Exercice
Session 1996
Partie 1
On considère la fonction `g` définie sur `]0,+infty[ ` par ` g(x)= 2x^2 +1- lnx `
1) Calculer `lim_{ x to 0^+} g(x) ` et `lim_{ x to +infty} g(x) `
2a) Calculer `g'(x)` pour tout ` x in ]0, +infty[ ` , puis étudier les variations de `g`
b) Dresser le tableau des variations de `g`
c) Montrer que ` forall x > 0 : g(x) > 0 `
Partie 2
Soit `f` la fonction définie sur `]0, +infty[` par ` f(x)= 2x -2 + (lnx)/x`
1) a) Calculer `lim_{ x to 0^+} f(x) ` puis interpréter géométriquement le résultat obtenu
b) Calculer `lim_{ x to +infty} f(x)` et déterminer la branche infinie de la courbe `C_f` au voisinage de `+infty `
2) Montrer que ` forall x > 0 : f'(x)= (g(x))/x^2 ` puis dresser le tableau des variations de `f`
3) a) Calculer `f''(x)` pour tout ` x > 0 `
b) Montrer que `C_f` admet un point d'inflexion qu'on déterminera
c) Tracer la courbe `C_f`
Partie 1
On considère la fonction `g` définie sur `]0,+infty[ ` par ` g(x)= 2x^2 +1- lnx `
1) Calculer `lim_{ x to 0^+} g(x) ` et `lim_{ x to +infty} g(x) `
2a) Calculer `g'(x)` pour tout ` x in ]0, +infty[ ` , puis étudier les variations de `g`
b) Dresser le tableau des variations de `g`
c) Montrer que ` forall x > 0 : g(x) > 0 `
Partie 2
Soit `f` la fonction définie sur `]0, +infty[` par ` f(x)= 2x -2 + (lnx)/x`
1) a) Calculer `lim_{ x to 0^+} f(x) ` puis interpréter géométriquement le résultat obtenu
b) Calculer `lim_{ x to +infty} f(x)` et déterminer la branche infinie de la courbe `C_f` au voisinage de `+infty `
2) Montrer que ` forall x > 0 : f'(x)= (g(x))/x^2 ` puis dresser le tableau des variations de `f`
3) a) Calculer `f''(x)` pour tout ` x > 0 `
b) Montrer que `C_f` admet un point d'inflexion qu'on déterminera
c) Tracer la courbe `C_f`
7 réponses
Partie 1
On considère la fonction `g` définie sur `]0,+infty[ ` par ` g(x)= 2x^2 +1- lnx `
On a `lim_{ x to 0^+} (2x^2+1)=1 ` et `lim_{ x to 0^+} -lnx = +infty `
`=> lim_{ x to 0^+} [2x^2+1 -lnx ] = +infty `
On a `lim_{ x to +infty} 2x^2 + 1 - lnx = lim_{ x to +infty} x^2[ 2 +1/x^2-(lnx)/x^2] = +infty `
car `lim_{ x to +infty} x^2= +infty `
`lim_{ x to +infty} 1/x^2 = lim_{ x to +infty} -(lnx)/x^2 = 0 `
`=> lim_{ x to +infty} [ 2 +1/x^2-(lnx)/x^2] = 2 > 0`
On considère la fonction `g` définie sur `]0,+infty[ ` par ` g(x)= 2x^2 +1- lnx `
1) Calculer `lim_{ x to 0^+} g(x) ` et `lim_{ x to +infty} g(x) `
On a `lim_{ x to 0^+} (2x^2+1)=1 ` et `lim_{ x to 0^+} -lnx = +infty `
`=> lim_{ x to 0^+} [2x^2+1 -lnx ] = +infty `
On a `lim_{ x to +infty} 2x^2 + 1 - lnx = lim_{ x to +infty} x^2[ 2 +1/x^2-(lnx)/x^2] = +infty `
