Session normale 2025

---

Soit `alpha in [0,2pi; [ `

On considère dans l'ensemble `C` l'équation d'inconnue `z `

`(E_alpha) : z^2 -2^(alpha)e^(ialpha)(1+2i) z + i2^(2alpha+1)e^(2ialpha) = 0 `

1) a) Montrer que `Delta = (2^(alpaha)e^(ialpha)(1-2i))^2 `

b) End déduire les deux solutions `a` et `b` tels que `abs(a) < abs(b) `

2) Vérifier que `b/a` est un imaginaire pur

II) le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct

Soit `M(z)` le point du plan complexe d'affixe `z `

on pose `b/a = lamda i ` avec `lamda = Im(b/a) `

On considère les points `A(a) , B(b ) , H(h) ` avec `1/h = 1/a +1/b `

1) Montrer que `h/(b-a)= -lamda/(lamda^2+1) i ` puis en déduire que les `(OH)` et `(AB) ` sont perpendiculaires

2) Montrer que `(h-a)/(b-a)= 1/(lamda^2+1) ` puis en déduire que les point `H, A, B ` sont alignés

3) Soit `I(m)` le milieu du segment `[OH]` et `J(n)` le milieu du segment `[HB]`

a) Montrer que `n/(m-a)= -lamda i `

b) En déduire que les droites `(OJ) ` et `(AI) ` sont perpendiculaires et `OJ = abs(lamd) AI `

c) Soit ` k ` le point d'intersection des droites `(OJ)` est `(AI) ` montrer que les points ` K , I , H , J ` sont cocycliques

d) Montrer que les droites `(IJ) ` et `(OA)` sont perpendiculaires