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Ensembles : `R`, `Q`, `Z` ,`N` Cours Cours en vidéos

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l 'objectif est de démontrer que `sqrt(2)` est irrationnel

on suppose que `sqrt(2)=p/q` et `p`,`q` sont premiers entre eux

1) Vérifier que `p^2=2q^2`

2) Montrer que `p^2` est pair et conclure que `p` est pair

3) Montrer que `q^2` est pair et conclure que `q` est pair

4) Que peut on conclure


Solution

1) Montrer que l'équation `x^2 = 2 ` est équivalente à l'équation ` x = 1 +1/(1+x) ` on pose `f_1 = 1+1/(1+x) `

2) a) Montrer que `1+1/3 ` est une approximation de ` sqrt(2) `

b) Montrer que ` x = 1+ 1/( 2+1/(1+x))` on pose `f_2 = 1+ 1/( 2+1/(1+x))`

c) Déterminer une autre valeur approchée de ` sqrt(2) `

3) ` f_3 : x = 1 +1/(2 +1/(2+1/(1+x))) ` on pose `f_3 = 1 +1/(2 +1/(2+1/(1+x))) `

b) Calculer `f_1 , f_2, f_3 ` pour ` x = 3 `

c) Quelles sont les valeurs approchées à `10^(-1) ` près de `sqrt(2)` parmi `f_1, f_2,f_3` ? et à `10^(-2) ` près ?


Solution

Calculer :
`A= {1-1/{1+1/2}}/{1+1/{1+1/2}}`

`B=(-2^{-1} +5)^{-1}*(2/5-1)^{-1}`

`C=2sqrt(5)(sqrt(2)+1) -sqrt(10)(2+sqrt(2))`

`D={sqrt(4,9*10^3)}/{sqrt(3*10^2)sqrt(12*106)}`


Solution

On pose `A = sqrt((5sqrt(2) -7)/(5sqrt(2) +7))` et `B = sqrt((3+2sqrt(2))/(3-2sqrt(2)))`

Simplifier les nombres ` A , B , A/B `


Solution

Factoriser :

`A = a^4+b^4 - c^4 -2a^2b^2 +4abc^2`


Solution

1) calculer `A=({sqrt(6)-sqrt(5)}/2)^{-1} +(sqrt(6)+sqrt(5))^{-1} `

2) soient `B= sqrt(6+2sqrt(5)) -sqrt(9-4sqrt(5))` et `C= 1/{sqrt(2)+1} + 1/{sqrt(2)+sqrt(3)} + 1/{sqrt(4)+sqrt(3)}`

a) Montrer que `B` et `C` sont des entiers naturels

b) Montrer que `Asqrt(6) -sqrt(10B)=18`


Solution

1) construire un segment de longueur `sqrt(5)`

2) on pose `a=sqrt(3)(1+sqrt(6))`, `b=3-sqrt(6)`

a) Calculer `a^2` et `b^2`

b) Montrer que `a^2+b^2` est un entier naturel

3) soit `ABC` un triangle rectangle en `C` tels que `BC=a` et `AC=b` calculer `AB`


Solution

1) Montrer que `2^64 - 1=` `(2^8-1)(2^8+1)(2^16+1)(2^32+1)`

2) Montrer que `(333333)^2` +`(444444)^2` `=(555555)^2`

3) Montrer que `(499999)^2` +`999999` `=25*10^10`

4) Montrer que `(999999)^2` +`(2000)^2` `=(1000001)^2`


Solution

soient ` a,b,c ` des réels

1) Montrer que `a^3+b^3+c^3-3abc` `=1/2(a+b+c)` `[ (a-b)^2+ (b-c)^2 +(c-a)^2]`

2) On suppose que `a,b,c` sont des longueurs des cotés d'un triangle tels que ` a^3+b^3+c^3=3abc`, quelle est la nature de ce triangle ?


Solution

écrire les nombres suivants selon la forme `a*10^n` avec `a` est un nombre rationnel et `n in Z`

`A=0,05*0,0006`

`B=(0,05)^2*(0,02)^{-2}*10^{-7}`

`C=10^{-8}*(0,006)^{-4}`

`D=(0,00004)^11*1/5`


Solution

Ecrire les expressions suivantes sous la forme d'une puissance d'un seul nombre

`A = 5^5xx7^(-7)xx5^(4)xx7^(-2) `

`B = (2^6xx3^6xx5^5)/(2^4xx3^8xx5^3) `

`C= 6^(-8)xx3^(-10)xx18^4xx2^(-6)`

`D= (36^(-7)xx16^(5) xx81^3)/(18^3xx2^(-1))`


Solution

Soit `n` un entier naturel et `a, b` des réels non nuls tels que ` a ne b ` ; ` a ne -1 ` , ` a ne 1 `

Simplifier :

1 ` A= ( a- (1-a)^(-1))^(-1)xx ((a(a-2)+1)/(a^2-a+1))^(-1)`

2 ` B= {a^nb -a^(n+1)}/{b^nxxa -b^(n+1)}xx (a/b)^(-n)`


Solution

Soit `a, b ` deux réels non nuls on pose `A = {a^(-1)xx(b^3a^(-5))^3b^6}/{b^(-2)(a^(-3)b^5)^3a^4}`

