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Fonctions exponentielles Cours Cours en vidéos

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Calculer les limites suivantes :

1 `lim_{ x to +infty} ((x+1)/(x-1))^x `

2 `lim_{ x to 0^+} x^((x+1)/x)`


Solution

Soit `r` un nombre rationnel et `x` , `y` deux réels strictement positifs Simplifier les expressions suivantes :

`E = (3xx8^(r-1/3) +4^(r+1) (sqrt(3))^(2r+4))/(8^r - (16)^(r+1/2)xx2^(-r-4))`



2

Résoudre dans `Q` l'équation `10^((x-2)(3-x)) = 1/(100) `

3

Déterminer le plus petit entier naturel tel que `3^n > (2022)^(40) `

4

Montrer que `forall n in N : sqrt(2^(2n) +2^(n+1)+1) -sqrt(2^(2n) -2^(n+1) +1)= 2 `


Solution

Résoudre dans `R` les équations et inéquations suivantes :

1 `exp(-x^2)= exp((3x+1)/(x-5))`

2 `exp(x^2+1/x^2)= exp(2)`

3 `exp(-x^2) > exp(-x)`

4 `exp(5x^2-7x +2)<= 1 `

5 `exp(1/(x+7) )<= exp(1/(x+7)^2 -12)`


Solution

Simplifier les expressions suivantes :

1) ` A_1 = ln(e^(-5))` , `A_2 = ln(1/e^3) ` , `A_3 = ln( sqrt( e^(-ln(e^8)) ) ) `

2) ` A_4 = ln(sqrt(e^6)) - ln(sqrt(e^4)) ` , `A_5 = exp ( -1/5ln(e^(-5)))`


Solution

1

Simplifier l'écriture du nombre ` A = ln((sqrt(2)-1)/(sqrt(2)+1)) -2 ln(sqrt(2) -1) `

2

Résoudre dans `R` les équations suivantes :

`ln(2x-1) +ln(2x+5)= ln7 `

`3(lnx)^2 -5lnx +2= 0 `

` abs(5-2lnx)= abs(3+lnx^4) `

3

Résoudre dans `R` les inéquations suivantes :

`2(lnx)^2 -lnx -3 >= 0 `

`ln(7x+6) -ln(2x-3) >= ln(x-2) `

`ln(2x)xxln(2/x) >= 2ln2 -1 `


Solution

1 On considère la fonction `f` définie sur `R` par `f(x)= (2e^(2x))/(e^(2x) +1) ` . Montrer que ` forall x in R : f(x) +f(-x)= 2 `

2 Résoudre dans `R` : l'équation `e^((3x)/(x-1)) -e^(x/(x-1)) = 2 e^(x/(x-1)) -2 `

3 Résoudre dans `R` l inéquation `((e^(2x) -16)(e^x -1))/(e^(x+1) -e) >= 0 `


Solution

Si `X = 3( e^(-7 +ln(3)) -1) ` alors a t-on l'égalité

` lnX = ln3 + ln(1000 -e^7) -7 `


Solution

1Montrer que la fonction `exp` est dérivable sur `R` et que pour tout ` x in R : (exp)'(x)= exp(x) `

2a) Calculer `lim_{ t to 0} (exp(t) -1)/t `

b) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe `x->exp(x)` au point d'abscisse `0`

3) Soit `u` une fonction dérivable sur `I` de `R`

a) Montrer que la fonction définie par `f(x)= exp(u(x)))` est dérivable sur `I`

et que pour tout ` x in I : f'(x)= u'(x)exp(u(x)) `

b) Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes


` f(x) = e^(-x^2+3x-4) `


` g(x)= x^2e^(sinx) `

` h(x)= e^(1/(x^2+1)) `

` k (x)= (e^(-x) -2)/(e^x +3) `


Solution

soit `phi` la fonction numérique définie sur `[0,+infty[` par `phi(t)= (2t)/(1+t) -ln(1+t)`

1 Etudier les variations de `phi` et en déduire qu'il existe un unique ` alpha in ]3,4[` tel que `phi(alpha)= 0 `

2 soit `f` la fonction numérique définie sur `[0,+infty[` par :