car `lim_{ x to +infty} x^2= +infty `
`lim_{ x to +infty} 1/x^2 = lim_{ x to +infty} -(lnx)/x^2 = 0 `
`=> lim_{ x to +infty} [ 2 +1/x^2-(lnx)/x^2] = 2 > 0`
Avez vous une question
2 a) Calculer `g'(x)` pour tout ` x in ]0, +infty[ ` , puis étudier les variations de `g`
Pour tout ` x > 0` : `g` est dérivable et ` g'(x)= (2x^2+1)' -(lnx)' `
` = 4x-1/x = (4x^2-1)/x `
Avez vous une question
b) Dresser le tableau des variations de `g`
On a pour tout ` x > 0 : g'(x)= ((2x-1)(2x+1))/x`
comme `(2x+1)/x > 0` alors le signe de `g'(x)` est celui de `2x-1 `
On a `2x-1 >= 0 <=> x >= 1/2 `
Tableau des variations
On a `g(1/2) = 2xx1/4 + 1 -ln(1/2)= 3/2+ln2 approx 2.2`
Avez vous une question
c) Montrer que ` forall x > 0 : g(x) > 0 `
Selon le tableau des variations `g(2) approx 2.2 ` est une valeur minimale de `g` sur `]0,+infty[`
alors pour tout ` x > 0 :g(x) >= g(2) > 0 `
Avez vous une question
Partie 2
Soit `f` la fonction définie sur `]0, +infty[` par ` f(x)= 2x -2 + (lnx)/x`
On a `lim_{ x to 0^+} (2x-2)= -2 ` et `lim_{ x to 0^+} lnx = -infty ` et `lim_{ x to 0^+}1/x = +infty `
`=> lim_{ x to 0^+} [ 2x-2 +(lnx)/x] = -infty `
`=> lim_{ x to 0^+} f(x)= -infty `
la droite d'équation `x= 0` est une asymptote verticale
Soit `f` la fonction définie sur `]0, +infty[` par ` f(x)= 2x -2 + (lnx)/x`
1) a) Calculer `lim_{ x to 0^+} f(x) ` puis interpréter géométriquement le résultat obtenu
On a `lim_{ x to 0^+} (2x-2)= -2 ` et `lim_{ x to 0^+} lnx = -infty ` et `lim_{ x to 0^+}1/x = +infty `
`=> lim_{ x to 0^+} [ 2x-2 +(lnx)/x] = -infty `
`=> lim_{ x to 0^+} f(x)= -infty `
la droite d'équation `x= 0` est une asymptote verticale
Avez vous une question
b) Calculer `lim_{ x to +infty} f(x)` et déterminer la branche infinie de la courbe `C_f` au voisinage de `+infty `
On a `lim_{ x to +infty} (lnx)/x = 0 `
on a `lim_{ x to +infty} (2x-2)= lim_{ x to +infty} 2x = +infty `
`=> lim_{ x to +infty} (2x-2 +(lnx)/x) = +infty `
On a `lim_{ x to +infty} [f(x) -(2x-2)] = lim_{ x to +infty} (lnx)/x = 0 `
et par suite la droite `(Delta) : y =2x-2` est une asymptote oblique de la courbe `C_f` au voisinage de `+infty`
Avez vous une question
2) Montrer que ` forall x > 0 : f'(x)= (g(x))/x^2 ` puis dresser le tableau des variations de `f`
On a pour tout ` x > 0 ` : `f` est dérivable et ` f'(x)=(2x -2 + (lnx)/x)' `
` = (2x-2)' +(xln'x -x'lnx)/x^2 `
` = 2 + ( x/x -lnx)/x^2 `
` = (2x^2 +1 -lnx)/x^2 `
` = (g(x))/x^2 `
On a pour tout ` x > 0 : g(x) > 0 ` et `x^2 > 0 `
et par suite ` f'(x) > 0 ` pour tout ` x > 0 `
donc `f ` est croissante sur `]0,+infty[ `
Tableau des variations de `f`
Avez vous une question