1) Simplifier ` A `

2) Calculer ` A ` lorsque ` a = 10^(-1) ` et ` b = 0,001` , puis donner l'écriture scientifique de ` A `


Solution

Soit `a , b` deux réels non nuls on pose ` X = {a^(-3)b(4a^2b^(-2))^4a^5b^2}/{ab^(-2)(a^(-1)b^2)a^2b^(-3)}`

1) Simplifier `X`

2) Calculer `X` pour `a= 10^6` et `b= 10^(-10)` puis donner l'écriture scientifique de `X`


Solution

On donne `E = (a^3b^(-3))^4/(((a^(-1))^(-5)b^3))^(-2)`

1) Montrer que `E = a^(22)/b^6`

2) a) Calculer `E` lorsque `a= 3xx10^(-2)` et `b= 27xx10^3`

b) Donner l'écriture scientifique de `E`


Solution

Soit `a,b ` deux réels non nuls simplifier

`E = {(a^3b)^(-3)xx(ab^3)^3xx(a^(-2)b^(2))^3}/{(ab^(-1))^(-2)xx(a^(-1)b^2)^3xxb^(-4)}`


Solution

Soit `x` un réel positif non nul tel que `x^2+1/x^2= 3 `

Calculer ` sqrt(x) +1/(sqrt(x)) `


Solution

Calculer `A` sachant que `A= sqrt(2 +sqrt(3)) -sqrt(2-sqrt(3))`


Solution

Déterminer tous les entiers naturels ` x, y ` tels que `x/2 -3/y = 1 `


Solution

On donne `A= {x^(-4)y^3(x^4y^(-3)) x^(-6)y^6}/{ x^2y^(-6) (x^(-6) y^6) x^4y^9 }`

Calculer la valeur de `A` pour ` x= 10^(-6)` et ` y = -10^(-4)`


Solution

Soit `n` un entier naturel tel que ` n >= 2 ` Montrer que

`(2+1)(2^2+1)(2^4+1).........(2^(2^n) +1) = 4^(2^n) -1 `


Solution

Soit ` x, y ` deux entiers relatifs tels que `x^2+2y+6 = x(y+6) `

1) Montrer que `(2x-(y+6))^2 = (y+2)^2+8 `

2) Déterminer les valeurs de ` x` et ` y `


Solution

Factoriser les expressions suivantes

`A= x^8+x+1`

`B= x^10+x^5+1`


Solution

1 Simplifier le nombre ` sqrt(11+6sqrt(2)) - sqrt(6-4sqrt(2))`

2 Montrer que `sqrt(4-2sqrt(3)) +sqrt(4+2sqrt(3))=4`

3 Calculer `sqrt(7-4sqrt(3)) + sqrt(7+4sqrt(3)) `

4 Calculer ` sqrt(7+sqrt(48))+sqrt(7-sqrt(48)) `


Solution

soit `x= sqrt(17-12sqrt(2)) ` et `y= sqrt(17+12sqrt(2)) `

1) calculer `x xx y`

2) calculer `(x+y)^2` et `(x+y)^2`

3) déterminer `x+y` et `x-y`


Solution

soit `x in [0,+infty[`
1) Montrer que `1/{sqrt(x+1)+sqrt(x)} =sqrt(1+x) -sqrt(x)`

2) Calculer la `S= 1/{sqrt(1)+sqrt(2)}+ 1/{sqrt(2)+sqrt(3)}+.....+ 1/{sqrt(99)+sqrt(100)}`

3) Montrer que `forall n in N^(ast) ` : `1/{n(n+1)}=1/n-1/{n+1}`

4) Calculer `S_1=1/{1xx2} +1/{2xx3} +....+ 1/{2019xx2020}`


Solution

Montrer que

1) ` sqrt(7,2) =sqrt(5)+1/sqrt(5)`

2) ` sqrt(10,125) =2sqrt(2)+1/{2sqrt(2)}`

3) `sqrt(845) +sqrt(5)=sqrt(980)`

4) `1/2sqrt(18,05) =sqrt(5)-1/{4sqrt(5)}`


Solution

Montrer que :

1) `({sqrt(10-2sqrt(5))}/4)^2` `+ ({1+sqrt(5)}/4)^2 =1`

2) `36^3 =(27+3sqrt(5))^3 + (27-3sqrt(5))^3`

3) `4^3 =({sqrt(85) +1}/2)^3` `-({sqrt(85) -1}/2)^3`


Solution

soient `a= sqrt(14+6sqrt(5)) ` , `b= sqrt(14-6sqrt(5)) `

1) Calculer `(3+sqrt(5))^2` et `(3-sqrt(5))^2`

2) En déduire les valeurs de `a` et `b`

3) Montrer l existence d'un entier naturel `t` tel que `(7+3sqrt(5))(3-sqrt(5))sqrt(7-3sqrt(5))=tsqrt(2)`


Solution

Résoudre dans `N` l équation `4^x+3xx2^x=88`


Solution

soit `x in R`

1) Montrer que `x^6-1=(x-1)(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)`

2)
a) Calculer `A=1+1/2+1/4+.....1/32`

b) Calculer `B=1+2/3+4/9+........32/243`

3) Montrer que `x^7-1=(x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)`

4) Calculer

a) `A+1/64`

b) `B+64/729`


Solution

Montrer que
`(1-1/2^2)(1-1/3^2)......(1-1/10000^2)=0,50005`


Solution

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