Session normale 2006

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Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j) , vec(k)) ` On considère le point `A(1, -1, 3) ` et le plan `(P) ` d'équation `x-y+3z= 0 `

1a) Vérifier que $$\begin{cases} x= t \\ \\ y = -t \\ \\ z = 3t \end{cases} $$ est une représentation paramétrique de la droite `(OA)`

b) Déterminer une équation cartésienne du plan `(Q)` perpendiculaire à la droite `(OA)` en ` A `

c) Vérifier que `(P) text{ // } (Q) `

2) On considère la sphère `(S)` tangente au plan `(Q)` en ` A ` telle que la plan `(P)` la coupe en un cercle `(C)` de centre `O` et de rayon `r =sqrt(33) `

a) Montrer que le point `Omega(a, b,c) ` centre de la sphère `(S)` appartient à la droite `(OA)` et en déduire que `b =-a` et `c=3a`

b) Montrer que `OmegaA^2 -OmegaO^2 = 33 ` et en déduire que `a-b+3c= -11`

d) En déduire les coordonnées du point `Omega` puis montrer que le rayon de `(S)` est `R = 2sqrt(11) `