Quantificateur ` forall `
On a pour tout réel `x ` : `x^2 >= 0 `

` ( forall x in R) : x^2 >= 0 `

`( forall x in [-1, 1] : abs(x) <= 1 `

Quantificateur `exists `

l 'équation `x(x-1)= 0 ` admet ` 0 ` et ` 1 ` comme solutions

On écrit `( exists x in R ) : x(x-1)= 0 `

Quantifcateur `(exists !) `

l'équation `2x -1 = 0 ` admet une solution unique `x_0= 1/2 `

On dit que `( exists ! x in R ) : 2x -1 = 0 `

---

`P ` : `( forall x in R)( exists y in R ) : x^2 -xy +1 = 0 `

Soit ` x in R ` on a ` x^2 -xy +1 = 0 `

`<=> x^2 +1 = xy `

alors pour `x = 0 ` on trouve que ` 0^2 -0xxy +1= 0 ` absurde

donc la proposition est fausse

`Q` : `( exists y in R ) ( forall x in R ) : x^2 -xy +1 = 0 `

Pour ` y = x ` on trouve que ` x^2 -x^2 +1 = 0 ` absurde

donc ` Q` est fausse

on a ` bar(Q) : ( forall y in R ) ( exists x in R ) : x^2 -xy +1 ne 0 `

Soit ` y in R ` on a `Delta = y^2 -4 `

l'équation n ' pas de solution si `Delta < 0 <=> y^2 < 4 `

Pour ` y = 0 ` on a `x^2+1 ne 0 ` donc ` bar(Q) ` est vraie

alors `Q` est fausse