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Etude analytique de l'espace
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On considère les vecteurs `vec(a)=vec(i) +vec(j) +vec(k) ` , `vec(b)= -vec(i) + 3vec(j) +vec(k) ` , `vec(c)=(m^2-1)vec(i) +2mvec(j) +2(m^2-m-1) vec(k) `

a) les vecteurs `vec(a) , vec(b)` sont ils colinéaires ? Justifier la réponse

b) Déterminer les valeurs de `m` pour lesquelles les vecteurs `vec(a) ,vec(c)` sont colinéaire

2) Etudier l'alignement des points `A(1,2,3) , B(-1, 3, 2) ; C(3, -2, 1) `


Solution

On considère les vecteurs `vec(u)=vec(i) -vec(j) +3vec(k)` , `vec(v)=-3vec(i) +2vec(j) +2vec(k)` , `vec(w)=5vec(i)+vec(k)`

`vec(a)=(m-1)vec(i) +2mvec(j) +3vec(k)`

1) Calculer `det(vec(u) , vec(v) , vec(w))`

2) Déterminer les valeurs du réel `m` pour lesquelles `det(vec(u),vec(v), vec(a)) = 0 `


Solution

dans le repère `(O, vec(i) ,vec(j),vec(k))` on considère les points `A(1, -2,3) : B(0, 1, -1) ; C(2,0,3) `

1) Déterminer une représentation paramétrique de la droite `(AB)`

2) le point `C` appartient -il à la droite `(AB)` ? justifier .

3) On considère la droite `(D) ` définie par sa représentation paramétrique :

a) Déterminer un vecteur directeur de `D` et point appartenant à `(D) `

b) Montrer que `A in (D) `


Solution

soit `(D)` la droite définie par les deux équations cartésiennes `(x-1)/3 =(y+1)/2 = (3-z)/4`

1) Donner un vecteur directeur de la droite `(D)` et un point appartenant à `(D)`

2) En déduire une représentation paramétrique de `(D) `

3) est ce que le point `G(1, -1, 3) ` appartient-il à la droite `(D)` justifier


Solution

1) Soit `(D) ` la droite définie par les deux équations cartésiennes : `(2x-1)/3 = (y+1)/4 = (3-4z)/4 `

a) Déterminer un vecteur directeur de `(AB) ` et un point appartenant à `(D) `

b) En déduire une représentation paramétrique de la droite `(D) `

2) Déterminer deux équations cartésiennes de la droite `(OE)` ou `E(-2,5,7)`


Solution

dans le repère `(O,vec(i) , vec(j) ,vec(k))` on considère les points `A(-1,1,1) , B(0,2,-1) , C(-1,0,3)`

1) Montrer que les points `A, B , C ` ne sont pas coplanaires

2) Déterminer une représentation paramétrique du plan `(ABC)`

3) le point `D(2, -2, -3)` appartient il au plan `(ABC)`


Solution

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