Session de rattrapage 2022

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Soit `f` la fonction définie par :

` f(x)= x^4(lnx-1)^2 text{ si } x > 0 `

` f(0)= 0 `

et soit `C_f` sa courbe représentative dans un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j)) ` et `abs(abs(vec(i)))= 1cm `

1) Calculer `lim_{ x to +infty} f(x) ` puis déterminer la branche infinie de `C_f` au voisinage de `+infty `

2a) Montrer que `f` est continue à droite en ` 0 `

b) Etudier la dérivabilité à droite en `0` puis interpréter géométriquement le résultat obtenu

3a) Montrer que ` forall x > 0 : f'(x)= 2x^3(lnx-1)(2lnx-1)`

b) Dresser le tableau des variations

4a) Etudier le signe de `f''(x) ` sachant que ` f''(x)= 2x^2(6lnx-5)lnx` pour tout ` x in ]0,+infty[`

b) En déduire que la courbe `C_f` admet deux points d'inflexions qu'on déterminera leur abscisses

5a) Construire la courbe `C_f`

b) En utilisant la courbe `C_f` déterminer le nombre de solutions de l'équation `x^2(lnx-1)= -1 `

6) On considère la fonction `g` définie sur `R` par ` g(x)= f(abs(x)) `

a) Montrer que `g` est paire

b) Construire la courbe `C_g `

7a) On pose `I = int_1^e x^4(lnx-1)dx ` par intégration par parties montrer que ` I = (6-e^5)/(25) `

b) On considère la fonction `h` définie sur `]0,+infty[` par `h(x)= x^5(lnx-1)^2`

vérifier que ` h'(x)= 5f(x) + 2x^4(ln(x) -1)`

c) En déduire que `int_1^e f(x)= -1/5 -2/5I `

d) Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe `C_f` l'axe des abscisses et les droites d'équations ` x= 1` et ` x=e `

1) Calculer `lim_{ x to +infty} f(x) ` puis déterminer la branche infinie de `C_f` au voisinage de `+infty `

On a `lim_{ x to +infty} (lnx-1) = +infty ` `lim_{ x to +infty} lnx = +infty`

`=> lim_{ x to +infty} (lnx-1)^2 = +infty `

`=> lim_{ x to +infty} x^4(lnx-1)^2 = +infty ` car `lim_{ x to +infty} x^4 = +infty `

`=> lim_{ x to +infty} f(x)= +infty `

On a `lim_{ x to +infty} (f(x))/x = lim_{ x to +infty} x^3(lnx-1)^2 = +infty `

car `lim_{ x to +infty} x^3 = +infty ` et `lim_{ x to +infty} (lnx-1)^2 = +infty `

`=> lim_{ x to +infty} (f(x))/x = +infty `

la courbe `C_f` admet une branche parabolique dirigée vers l'axe des ordonnées au voisinage de `+infty `

2 a) Montrer que `f` est continue à droite en ` 0 `

On a `lim_{ x to 0^+ } f(x)= lim_{ x to 0^+} x^4(ln^2x -2lnx +1) `

` = lim_{ x to 0^+} x^2(xlnx)^2 - 2x^3(xlnx) +x^4 = 0`

car `lim_{ x to 0^+} xlnx = 0 => lim_{ x to 0^+} (xlnx)^2 = 0`

comme `lim_{ x to 0} x^2 = lim_{ x to 0 } -2x^3 = lim_{ x to 0} x^4 = 0`

alors ` => lim_{ x to 0^+} x^2(xlnx)^2 - 2x^3(xlnx) +x^4 = 0 - 0 + 0 = 0 `

`=> lim_{ x to 0^+} f(x)= 0= f(0) `

donc `f` est continue à droite en `0`

b) Etudier la dérivabilité à droite en `0` puis interpréter géométriquement le résultat obtenu

On a `lim_{ x to 0^+} (f(x) -f(0))/x = lim_{ x to 0^+} x^3(lnx-1)^2 `

`= lim_{ x to 0^+} x(xlnx)^2 -2x^2(xlnx) + x^ 2 = 0 `

car `lim_{ x to 0^+} x = lim_{ x to 0^+} -2x^2 = lim_{ x to 0^+}x^2 = 0`

et ` lim_{ x to 0^+} (xlnx)= lim_{ x to 0^+} (xlnx)^2 = 0 `

`=> lim_{ x to 0^+} (f(x) -f(0))/x = 0`

la fonction `f` est dérivable à droite en `0` et `(f_d)'(0)= 0`

la courbe `C_f` admet une demi-tangente horizontale à droite au point `O(0,0)`

3 a) Montrer que ` forall x > 0 : f'(x)= 2x^3(lnx-1)(2lnx-1)`

Pour tout ` x > 0 ` la fonction `f` est dérivable

et on a ` f'(x)= (x^4(lnx-1)^2)' `


` = (x^4)'(lnx-1)^2 +x^4((lnx-1)^2)'`

` = 4x^3(lnx-1)^2 +x^4xx(2(lnx-1)'(lnx-1))`

` = 4x^3(lnx-1)^2 +2x^4/x(lnx-1) `

`= 4x^3(lnx-1)^2 +2x^3(lnx-1) `

` =2x^3(lnx-1)(2lnx-2+ 1)`

`=2x^3(lnx-1)(2lnx-1)`

`=> forall x > 0 : f'(x)= 2x^3(lnx-1)(2lnx-1) `