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Applications Cours Cours en vidéos

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On considère les ensembles suivants `E = { -sqrt(5) , -sqrt(2) , -1 ,sqrt(2) , sqrt(5) } ` et `F = {1,2,5}`

a) Définir une application de `E` vers `F`

b) Définir une application de `F` vers `E `


Solution

On considère l'application `f` définie par :

` f : NxxN -> N `

`(x,y ) -> x+y `

a) Déterminer les antécédents de `{0}` par `f`

b) Déterminer l'ensemble des antécédents des éléments ` 2,3 `

c) l'implication suivante est elle vraie : ` f(a,b) = f(c,d) => (a,b)=(c,d) ` ? justifier


Solution

Soit `E` et `F` deux ensembles et `f` une application de `E` vers `F` , Montrer que

1) `f ` est injective `=> forall (A,B) in P(E)*P(F) : f(A cap B) = f(A) cap f(B) `

2) `f ` est injective `=> forall X in P(E) : f^(-1)(f(X))= X `

3) `f ` est surjective `=> forall Y in P(F) : f(f^(-1)(Y))= Y `

4) `f` est bijective ` => forall X in P(E) : f( E -X ) = F -f(X) `


Solution

On considère l'application

` f : A->B `
` x-> x^2+x+1 `

Déterminer `A` et `B ` pour que `f` soit bijective


Solution

On considère l'application

1 Montrer que `f` est bijective puis déterminer son application réciproque `f^(-1) `


Solution

On considère l'application

` f : [1,+infty[ -> [1,+infty[`

` x-> x +sqrt(x^2-x) `

1) Montrer que `f` est injective

2) Monter que `f` est bijective puis déterminer `f^(-1) `


Solution

on considère l'application
` f : [1,+infty[ -> R `
` x-> x-2sqrt(x-1) `

1) Résoudre dans `[1,+infty[ ` l'équation `f(x)= 1 ` , en déduire que `f` est non injective

2) Montrer que `( forall x in [1,+infty[ ) : f(x) >= 0 ` , puis en déduire que `f` est non surjective

3) on considère les applications :



a) Montrer que `u` est une bijection puis déterminer `u^(-1)`

b) Montrer que `v` est une bijection puis déterminer `v^(-1)`

c) Vérifier que ` h = vou ` , puis déterminer `h^(-1)`


Solution

On pose `I = ]0,+infty[` on considère l'application :

`f : I*I-> I*I`

` (x,y) ->(xy ,x/y) `

1) Montrer que `f` est injective

2) Montrer que `f` est surjective

3) En déduire que `f` est bijective puis déterminer `f^(-1)`


Solution

On considère l'application `f` définie par

` f : [0,1/4]-> [-1/4,0]`

`x-> x-sqrt(x) `

Montrer que `f` est bijective puis déterminer sa bijection réciproque


Solution

Soit `E` un ensemble non vide on considère l'application `f` définie par

` f : P(E) -> P(E) `

` A->bar(A) `

1) Montrer que `f` est injective

2) Montrer que `f` est surjective

3) En déduire que `f` est bijective , puis déterminer `f^(-1) `


Solution

On considère les applications :

et

Déterminer les applications `gof` et `fog ` , `fof`


Solution

Trouver toutes les applications de `R ->R ` telles que :

`forall (x,y) in R^2 : f(xf(y)) = f(xy) +x `


Solution

On considère les applications ` f : E->F ` et ` g : F -> H `

1) Montrer que `f` est surjective `<=> f(E) = F `

2) Montrer que si `f` et `g` sont injectives alors ` gof` est injective

3 ) Montrer que si `f` et `g` sont surjectives alors ` gof` est surjective

4) Montrer que si `f` et `g` sont bijectives alors ` gof` est bijective et `(gof)^(-1)= f^(-1)og^(-1)`


Solution

On considère l'application ` f : R-> R ` telle que:

` forall x in R : underbrace{fof......of}_{ 2008 fois }(x)= x^2-3x+4`

On pose ` underbrace{fof......of}_{ 2007 fois }(2)= y `

1) Montrer que `f(y)= 2`

2) En déduire que ` underbrace{fof......of}_{ 2007 fois }(2)= 2`


Solution

On considère l'application
` h : R^+ -> [1/4,+infty[`
`x-> x+sqrt(x)+1/4`

1) Ecrire ` h` sous forme de composée de deux applications `f, g ` avec ` h = gof `

2) Montrer que `f` est bijective puis déterminer sa bijection réciproque `f^(-1)`

3) Montrer que `g` est bijective puis déterminer sa bijection réciproque `g^(-1)`

4) En déduire que `h` est bijective de `R^+` sur `[1/4 ,+infty[` , puis déterminer ` h^(-1)`


Solution

Soit `f` une application `R-> R ` telle que `( forall x in R ) : f(x+1)+2f(1-x)= 3x-2 `

Déterminer `f(x)` en fonction de ` x`


Solution

Soit `A ` une partie de `E` on considère les applications

`phi : E->E `

` X-> X cap bar(A)`

et ` h : E -> E`

`X-> bar(X) cup A `

Déterminer ` phi o phi ` , ` phi o h ` et ` h o h `


Solution

Soit `f` l'application définie de `R-{0,1}` dans `R-{0,1}` par `f(x)= 1/(1-x)`

Montrer que ` forall x in R -{0,1} : (fofof)(x)=x `


Solution

soit `f` une application telle que

`f : N->N`
` n-> n+(-1)^n `

1) calculer `fof(0)` , `fof(1)`, `fof(2)`, puis déterminer `fof(n) , forall n in N`

2) Montrer que `f` est bijective et déterminer `f^(-1)`


Solution

Déterminer toutes les applications `f: R->R` telles que
`forall (x,y) in R^2 : f(x)f(y) -f(xy)=x+y`


Solution

Montrer qu'elle n'existe aucune fonction `f` définie de `N^(ast)` dans `N^(ast) ` telle que :

` forall (n,m) in N^(ast)xxN^(ast) : (f(n))^(f(m)) = m^n`


Solution

soit `f` une application de `N->N`

Montrer par récurrence que si `f` est strictement croissante alors `forall n in N : f(n)>= n`


Solution

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