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Calcul vectoriel dans le plan Cours Cours en vidéos

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soit `ABC` un triangle

Construire les points `M ` , ` N ` et `Q` tels que :

`vec(AM)=3/2vec(AB) -1/4vec(AC)`

`vec(AN)=1/2vec(NA) +vec(NC)`

`3vec(QA)+2vec(QB) -vec(QC)= vec(0)`


Solution

`ABCD` est un parallélogramme : `E,F` deux points tels que

`vec(BE) = 1/2 vec(AB)` et `vec(AF) =3 vec(AD)`

1) Construire une figure correspondante

2) Montrer que `vec(EF) =-3/2vec(AB) +3 vec(AD)` et `vec(EC) =-1/2vec(AB) +vec(AD)`

3) Montrer que les points `E,F,C` sont alignées

4) Déterminer le réel `alpha` tel que `vec(EF)= alpha vec(EC)`


Solution

`ABCD` un parallélogramme , `M` et `N` deux points tels que `vec(DM)=5/2vec(DA)` et `vec(CN)=2/3vec(DC)`

1) Construire une figure correspondante

2) Montrer que `vec(BM)= 3/2vec(DA) -vec(AB) ` et `vec(BN)= 2/3vec(DC) +vec(BC) `

3) Exprimer `vec(BM) ` et `vec(BN) ` en fonction de `vec(AB)` et `vec(BC) `

4) a) Etablir que `2vec(BM) +3vec(BN)= vec(0) `

b) En déduire que les points `B, M, N ` sont alignés


Solution

` ABC` un triangle

Exprimer le vecteur ` vec(AM)` en fonction de ` vec(AB) ` et `vec(AC)` dans chacun des cas suivants :

1) ` vec(BM)+ vec(CA) = vec(BC) `

2) ` 2vec(MB) + vec(BA)= vec(BC) `

3) ` vec(MB) + vec(MC) +vec(AB)= vec(0) `

4) ` 2 vec(MA) +3vec(MB) = 5vec(AC) `

5) ` vec(MB) -2 vec(MC)= vec(CA) `

6) ` 3 vec(AM) +2vec(MB)= 3 vec(AB) `


Solution

soit ` A ` un point du plan et les vecteurs `vec(u) , vec(v) ` et `B , C , D ` des points du plan tels que

` vec(AB)= vec(u) ` , ` vec(AC)= vec(u) +vec(v) ` , `vec(AD)= vec(u) -vec(v) `

Montrer que `B` est le milieu du segment `[CD]`


Solution

`MNPQ` est un parallélogramme

`R` et `S` deux points tels que ` vec(MR)= vec(QN) ` et `vec(RS)=vec(MN) `

1) Construire une figure

2) Montrer que `N` est le milieu du segment `[SQ]`


Solution

` A , B , C , M` quatre points du plan

et `vec(v)` le vecteur défini par ` vec(v)= xvec(MA) + 2vec(MB) -7 vec(MC) `

1) Ecrire `vec(v)` en fonction de `vec(MA)` , ` vec(AB)` , `vec(AC)` et `x `

2) Déterminer les valeurs de `x ` pour lesquelles `vec(v)` est indépendant de `x `


Solution

` ABC` est un triangle ; `A'` est le milieu du segment `[BC]`

On se propose de démontrer la propriété ` text{ Dire que G est le centre de gravité de ABC équivaut à dire que G est le point tel que } vec(GA)+vec(GB) + vec(GC)= vec(0) `

1) Quelle égalité vectorielle entre ` vec(GA)` et ` vec(GA') ` caractérise le centre de gravité

2a) Prouver que `vec(GB) + vec(GC)= 2vec(GA') `

b) En déduire que ` vec(GA) = -2vec(GA')` équivaut à ` vec(GA) + vec(GB) + vec(GC) = vec(0)` . conclure


Solution

Soit `ABC` un triangle ; `M ; N ;K;K'` sont quatre points du plan tels que
`vec(AN)=1/3vec(AC)` ; `vec(CM)=4/3vec(CB)` ; `vec(Ak)=2/3vec(AB)` ; `3vec(BK')+vec(CB)=vec(0)`

1) Construire les points `M ; N ;K;K'`
2)
a) montrer que `vec(MN)=-4/3vec(AB)+2/3vec(AC)` ; `vec(MK)=-2/3vec(AB)+1/3vec(AC)`
b) en déduire que `M,N ,K` sont alignés

3) soit `vec(u) = vec(K'C)+vec(K'M)`
a) simplifier `vec(u)`
b) en déduire que `K'` est le milieu de `[CM]`


Solution

dans les cas suivants déterminer `vec(AM)` en fonction de `vec(AB)`

1) `2vec(MA) +vec(MB) = vec(0)`

2) `vec(MB)=3vec(MA)`

3) `4vec(MB) -5vec(MA) = vec(0)`

4) `5vec(MA) -3vec(MB) +vec(AB) =vec(0)`


Solution

soit `A ne B` deux points du plan soit `I` le milieu du `[AB]` et `O` un point du plan

Montrer que
1) `vec(IA)+vec(IB)=vec(0)`

2) `vec(AB) = 2vec(AI)`

3) `vec(OA)+vec(OB) = 2vec(OI)`


Solution

soit `ABCD` un parallélogramme de centre `I` montrer que `vec(IA) + vec(IB) +vec(IC) +vec(ID) = vec(0)`


Solution

soit `ABCD` un parallélogramme de centre `O` on pose `vec(i)=vec(AB)` et `vec(j)=vec(AC)`

Ecrire en fonction de `vec(i)` et `vec(j)` les vecteurs `vec(AB)`; `vec(BD) ` ; `vec(DO)`


Solution

Montrer que `vec(AB)=vec(DC)` `=> ` `vec(AD)=vec(BC)`


Solution

Soit `ABC ` un triangle soit `E` un point du plan tel que `vec(AE)=vec(AB)+vec(AC)`

soit `O` un point du plan
montrer que `vec(OB)+ vec(OC)=vec(OA)+vec(OE)`


Solution

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