Exercice
Session normale 2011
Partie 1
Soit `g` la fonction numérique définie sur `R` par ` g(x)= (1-x)e^x -1 `
1a) Montrer que ` forall x in R : g'(x)= -xe^x `
b) Montrer que `g` est décroissante sur `[0,+infty[` et croissante sur `]-infty , 0]` puis vérifier que ` g(0)= 0 `
2) En déduire que ` forall x in R : g(x) <= 0 `
Partie 2
Soit `f` la fonction numérique définie sur `R` par ` f(x)=(2-x)e^x -x `
et soit `C_f` sa courbe représentative dans un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j))`
1a) Montrer que ` lim_{ x to +infty} f(x)= -infty `
b) Montrer que ` lim_{ x to +infty} (f(x))/x = -infty ` et en déduire que la courbe `C_f` admet une branche parabolique au voisinage de `+infty ` dont on déterminera la direction
2a) Montrer que `lim_{ x to -infty} f(x)= +infty ` puis calculer `lim_{ x to -infty} (f(x) +x) `
b) En déduire que la droite `(D)` d'équation ` y = -x ` est une asymptote de `C_f` au voisinage de ` -infty `
3a) Montrer que `f'(x) = g(x) ` pour tout ` x in R `
b) Interpréter graphiquement le résulta `f'(0)= 0 `
c) Montrer que la fonction `f` est décroissante sur `R` puis dresser son tableau des variations
4) Montrer que l'équation ` f(x)= 0 ` admet une solution unique `alpha in R ` et que `3/2 < alpha < 2 ` on admet que `e^(3/2) > 3 `
5a) Résoudre dans `R` l'équation ` f(x) +x = 0 ` et en déduire que la courbe `C_f` et la droite `(D)` se coupent au point `A(2,-2) `
b) Etudier le signe de ` f(x) +x` sur `R`
c) En déduire que `C_f` est au dessus de `(D)` sur `]-infty, 2[` et en dessous de `(D)` sur `]2,+infty[`
6a) Montrer que `I(0,2)` est le seul point d'inflexion de la courbe `C_f`
b) Tracer la droite `(D)` et la courbe `C_f`
Partie 1
Soit `g` la fonction numérique définie sur `R` par ` g(x)= (1-x)e^x -1 `
1a) Montrer que ` forall x in R : g'(x)= -xe^x `
b) Montrer que `g` est décroissante sur `[0,+infty[` et croissante sur `]-infty , 0]` puis vérifier que ` g(0)= 0 `
2) En déduire que ` forall x in R : g(x) <= 0 `
Partie 2
Soit `f` la fonction numérique définie sur `R` par ` f(x)=(2-x)e^x -x `
et soit `C_f` sa courbe représentative dans un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j))`
1a) Montrer que ` lim_{ x to +infty} f(x)= -infty `
b) Montrer que ` lim_{ x to +infty} (f(x))/x = -infty ` et en déduire que la courbe `C_f` admet une branche parabolique au voisinage de `+infty ` dont on déterminera la direction
2a) Montrer que `lim_{ x to -infty} f(x)= +infty ` puis calculer `lim_{ x to -infty} (f(x) +x) `
b) En déduire que la droite `(D)` d'équation ` y = -x ` est une asymptote de `C_f` au voisinage de ` -infty `
3a) Montrer que `f'(x) = g(x) ` pour tout ` x in R `
b) Interpréter graphiquement le résulta `f'(0)= 0 `
c) Montrer que la fonction `f` est décroissante sur `R` puis dresser son tableau des variations
4) Montrer que l'équation ` f(x)= 0 ` admet une solution unique `alpha in R ` et que `3/2 < alpha < 2 ` on admet que `e^(3/2) > 3 `
5a) Résoudre dans `R` l'équation ` f(x) +x = 0 ` et en déduire que la courbe `C_f` et la droite `(D)` se coupent au point `A(2,-2) `
b) Etudier le signe de ` f(x) +x` sur `R`
c) En déduire que `C_f` est au dessus de `(D)` sur `]-infty, 2[` et en dessous de `(D)` sur `]2,+infty[`
6a) Montrer que `I(0,2)` est le seul point d'inflexion de la courbe `C_f`
b) Tracer la droite `(D)` et la courbe `C_f`
3 réponses
Partie 1
Soit `g` la fonction numérique définie sur `R` par ` g(x)= (1-x)e^x -1 `
On a ` g'(x)= ( (1-x)e^x -1)' `
` = (1-x)'e^x + (1-x)(e^x)' `
` = -e^x + (1-x)e^x `
` = (-1 +1-x)e^x `
` = -xe^x `
Soit `g` la fonction numérique définie sur `R` par ` g(x)= (1-x)e^x -1 `
1 a) Montrer que ` forall x in R : g'(x)= -xe^x `
On a ` g'(x)= ( (1-x)e^x -1)' `
` = (1-x)'e^x + (1-x)(e^x)' `
` = -e^x + (1-x)e^x `
` = (-1 +1-x)e^x `
` = -xe^x `
Avez vous une question
b) Montrer que `g` est décroissante sur `[0,+infty[` et croissante sur `]-infty , 0]` puis vérifier que ` g(0)= 0 `
Puisque pour tout ` x in R : e^x > 0 ` alors le signe de `g'(x)` est celui de ` -x `
On a ` -x >= 0 <=> x <= 0 `
donc :
pour tout `x in ]-infty , 0]` : ` g'(x) >= 0 ` donc `g` est croissante sur `]-infty,0]`
pour tout ` x in [0,+infty[ : g'(x) <= 0 ` donc `g` est décroissante sur `[0,+infty [`
Tableau de signe de `g'(x) `
On a `g(0) = (1-0)e^0 -1 = 1 -1 = 0 `
Avez vous une question
2) En déduire que ` forall x in R : g(x) <= 0 `
On a pou pour tout ` x >= 0 `
`=> g(x) <= g(0) ` car `g` est décroissante sur `[0,+infty[`
`=> g(x) <= 0 `
On a pour tout ` x <= 0 `
`=> g(x) <= g(0) `
`=> g(x) <= 0 `
et par suite ` forall x in R : g(x) <= 0 `
Avez vous une question