` f(x)= (ln(1+x^2))/x text{ si } x > 0 `

` f(0) = 0 `

`C_f` sa courbe représentative dans un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j))`

a Montrer que `f` est dérivable à droite en `0`

b Déterminer la nature de la branche infinie de la courbe `C_f`

cMontrer que `f` est dérivable sur `]0,+infty[` et que ` forall x in ]0,+infty[ : f'(x)= (phi(x^2))/x^2`

dEtudier les variations de la fonction `f` puis tracer la courbe `C_f`


Solution

Déterminons les dérivées des fonctions définies par les expressions suivantes

1 `f(x) = e^(sqrt(2x^2-x+5)) `

2 `g(x)=`

3 `h(x)= xe^((2x)/(x^2-1)) `

4 ` k(x)= (sinx)/e^(cos(2x))`


Solution

Résoudre dans `R` les inéquations suivantes

1 ` e^(1-x) <=e^(3x) `

2 ` e^(2x-1) >= 1 `

3 ` (e^x -1)(5-e^x) >= 0 `

4 ` (2e^x -1)/(e^x-2) >= 0 `

5 ` 7e^(2x) -4e^x -3 < 0 `


Solution

Résoudre dans `R` les inéquations suivantes

1) `7e^(2x) -4e^x -3 > 0 `

2) `e^(3x) -6e^(2x) +3e^x <= 0 `

3) ` 1-2e^x <= 2e^x(1-2e^x) `

4) `(e^x -1)/(e^x+1) +1 > 0 `

5) `e^(2x) +e^(2ln2 -2x) <= 5 `

6) `e^(2x) -e^(x+2) -e^(2-x) +1 <= 0 `

7) `e^(x^2-1) > 1 `


Solution

Calculer les limites suivantes :

1) `lim_{ x to 0^+} ( 1/(2x) -1/(x(e^x+2))) `

2) ` lim_{ x to +infty} (lnx)/e^x `

3) `lim_{ x to 0} ( e^(x^2) -cosx)/(2x^2)`

4) `lim_{ x to +infty} ( ln(e^(2x) -e^x +1))/(x+1)`

5) `lim_{ x to +infty} ln((e^x -3)/(e^(2x) +7)) +x `

6) `lim_{ x to +infty} ln(e^(2x) -e^x+1) -2x `

7) ` lim_{ x to +infty} x ( sqrt(1+e^(2x)) -e^x) `

8) `lim_{ x to + infty } (1+1/x)^x `

9) `lim_{ x to +infty } {xe^x}/{(e^x-1)^2} `

10) `lim_{ x to 0^+} {sqrt(x)}/{1-ln(e-x)}`

11) `lim_ { abs(x) to +infty } {2x}/{1+e^{1/x}} - x `


Solution

Soit `n` entier naturel

On considère l'équation `f_n` définie sur `R` par `f_n(x)= (-2e^x)/(1+e^x) +nx `

`C_f` la courbe de `f` dans un repère orthonormé `abs(abs(vec(i))) =abs(abs(vec(j))) = 1 `

Partie I

1) a) Calculer `lim_{ x to +infty} f_n(x) -nx +2 ` puis interpréter graphiquement le résultat obtenu

b) Montrer que la courbe `C_f` admet , au voisinage de `-infty` , une asymptote dont on déterminera l' équation cartésienne

2) a) Montrer que `f_n` est dérivable sur `R` et ` forall x in R : f'(x)= (-2e^x)/(1+e^x)^2 + n `

b) Montrer que ` forall x in R : (4e^x)/(1+e^x)^2 <= 1 `

c) En déduire les variations de `f_n` ( discuter les cas `n = 0 ` et ` n >= 1` )

3a) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe `C_f` au point `I ` d'abscisse `x= 0 `

b) Montrer que `I` est l'unique point d'inflexion de la courbe `C_f`

4) Tracer dans le meme repère les courbes `C_0 , C_2 `

5) Pour tout `t > 0 ` on pose `A(t)` l'aire du domaine délimité par la courbe `C_n` et les droites ` y = nx -2 ` et ` x= 0 , x= t `

a) Calculer `A(t) ` pour tout ` t > 0 `

b) Calculer `lim_{ t to +infty} A(t) `

Partie II

On considère la suite `(u_n)` définie par `u_0 = 0 ` et ` forall n in N : u_(n+1)= f_0(u_n) `

