Exercice
Session de rattrapage 2018
Partie 1
On considère la fonction `g` définie sur `]0,+infty[` par `g(x)= x^3-1 -2ln^2x +2lnx `
Dont le tableau des variations est le suivant :
1) Vérifier que `g(1)= 0`
2) En utilisant le tableau des variations déterminer le signe de `g(x)` sur chacun des intervalles `]0,1]` et `[1,+infty[`
Partie 2
On considère la fonction `f` définie sur `]0,+infty[` par `f(x)= x-1/2+1/(2x^2)+ ((lnx)/x)^2`
1a) Vérifier que `lim_{ x to +infty} f(x)= +infty `
b) Montrer que la droite `(D)` d'équation ` y=x-1/2` est une asymptote oblique à la courbe `C_f` au voisinage de `+infty`
c) Etudier la position relative de `(D)` par rapport à `C_f`
2) Montrer que `lim_{ x to 0^+} f(x)= +infty ` puis interpréter géométriquement ce résultat
3a) Montrer que `forall x > 0 : f'(x)= (g(x))/x^3`
b) Montrer que `f` est décroissante sur `]0,1]` et croissante sur `[1,+infty[`
c) Dresser le tableau des variations de `f`
4) Tracer la courbe `C_f` et la droite `(D)`
Partie 3
On considère la fonction `h` définie sur `]0,+infty[` par `h(x)= f(x) -x ` et dont la courbe représentative est le suivant
1) Vérifier que `h(1)= 0`
2) Déterminer le signe de `h(x)` sur chacun des intervalles `]0,1]` et `[1, +infty[`
3) En déduire que `forall x >=1 : f(x) <= x `
Partie 4
On considère la suite `(u_n)` définie par `u_0=e` et ` forall n in N : u_(n+1)=f(u_n)`
1) Montre par récurrence que `forall n in N : 1 <= u_n <= e `
2) Montrer que `(u_n)` est décroissante Indication on pourra utiliser partie 3 ) 3
3) En déduire que `(u_n)` est convergente puis Calculer sa limite
Partie 1
On considère la fonction `g` définie sur `]0,+infty[` par `g(x)= x^3-1 -2ln^2x +2lnx `
Dont le tableau des variations est le suivant :
1) Vérifier que `g(1)= 0`
2) En utilisant le tableau des variations déterminer le signe de `g(x)` sur chacun des intervalles `]0,1]` et `[1,+infty[`
Partie 2
On considère la fonction `f` définie sur `]0,+infty[` par `f(x)= x-1/2+1/(2x^2)+ ((lnx)/x)^2`
1a) Vérifier que `lim_{ x to +infty} f(x)= +infty `
b) Montrer que la droite `(D)` d'équation ` y=x-1/2` est une asymptote oblique à la courbe `C_f` au voisinage de `+infty`
c) Etudier la position relative de `(D)` par rapport à `C_f`
2) Montrer que `lim_{ x to 0^+} f(x)= +infty ` puis interpréter géométriquement ce résultat
3a) Montrer que `forall x > 0 : f'(x)= (g(x))/x^3`
b) Montrer que `f` est décroissante sur `]0,1]` et croissante sur `[1,+infty[`
c) Dresser le tableau des variations de `f`
4) Tracer la courbe `C_f` et la droite `(D)`
Partie 3
On considère la fonction `h` définie sur `]0,+infty[` par `h(x)= f(x) -x ` et dont la courbe représentative est le suivant
1) Vérifier que `h(1)= 0`
2) Déterminer le signe de `h(x)` sur chacun des intervalles `]0,1]` et `[1, +infty[`
3) En déduire que `forall x >=1 : f(x) <= x `
Partie 4
On considère la suite `(u_n)` définie par `u_0=e` et ` forall n in N : u_(n+1)=f(u_n)`
1) Montre par récurrence que `forall n in N : 1 <= u_n <= e `
2) Montrer que `(u_n)` est décroissante Indication on pourra utiliser partie 3 ) 3
3) En déduire que `(u_n)` est convergente puis Calculer sa limite
4 réponses
Partie 1
On considère la fonction `g` définie sur `]0,+infty[` par `g(x)= x^3-1 -2ln^2x +2lnx `
On a `g(1)= 1^3-1 -2ln^2(1) +2ln1 = 1-1- 0+0 = 0 `
On considère la fonction `g` définie sur `]0,+infty[` par `g(x)= x^3-1 -2ln^2x +2lnx `
1) Vérifier que `g(1)= 0`
On a `g(1)= 1^3-1 -2ln^2(1) +2ln1 = 1-1- 0+0 = 0 `
Avez vous une question
2) En utilisant le tableau des variations déterminer le signe de `g(x)` sur chacun des intervalles `]0,1]` et `[1,+infty[`
Soit ` x in ]0, 1] => x <= 1 `
`=> g(x) <= g(1) ` car `g` est croissante sur `]0,1]`
`=> g(x) <= 0 `
soit ` x in [1, +infty[`
`=> x >= 1 `
`=> g(x) >= g(1) ` car `g` est croissante sur `[1,+infty[`
`=> g(x) >= 0 `
On résume le signe de `g(x) ` dans le tableau suivant
Avez vous une question
Partie 2
On considère la fonction `f` définie sur `]0,+infty[` par `f(x)= x-1/2+1/(2x^2)+ ((lnx)/x)^2`
On a `lim_{ x to +infty} (x-1/2)= lim_{ x to +infty} x = +infty `
` lim_{ x to +infty} 1/(2x^2)= 0 `
`lim_{ x to +infty} (lnx)/x = 0 => lim_{ x to +infty}((lnx)/x)^2 = 0 `
donc `lim_{ x to +infty} [ x-1/2+1/(2x^2)+ ((lnx)/x)^2 ] = +infty `
On considère la fonction `f` définie sur `]0,+infty[` par `f(x)= x-1/2+1/(2x^2)+ ((lnx)/x)^2`
1 a) Vérifier que `lim_{ x to +infty} f(x)= +infty `
On a `lim_{ x to +infty} (x-1/2)= lim_{ x to +infty} x = +infty `
` lim_{ x to +infty} 1/(2x^2)= 0 `
`lim_{ x to +infty} (lnx)/x = 0 => lim_{ x to +infty}((lnx)/x)^2 = 0 `
donc `lim_{ x to +infty} [ x-1/2+1/(2x^2)+ ((lnx)/x)^2 ] = +infty `
Avez vous une question
b) Montrer que la droite `(D)` d'équation ` y=x-1/2` est une asymptote oblique à la courbe `C_f` au voisinage de `+infty`
On a `lim_{ x to +infty} [f(x) -(x-1/2)] = lim_{ x to +infty} [ 1/(2x^2) +((lnx)/x)^2] = 0 `
la droite `(D) : y=x-1/2 ` est une asymptote oblique à la courbe `C_f` au voisinage de `+infty`
Avez vous une question