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Dérivation et étude des fonctions Cours Cours en vidéos

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Soit `f` la fonction numérique définie sur `[1,+infty[` par `f(x)= 1/2x^2 -x+5/2 `

1) Montrer que `f` admet une fonction réciproque définie sur un intervalle `J` à déterminer

2) Déterminer `f^(-1) ` pour tout ` x in J `

3) Montrer que `f^(-1)(x) ` est dérivable sur `]2,+infty[ ` puis déterminer `(f^(-1))'(x) ` pour tout ` x > 2 `

4) Vérifier que ` forall x in ]2,+infty[ : (f^(-1))'(x) = 1/(f'(f^(-1)(x)) `


Solution

On considère la fonction `f` définie sur `[0,(pi)/2]` par `f(x)= x + sqrt(sinx)`

1) Montrer que `f` admet une fonction réciproque `f^(-1) ` définie sur un intervalle `J` à déterminer

2) Montrer que `f^(-1)` est dérivable sur `J-{0}`

3) Montrer que `f^(-1)` est dérivable à droite au point `0 `


Solution

On considère la fonction `f` définie sur `R` par :

`f(x)= ax^2+bx text{ si } x <= 1 `

`f(x) = x^3 +3x^2 -5 text{ si } x > 1 `

Déterminer les valeurs de `a` et ` b ` sachant que `f` est dérivable au point `x_0= 1 `


Solution

On considère la fonction `f` définie sur ` I = [0,(pi)/2]` par `f(x)= cos(2x) `

1) Montrer que `f` réalise une bijection de `I` sur l' intervalle `J = [-1,1]`

2) Montrer que `f^(-1)` est dérivable sur `]-1,1[ ` , puis déterminer `(f^(-1))'(0)`

3) Montrer que ` forall x in ]-1,1[ : (f^(-1))'(x) = -1/(2sqrt(1-x^2)) `


Solution

soit ` f : [a,b]->R ` continue et deux fois dérivable sur `]a,b[ ` telle que

1 ` forall x in ]a,b[ : f''(x) <= 0 `

2 ` f(a)= f(b)= 0 `

Montrer que ` forall x in ]a, b[ : f(x) >= 0 `


Solution
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