6)a ) Montrer que l'équation `f_0(x)= x ` admet une solution unique ` alpha ` dans `R `

b) Montrer que ` forall x in R : abs((f_0)'(x)) <= 1/2 `

c) Montrer que ` forall n in N : abs(u_(n+1) -alpha) <= 1/2 abs(u_n-alpha) `

d) En déduire que ` forall n in N : abs(u_n -alpha) <= (1/2)^n abs(alpha) `

e) Montrer que `lim_{ n to +infty} u_n = alpha `

Partie III

On suppose dans cette partie ` n >= 2 `

7) a) Montrer que pour tout ` n >= 2 ` l'équation `f_n(x)=0` admet une solution unique ` x_n `

b) Montrer que `0 < x_n < 1 ` on donne ( `(2e)/(1+e) < 1.47 `

8) a) Montrer que `f_(n+1)(x_n) > 0 `

b) En déduire que `(x_n)_(n>=2)` est décroissante

c) Montrer que `(x_n)` est convergente

9) a) Montrer que `1/n < x_n < 1/n((2e)/(1+e))`

b) En déduire la limite `lim_{ n to +infty} x_n ` puis montrer que `lim_{ n to +infty} nx_n = 1 `

10) a Montrer que ` forall n >= 2 :x_n <=x_2 `

b) En déduire que `lim_{ n to +infty} (x_n)^n `


Solution

Analyse BAC 2019

Exercice 4)
On considère la fonction `f` définie sur `R` par `f(x) =4x(e^(-x) +1/2x-1)` .on note `C` sa courbe dans un repère orthonormé

1) Calculer `lim_{ x to +infty} f(x)` et `lim_{ x to -infty} f(x)`

2) a) Montrer que `f` est dérivable sur `R` et que `forall x in R : f'(x)= 4(e^(-x) -1)(1-x)`

b) Etudier les variations de `f` puis donner son tableau des variations

c) Montrer que ` exists ! alpha in ]3/2,2[` tel que `f(alpha)= 0 ` on donne `e^(3/2) =4,5 `

d) Vérifier que `e^(-alpha)= 1-{alpha}/2`

3) a) En appliquant théorème de ROLLE à la fonction `f'(x)` . montrer que ` exists x_0 in ]0,1[ : f''(x_0) = 0 `

b) En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction `f''` montrer que pour tout ` x ne x_0 ` de l'intervalle `[0,1]` : `{f''(x)}/{x-x_0} > 0 `

c) En déduire que `I(x_0,f(x_0))` est un point d'inflexion de la courbe `C`

4 a) Etudier les branches infinies de `C`

b) Tracer la courbe `C` dans un repère orthonormé

5) a) Vérifier que ` forall x in ]-infty ,alpha] : f(x) <= 0 `

b) Montrer que `int_0^(alpha) f(x) dx = {2alpha(alpha^2-3)}/3`.puis en déduire que `3/2 <= alpha <= sqrt(3)`

c) Calculer en fonction de ` alpha` l aire du domaine délimité par la courbe `C` et les droites ` y= 0 ` ,` x =alpha` et `x= 0 `

Partie II
On considère la suite `(u_n)` définit par `u_0 < alpha ` et ` forall n in N : u_(n+1)= f(u_n)+u_n`

1) a) Montrer par récurrence que ` forall n in N : u_n < alpha ` ( utiliser 5 a)

b) Montrer que la suite `u_n` est décroissante

2) On suppose que `0 <= u_0 ` et on pose `g(x)= e^(-x)+1/2x-3/4` pour tout ` x in R `

a) Montrer que ` forall x in R : g(x) > 0 ` on donne `ln(2)= 0,67`

b) Montrer que `forall n >=0 : 0 <=u_n ` ( remarquer que `f(x)+x= 4xg(x)` )

c) Montrer que la suite `u_n` est convergente

d) calculer `lim_{ n to +infty} u_n `

3) On suppose que `u_0 < 0 `

a) Montrer que `forall n in N : u_(n+1) -u_n <= f(u_0) `

b) Montrer que `forall n in N : u_n <= u_0 + nf(u_0)`

c) En déduire `lim_{ n to +infty} u_n `


sans solution

Session normale 2005

Première partie
on considère la fonction `f` définie sur `R^+` par `f(0) = 0 ` et `f(x)= (x+2)e^(-2/x) ; x > 0 ` et `C_f` sa courbe dans un repère orthonormé

