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Etude analytique du produit scalaire Cours Cours en vidéos

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Dans le plan menu d'un repère orthonormé `(O,vec(i),vec(j))` , on considère les points `A(sqrt(3)-1, sqrt(3)+1)` et `B(-2,2)`

1)a) Montrer que `OA= 2sqrt(2)` , puis calculer `OB`

b) En déduire la nature du triangle `OAB`

2a) Calculer `vec(OA).vec(OB)` et ` det(OA,OB)`

b) Calculer `cos(bar(vec(OA),vec(OB)))` , et `sin(bar(vec(OA),vec(OB)))` et en déduire une mesure principale de l'angle `(bar(vec(OA),vec(OB)))`

3) Donner l'équation de la hauteur du triangle `OAB` passant par `O`


Solution

On considère les vecteurs `vec(u)=vec(i) -sqrt(3)vec(j)` et `vec(v)(4,-3) ` , `vec(w)=vec(i) +mvec(j) ; m in R `

a) Calculer ` abs(abs(vec(u)))` , ` abs(abs(vec(v)))` , ` abs(abs(vec(w)))`

b) Déterminer les valeurs de `m` pour lesquelles ` abs(abs(vec(w))) = sqrt(5)`


Solution

1) Soit les vecteurs `vec(u)=sqrt(2)vec(i) +3vec(j)` et `vec(v)=2vec(i) +sqrt(2)vec(j) ` .Calculer `vec(u).vec(v)`

2) Soit les vecteurs `vec(u)=2vec(i) +5vec(j)` et `vec(v)=5vec(i) -3vec(j)` .A t-on ` vec(u) bot vec(v)` ? justifier la réponse .

3) Soit les vecteurs `vec(u)=5vec(i) +mvec(j)` et `vec(v)=2vec(i) -10vec(j)` ou ` m in R ` . Déterminer `m` sachant que ` vec(u) bot vec(v)`


Solution

1) soit les vecteurs `vec(u)= 3/2vec(i) +5vec(j)` et `vec(u)= -4vec(i) +7vec(j)` . Calculer `vec(u).vec(v)`

2 ) soit les vecteurs `vec(u)= (sqrt(3)-1)vec(i) +2vec(j)` et `vec(c)= (sqrt(3)+1) vec(i) +3/2vec(j)` .

A t-on ` vec(u) bot vec(v) ` ? justifier la réponse

3) Soit les vecteurs `vec(u)= (2m-1)vec(i) +4mvec(j)` et `vec(u)= 3vec(i) -2vec(j)` ou ` m in R `

Déterminer ` m ` sachant que `vec(u) bot vec(v) `


Solution

On considère les vecteurs `vec(u) = 2vec(i) +3vec(j) ` , `vec(v) = (sqrt(5) -2 , sqrt(5) +2) ` , `vec(w) = (2m-1)vec(i) +3vec(j)
, m in R `

1) Calculer ` abs(abs(vec(u))) ` , ` abs(abs(vec(v))) ` , ` abs(abs(vec(w))) `

2) Déterminer les valeurs de `m` pour lesquelles ` abs(abs(vec(w))) = sqrt(10) `


Solution

1) Calculer `cos(bar(vec(u) ,vec(v)))` et `sin(bar(vec(u) ,vec(v)))` dans les deux cas suivants :

a) ` vec(u)= 3vec(i) +vec(j) ` et ` vec(v)= 3vec(i) +4vec(j) `

b) ` vec(u)= vec(i) -vec(j) ` et ` vec(v)= (sqrt(3) -1) vec(i) +(sqrt(3)+1) vec(j) `

2) On considère les points `A(-3,3)` et `B(-1,3)` et `C(1,7)`

a) Calculer `cos(bar(vec(BA) ,vec(BC)))` et `sin(bar(vec(BA) ,vec(BC)))`

b) En déduire une mesure de l'angle `(vec(BA) ,vec(BC))`

c) Calculer l'aire du triangle `ABC`


Solution

On considère les points `A( -2sqrt(3) , sqrt(3)) ` , `B(-1, -2) ` , `C(1, 2) `

Montrer que le triangle `ABC` est équilatéral


Solution

Déterminer une équation cartésienne de plan `(P)` passant par `A` et de vecteur normal `vec(n)` dans chacun des cas suivants :

1) ` A= (1, -2, 1) ` et ` vec(n)(1, -1, 1) `

2 ) ` A( -1, 0, 2) ` et ` vec(n)(2, -3, 5/2) `

3) ` A( -1, 1, -3)` et ` vec(n)= vec(i) -2vec(k) `

4) ` A(4,1, 0) ` et ` vec(n)= vec(i) -2vec(j) -vec(k) `


Solution

On considère les points `A(1, 2) ` , `B(-1, 1) `

1) Trouver le couple de coordonnées `C` pour que le tringle `ABC` soit équilatéral

2) Calculer l aire du triangle ` ABC `

3) Déterminer une équation cartésienne de l'ensemble des points `M(x,y) ` tels que `AM = BM`


