Dans le plan rapporté à un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j))` et `C` le recle trigonométrique qui lui associé , soient `a` et `b` deux nombres réels on considère les points `A`et `B` du cercle `C` tels que :

`(bar((vec(i), vec(OA)))) = a [2pi]` et `(bar((vec(i), vec(OB)))) = b[2pi]`


1 a) Montrer que `(bar((vec(OA), vec(OB)))) = b-a [2pi]`

b) En déduire que `vec(OA).vec(OB)= cos(b-a)`

2 a) Déterminer les coordonnées de chcun des vecteurs `vec(OA) ` et ` vec(OB)`

b) En utilisant l'expression analytique du produit scalaire , Montrer que `cos(b-a)= cosacosb+sin(a)sin(b)`

3) En déduire les égalités suivantes :

` cos(a+b)= cosacosb -sinasin(b)`

` sin(a+b)= sinacos(b) + cosasinb`

` sin(a-b)=sinacosb -cosasinb`

4 a) En utilisant les résultats de la question 3) Etablir les formules suivantes :

` ast : cos(2a)= cos^2a - sin^2a = 2cos^2a -1 = 1 -2sin^2(a) `

` ast : sin(2a) = 2sinacosa`

b) En déduire que `cos^2a = (1+cos(2a))/2 ` et `(sin^2a)= (1-cos(2a))/2`