a) Calculer `lim_{ x to +infty} (f(x))/x ` et en déduire que `C_f` admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées au voisinage de `+infty `
b) Calculer `lim_{ x to -infty} [f(x) -(x+1)] ` et en déduire que la droite `(Delta) : y =x+1 ` est une asymptote oblique de la courbe `C_f` au voisinage de ` -infty `
c) Déterminer le couple de coordonnées du point d'intersection de `(Delta)` avec `C_f` puis montrer que `C_f` est en dessous de `(Delta)` sur `]-infty , 1/2[` et au dessus de `(Delta)` sur `]1/2,+infty[`
4a) Montrer que ` y = x ` est une équation de la tangente `(T)` à la courbe `C_f` au point `O(0,0)`
b) Montrer que la courbe `C_f` admet un point d'inflexion d'abscisse ` -1/2 `
5) Tracer `(Delta)` , `(T)` et `(C_f) `
Partie 1
Soit `g` la fonction définie sur `R` par ` g(x)= 1+4xe^(2x) `
1) Montrer que `forall x in R : g'(x)= 4(2x+1)e^(2x) `
2) Montrer que `g` est croissante sur `[-1/2,+infty[` et décroissante sur `]-infty, -1/2]`
3a) Etablir que ` g(-1/2)= 1 -2/e ` puis vérifier que ` g(-1/2) > 0 `
b) En déduire que `( forall x > 0) : g(x) > 0 `
Partie 2
Soit `f` la fonction numérique définie par ` f(x)= (2x-1)e^(2x) + x+1 `
et soit `C_f ` sa courbe représentative dans un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j)) `
1) Calculer `lim_{ x to +infty} f(x) ` et montrer que `lim_{ x to -infty} f(x)= -infty `
2) Montrer que `f'(x)= g(x) ` pour tout ` x in R ` puis en déduire que `f` est strictement croissante sur `R`
3a) Calculer `lim_{ x to +infty} (f(x))/x ` et en déduire que `C_f` admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées au voisinage de `+infty `
b) Calculer `lim_{ x to -infty} [f(x) -(x+1)] ` et en déduire que la droite `(Delta) : y =x+1 ` est une asymptote oblique de la courbe `C_f` au voisinage de ` -infty `
c) Déterminer le couple de coordonnées du point d'intersection de `(Delta)` avec `C_f` puis montrer que `C_f` est en dessous de `(Delta)` sur `]-infty , 1/2[` et au dessus de `(Delta)` sur `]1/2,+infty[`
4a) Montrer que ` y = x ` est une équation de la tangente `(T)` à la courbe `C_f` au point `O(0,0)`
b) Montrer que la courbe `C_f` admet un point d'inflexion d'abscisse ` -1/2 `
5) Tracer `(Delta)` , `(T)` et `(C_f) `
3 réponses
Partie 1
Soit `g` la fonction définie sur `R` par ` g(x)= 1+4xe^(2x) `
la fonction `g` est dérivable sur `R` et on a pour tout ` x in R `
`g'(x)= ( 1+4xe^(2x))' = (4x)'e^(2x) + 4x(e^(2x))' `
` = 4e^(2x) + 8xe^(2x) `
` = 4e^(2x) (1+2x) `
` = 4(2x+1)e^(2x) `
Soit `g` la fonction définie sur `R` par ` g(x)= 1+4xe^(2x) `
1) Montrer que `forall x in R : g'(x)= 4(2x+1)e^(2x) `
la fonction `g` est dérivable sur `R` et on a pour tout ` x in R `
`g'(x)= ( 1+4xe^(2x))' = (4x)'e^(2x) + 4x(e^(2x))' `
` = 4e^(2x) + 8xe^(2x) `
` = 4e^(2x) (1+2x) `
` = 4(2x+1)e^(2x) `
Avez vous une question
2) Montrer que `g` est croissante sur `[-1/2,+infty[` et décroissante sur `]-infty, -1/2]`
On a pour tout ` x in R : 4e^(2x) > 0 ` alors le signe de `g'(x)` est celui de `2x+1`
On a `2x+1 >= 0 <=> 2x >= -1 <=> x >= -1/2 `
alors :
` forall x in [-1/2, +infty[ : g'(x) >= 0 => g ` est croissante sur `[-1/2,+infty[`
` forall x in ]-infty , -1/2] : g'(x) <= 0 => g ` est décroissante sur `]-infty, -1/2]`
Avez vous une question
3 a) Etablir que ` g(-1/2)= 1 -2/e ` puis vérifier que ` g(-1/2) > 0 `
On a ` g(-1/2)= 1 +4xx(-1/2)e^(2xx(-1/2))`
` = 1 - 2e^(-1) = 1 -2/e `
On sait que ` 2 < e => 2/e < 1 => 1-2/e > 0 `
Avez vous une question