1)a) montrer que `f` est continue à droite `0 `

b) montrer que `f` est dérivable à droite `0 `

c) Montrer que `f` est strictement croissante sur `R^+*`

2) a) Calculer `lim_{ x to + infty } f(x) `

b) Montrer que `forall t in R^+ : 0 <= e^(-t) +t-1 <= t^2/2`

c) Montrer que `forall x in R^{* + } : -4/x <= f(x) -x <= 4/x^2-2/x `

d) En déduire que `C_f` admet une asymptote oblique `D ` qu'on déterminera par une équation cartésienne

3) Tracer la droite `D` et la courbe `C_f`

Deuxième Partie
n est un entier naturel non nul on considère la fonction `f_n` définie sur `R^+` par

`f_n(0) = 0 `et `f_n(x)= (x+2/n)e^(-2/x) ; x > 0 `

1) Montrer que `f_n` est dérivable à droite de `0 `

2) Etudier les variations de la fonction `f_n` sur `R^+`

3) a) Montrer que l équation `f_n(x)= 2/n ` admet une unique solution `a_n` dans `R^+`

b) Montrer que `(forall x > 0) ( forall n in N^*) f_{n+1}(x) -2/{n+1} > f_n(x) -2/n `

c) En déduire que la suite `(a_n)_{n >= 1}` est décroissante , puis qu'elle est convergente .on note `a =lim_{n to +infty} a_n `

d) Montrer que `(forall n in N^*) na_n =2 e^(2/{a_n}) -2 `

e) Montrer que `a= 0 `


Solution

Bac 2006

soit ` n in N^*` on considère la fonction `f_n` définie par `f_n(x)= x/n -e^{-nx}`

1) a) Calculer `lim_{ x to + infty} f_n(x)`, `lim_{ x to - infty} f_n(x)`

b) Etudier les branches infinies de `C_{f_n}`

2) Calculer `f'_n(x)` pour tout ` x in R `, puis donner le tableau des variations de `f_n`

3) a ) Montrer que l équation `f_n(x)=0` admet une solution unique `alpha_n`

b) Montrer que `forall n >= 2 : f_n(1/n) < 0 `

c) Montrer que `forall x in R : x+1 <= e^x `, en déduire que `f_n(1) > 0 `

d) Montrer que `forall n >= 2 : 1/n < alpha_n < 1 `

4) Tracer la courbe `C_2` on donne `alpha_2= 0,6 `

5) a) Montrer que `forall n >= 2 : f_{n+1}(alpha_n) = n/{n+1} e^{-nalpha_{n+1}}(e^{alpha_n}-1/n-1)`

b) En déduire que `forall n >= 2 : f_{n+1}(alpha_n) >= 0 `

c) Montrer que `(alpha_n)_n` est décroissante , puis en déduire qu'elle est convergente

6) a) Montrer que `forall n >= 2 : 1/n^2 < e^{-nalpha_n} < 1/n`

b) En déduire que `{lnn}/n < alpha_n < {2lnn}/n`

c) Déterminer `lim_{ n to +infty} alpha_n`


sans solution

BAC 2006 :Session Normale

soit `n in N ; n >= 3 ` , soit la fonction `g_n` définie sur `R^{+* } ` par `g_n(x) = nx+2lnx`
Partie 1
1) Dresser le tableau des variations de `g_n`

