Session de rattrapage 2015

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Partie 1

Soit `g` l a fonction numérique définie sur `]0,+infty[` par ` g(x) = 1-x +xlnx `

1a) Montrer que pour tout ` x in ]0, +infty[ : g'(x)= lnx `

b) Montrer que `g` est décroissante sur `]0,1]` et croissante sur `[1,+infty[`

2) Calculer ` g(1)` et en déduire que ` forall x in ]0,+infty[ : g(x) >= 0 `

Partie 2

On considère la fonction `f` définie sur `]0,+infty[` par ` f(x)= 3 -1/x^2 -(2lnx)/x `

et soit `C_f` sa courbe représentative dans un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j)) `

1) Montrer que ` lim_{ x to 0^+} f(x)= -infty ` puis interpréter géométriquement ce résultat Indication ` f(x)= (3x^2 -1-2xlnx)/x^2`

2) Montrer que ` lim_{ x to +infty} f(x)= 3 ` en déduire la nature de la branche infinie de la courbe `C_f` au voisinage de `+infty `

3a) Montrer que ` forall x in ]0,+infty[ : f'(x)= (2g(x))/x^3 `

b) Interpréter géométriquement le résultat ` f'(1)= 0 `

c) Montrer que `f` est croissante sur `]0,+infty[`

4) Construire `C_f`

5) Soit `h` la fonction numérique définie sur `R^(ast)` par ` h(x)= 3-1/x^2 -(ln(x^2))/(abs(x))`

a) Montrer que la fonction `f` est paire et pour tout ` x in ]0,+infty[ : h(x)= f(x) `

b) Construire dans le meme repère `(O, vec-i) , vec(j) ` la courbe `C_h` de la fonction `h`

Partie 1

1 a) Montrer que pour tout ` x in ]0, +infty[ : g'(x)= lnx `

On a pour tout ` x > 0 ` : `g` est dérivable et ` g'(x)= (1-x +xlnx)' `

` = (1-x)' +(xlnx)' `

` = -1 + x'lnx +xln'x `

` = -1 +lnx +x/x = -1 +lnx + 1 = lnx `

`=> forall x in ]0,+infty[ : g'(x)= lnx `

b) Montrer que `g` est décroissante sur `]0,1]` et croissante sur `[1,+infty[`

On a pour tout ` x >= 1 => ln(x) >= ln1 = 0 `

` => g'(x) >= 0 => g ` est croissante sur `[1,+infty[`

pour tout ` 0 < x <= 1 => lnx <= ln1 = 0 `

` => g'(x) <= 0 => g ` est décroissante sur `]0,1 ] `

2) Calculer ` g(1)` et en déduire que ` forall x in ]0,+infty[ : g(x) >= 0 `

On a ` g(1)= 1-1 +1xxln1 = 0 `

On a pour tout ` x >= 1 `

`=> g(x) >=g(1)` car `g` est croissante sur `[1,+infty[`

`=> g(x) >= 0 `

`=> forall x in [1,+infty[ : g(x) >= 0 `

on a pour tout ` 0< x <= 1 `

`=> g(x) >= g(1) ` car `g` est décroissante sur `]0,1]`

`=> g(x) >= 0 `

`=> forall x in ]0,1] : g(x) >= 0 `

Conclusion

` forall x in ]0,+infty[ : g(x) >= 0 `

Partie 2

1) Montrer que ` lim_{ x to 0^+} f(x)= -infty ` puis interpréter géométriquement ce résultat Indication ` f(x)= (3x^2 -1-2xlnx)/x^2`

On a ` lim_{ x to 0^+} f(x)= lim_{ x to 0^+} (3x^2 -1-2xlnx)/x^2 `

on a `lim_{ x to 0^+} (3x^2-1)= -1 ` et `lim_{ x to 0^+} 2xlnx = 0 `

`=> lim_{ x to 0^+} (3x^2-1 -2xlnx) = - 1 < 0 `

et on a `lim_{ x to 0^+} 1/x^2 = + infty `

`=> lim_{ x to 0^+} (3x^2 -1-2xlnx)/x^2 = -infty `

`=> lim_{ x to 0^+} f(x)= -infty `

Interprétation

la droite d'équation `x= 0 ` est une asymptote verticale de la courbe `C_f `

2) Montrer que ` lim_{ x to +infty} f(x)= 3 ` en déduire la nature de la branche infinie de la courbe `C_f` au voisinage de `+infty `

On a ` lim_{ x to +infty} -1/x^2 = lim_{ x to +infty} (-2lnx)/x = 0 `

`=> lim_{ x to +infty} [ 3 -1/x^2 -(2lnx)/x] = 3`

`=> lim_{ x to +infty} f(x)= 3 `

Interprétation géométrique

la droite d'équation ` y = 3 ` est une asymptote horizontale de la courbe `C_f ` au voisinage de `+infty `