Solution

On considère le plan `(P)` d'équation cartésienne ` (P) : x+2y -3z -5 = 0 ` et le point `A(1, -3,2) `

1) Déterminer une représentation paramétrique de la droite `(Delta)` passant par `A` et perpendiculaire à `(P) `

2) Déterminer les coordonnées de `H` projeté orthogonal du point `A` sur le plan `(P) `


Solution

Soient les points `A(1,0) ` , ` B(-1,2) ` , ` C(sqrt(3),sqrt(3)+1) `

1) Calculer `vec(AB)* vec(AC)`

2) Calculer les distances `AB` et `AC`

3) Calculer ` cos( hat(vec(AB) ,vec(AC)))` et `sin (hat (vec(AB) ,vec(AC)))`

4) Déterminer une mesure de l'angle `(vec(AB),vec(AC))`


Solution

Montrer que les plans `(P)` et `(Q)` sont perpendiculaires dans chacun des cas suivants :

1) `(P) : x -y +z = 3 = 0 ` et `(Q) : 2x+y -z+7 = 0 `

2) `(P) : 6x -2y +5z = 0 ` et `(Q) : x+3y -2 = 0 `

3) `(P) : x+y -3 = 0 ` et `(Q) : 2x -2y +5 = 0 `

4) `(P) : z -2 = 0 ` et `(Q) : 3x -2y -2 = 0 `


Solution

On considère les points `A(2,1) , B(4,3) , C(3,4) , D(1,2) ` et `I ` le milieu de `[BD]`

1) Montrer que `ABCD` est un rectangle

2) Calculer `cos(hat(BIC))`


Solution

On considère les deux droites `(D) : 2x+y -3 = 0 ` et `(D') : x-y -1 = 0 `

1) Tracer les droites `(D) ` et `(D') `

2) Donner deux vecteurs `vec(u) , vec(u') ` directeurs respectivement de `(D) ` et `(D') `

3) soit `alpha ` une mesure de l'angle `(vec(u) , vec(u'))`

a) Calculer `cosalpha` et `sin(alpha) `


Solution

On considère les points `A(3,-2) , B(1, -6) , C(2, -3) `

1) Déterminer une équation cartésienne de la droite `(AC) `

2a) Calculer la distance de `B` à la droite `(AC)`

b) En déduire l 'aire du triangle `ABC`

3Déterminer le couple de coordonnées du point `H` projeté orthogonal de `A` sur `(BC) `


Solution

Ecrire une équation cartésienne du cercle `C` de centre ` Omega` et de rayon `R ` dans chacun des cas suivants

1) `Omega(2,3) ` , `R = 2 `

2) `Omega(1,-2) ` , `R = 1`

3) `Omega(-1,0) ` , `R = 3/2 `

1) `Omega(-1/2,3/2) ` , `R = 2 sqrt(3) `


Solution

soit `(x,y) in R^2` montrer que `x+y <= sqrt(1+x^2)+sqrt(1+y^2)`


Solution


soit ` x , y , z in R ` tels que ` x^2 +2y^2+3z^2 <= 1 ` Montrer que `(x+y+z)^2 <= {11}/6 `

(utiliser l inégalité de Cauchy )


Solution

On considère les points `A(2,sqrt(3))` , `I(4,sqrt(3))` et `J(5,0)` soit `E ={ M (x,y) in P : x^2+y^2-6x+5 = 0 } `

1) Montrer que `E` est un cercle dont on déterminera le centre `Omega` et le rayon `R`

2) a) Vérifier que ` A in E `

b) Donner l équation cartésienne de la tangente `D` du cercle en `A`

3) a) Déterminer l équation cartésienne de la droite `Delta` passant par `I` et perpendiculaire a `D`

b) Montrer que la droite `Delta` coupe le cercle en `I` et `J`

4) Calculer `cos(vec(AI),vec(AJ))` et `sin(vec(AI),vec(AJ))` puis en déduire la mesure principale de l angle `(vec(AI),vec(AJ))`

5) Résoudre graphiquement le système :

` x^2+y^2-6x+5 > 0 `

`(x-sqrt(3)y +1 ) (sqrt(3)x+y -5sqrt(3)) < 0 `


Solution

Soit `A, B ` deux points du plan ` A ne B ` et `I` le milieu du segment `[AB]` soit `M` un point quelconque du plan

1) a) Montrer que `vec(MA) = vec(MI) -1/2vec(AB)` et `vec(MB) = vec(MI) +1/2vec(AB)`

b) En déduire que `vec(MA).vec(MB) = MI^2-1/4AB^2`

2) a) Montrer que `(vec(MA) +vec(MB)) (vec(MA) -vec(MB)) = 2vec(IM)vec(AB)`

b) En déduire que `MA^2-MB^2= 2vec(IM)vec(AB)`

3) Montrer que `MA^2+MB^2 = 2MI^2+ 1/2AB^2 `


Solution

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