Session normale 2025

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Soit `p` un nombre premier impair et `a ` un entier premier avec ` p `

1) Montrer que `a^((p-1)/2) = 1 [p] ` ou `a^((p-1)/2) = -1 [p] `

2) On considère dans `Z` l'équation `ax^2 = 1 [p] ` soit `x_0 ` solution de cette équation

a) Montrer que `x_0^(p-1)= 1 [p] `

b) En déduire que `a^((p-1)/2) = 1 [p] `

3) Soit `n ` un entier naturel non nul

a) Montrer que si `p` divise `2^(2n+1) -1 ` alors `2^((p-1)/2) = 1 [p] `

b) En déduire que l'équation `(E) : 11x +(2^(2n+1) -1) y = 1 ` admet au moins une solution dans `Z^2`

4) On considère dans `Z` l'équation `(F) : x^2+5x+2 = 0 [11] `

a) Montrer que `(F) <=> 2(2x+5)^2 = 1[11] `

b) En déduire que `(F)` n'admet pas de solution dans `Z`