2) Montrer que `(forall x in R^{*+} : sqrt(x) > ln(x) `

3) a) Montrer que l équation `g_n(x)=0` admet une solution unique `alpha_n in R^{+*} ` et que `1/n < alpha_n < 1/{sqrt(n)}`

b) En déduire `lim_{ n to + infty } alpha_n `

Partie 2

soit al fonction numérique `f` définie sur `[0,+infty[ ` par `f(x) = (x)^{1/3}e^{-x}`

1) Etudier la dérivabilité de la fonction `f` à droite en `0` , puis interpréter le résultat géométriquement

2) Calculer `lim_{ x to + infty } f(x) ` puis donner l interprétation géométrique du résultat obtenu

3) a) Montrer que `(forall x in R^{*+} ; f'(x) = {1-3x}/{3x}f(x)`

b) Dresser le tableau des variations de `f`

4) Construire la courbe `C_f` dans un repère orthonormé

II) On pose `I= [1/3,1]`

1) a) Montrer que `f(I) subset I `

b) En utilisant 3a) Montrer que `(forall x in I ) : abs(f'(x)) <= 2/3`

c) Montrer que `(f(x) = x et x > 0 ) <=> x= alpha_3` ou `alpha_3` est la solution de l équation `g_3(x)`

2) soit la suite `(u_n) ` définie par

`u_0= 1/3 ` et `(forall n in N) : u_{n+1} = f(u_n) `

a) Montrer que `(forall n in N ) : u_n in I `

b) Montrer que `(forall n in N ) : abs(u_{n+1} -alpha_3) <= 2/3abs(u_n -alpha_3)`

c) En déduire que `(forall n in N ) : abs(u_n -alpha_3) <= (2/3)^{n+1} `

d) Montrer que `(u_n)` est une suite convergente puis déterminer sa limite


sans solution

Session normale 2008

soit la fonction `f` définie sur `R^+` par `f(x)= 2x-e^(-x^2)`

1) Calculer `lim_{ x to +infty} (f(x)-2x)` , puis donner l interprétation géométrique du résultat obtenu

2) Calculer `f'(x)` pour tout ` x in R^[*+}` , puis dresser le tableau des variations de `f`

3) Montrer que l équation `f(x) = 0` admet une solution unique `alpha` sur `R^{*+}` et que `0 < alpha < 1`

4) Tracer la courbe `C_f`


Solution

Session normale 2016
Partie I

1) on applique théorème des accroissements finis sur la fonction `t->e^(-t)` Montrer

` exists a in ]0, x [ : e^a= x/{1-e^(-x)}`

2) En déduire que

a) `forall x > 0 : 1-x < e^(-x)`

b) ` forall x > 0 : 1+x < e^x `

c) `forall x > 0 : 0 < ln({xe^x}/{e^x-1}) < x `

Partie II

soit la fonction `f` définie sur `[0,+infty[ ` par `f(0) =1 ` et `forall x > 0 : f(x) = {xe^x}/{e^x-1}`

1) a) Montrer que `f` est continue a droite de `0 `

b) Montrer que `lim_{ x to +infty } f(x) -x =0 ` puis interpréter graphiquement le résultat

2) a) Montrer que `forall x >= 0 : x-x^2/2 <= 1-e^(-x)`

b) En déduire que `forall x >= 0 : x^2/2 -x^3/6 <= e^(-x)+x -1 <= x^2/2`

3) a) Vérifier que
` forall x >= 0 {f(x)-1}/x= {e^(-x)+x-1}/x^2f(x)`

b) on déduire que `lim_{ x to 0^+} {f(x)-1}/x = 1/2` puis interpréter le resultat obtenu

4) a ) Montrer que `f` est dérivable sur `]0,+infty[` et que `forall x > 0 : f'(x) = {e^x(e^x-1-x)}/(e^x-1)^2`

b) En déduire que `f` est strictement croissante sur `[0,+infty[`

Partie III
on considère la suite `(u_n)` définie par `u_0 > 0 ` et pour tout n `u_{n+1} = ln(f(u_n))`

1) Montrer que `forall n in N : u_n > 0 `

2) Montrer que la suite `(u_n)` est décroissante puis en déduire qu'elle est convergente

3) Montrer que `0` est l unique solution de l équation `ln(f(x))= x ` , puis déterminer `lim_{ n to +infty} u_n `


Solution

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