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Fonctions exponentielles Cours Cours en vidéos

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Soit `r` un nombre rationnel et `x` , `y` deux réels strictement positifs Simplifier les expressions suivantes :

`E = (3xx8^(r-1/3) +4^(r+1) (sqrt(3))^(2r+4))/(8^r - (16)^(r+1/2)xx2^(-r-4))`



2

Résoudre dans `Q` l'équation `10^((x-2)(3-x)) = 1/(100) `

3

Déterminer le plus petit entier naturel tel que `3^n > (2022)^(40) `

4

Montrer que `forall n in N : sqrt(2^(2n) +2^(n+1)+1) -sqrt(2^(2n) -2^(n+1) +1)= 2 `


Solution

Résoudre dans `R` les équations et inéquations suivantes :

1 `exp(-x^2)= exp((3x+1)/(x-5))`

2 `exp(x^2+1/x^2)= exp(2)`

3 `exp(-x^2) > exp(-x)`

4 `exp(5x^2-7x +2)<= 1 `

5 `exp(1/(x+7) )<= exp(1/(x+7)^2 -12)`


Solution

Simplifier les expressions suivantes :

1) ` A_1 = ln(e^(-5))` , `A_2 = ln(1/e^3) ` , `A_3 = ln( sqrt( e^(-ln(e^8)) ) ) `

2) ` A_4 = ln(sqrt(e^6)) - ln(sqrt(e^4)) ` , `A_5 = exp ( -1/5ln(e^(-5)))`


Solution

1

Simplifier l'écriture du nombre ` A = ln((sqrt(2)-1)/(sqrt(2)+1)) -2 ln(sqrt(2) -1) `

2

Résoudre dans `R` les équations suivantes :

`ln(2x-1) +ln(2x+5)= ln7 `

`3(lnx)^2 -5lnx +2= 0 `

` abs(5-2lnx)= abs(3+lnx^4) `

3

Résoudre dans `R` les inéquations suivantes :

`2(lnx)^2 -lnx -3 >= 0 `

`ln(7x+6) -ln(2x-3) >= ln(x-2) `

`ln(2x)xxln(2/x) >= 2ln2 -1 `


Solution

1Montrer que la fonction `exp` est dérivable sur `R` et que pour tout ` x in R : (exp)'(x)= exp(x) `

2a) Calculer `lim_{ t to 0} (exp(t) -1)/t `

b) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe `x->exp(x)` au point d'abscisse `0`

3) Soit `u` une fonction dérivable sur `I` de `R`

a) Montrer que la fonction définie par `f(x)= exp(u(x)))` est dérivable sur `I`

et que pour tout ` x in I : f'(x)= u'(x)exp(u(x)) `

b) Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes


` f(x) = e^(-x^2+3x-4) `


` g(x)= x^2e^(sinx) `

` h(x)= e^(1/(x^2+1)) `

` k (x)= (e^(-x) -2)/(e^x +3) `


Solution

soit `phi` la fonction numérique définie sur `[0,+infty[` par `phi(t)= (2t)/(1+t) -ln(1+t)`

1 Etudier les variations de `phi` et en déduire qu'il existe un unique ` alpha in ]3,4[` tel que `phi(alpha)= 0 `

2 soit `f` la fonction numérique définie sur `[0,+infty[` par :

` f(x)= (ln(1+x^2))/x text{ si } x > 0 `

` f(0) = 0 `

`C_f` sa courbe représentative dans un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j))`

a Montrer que `f` est dérivable à droite en `0`

b Déterminer la nature de la branche infinie de la courbe `C_f`

cMontrer que `f` est dérivable sur `]0,+infty[` et que ` forall x in ]0,+infty[ : f'(x)= (phi(x^2))/x^2`

dEtudier les variations de la fonction `f` puis tracer la courbe `C_f`


Solution

Déterminons les dérivées des fonctions définies par les expressions suivantes

1 `f(x) = e^(sqrt(2x^2-x+5)) `

2 `g(x)=`

3 `h(x)= xe^((2x)/(x^2-1)) `

4 ` k(x)= (sinx)/e^(cos(2x))`


Solution

Résoudre dans `R` les inéquations suivantes

1 ` e^(1-x) <=e^(3x) `

2 ` e^(2x-1) >= 1 `

3 ` (e^x -1)(5-e^x) >= 0 `

4 ` (2e^x -1)/(e^x-2) >= 0 `

5 ` 7e^(2x) -4e^x -3 < 0 `


Solution

Résoudre dans `R` les inéquations suivantes

1) `7e^(2x) -4e^x -3 > 0 `

2) `e^(3x) -6e^(2x) +3e^x <= 0 `

3) ` 1-2e^x <= 2e^x(1-2e^x) `

4) `(e^x -1)/(e^x+1) +1 > 0 `

5) `e^(2x) +e^(2ln2 -2x) <= 5 `

6) `e^(2x) -e^(x+2) -e^(2-x) +1 <= 0 `

7) `e^(x^2-1) > 1 `


Solution

Calculer les limites suivantes :

1) `lim_{ x to 0^+} ( 1/(2x) -1/(x(e^x+2))) `

2) ` lim_{ x to +infty} (lnx)/e^x `

3) `lim_{ x to 0} ( e^(x^2) -cosx)/(2x^2)`

4) `lim_{ x to +infty} ( ln(e^(2x) -e^x +1))/(x+1)`

5) `lim_{ x to +infty} ln((e^x -3)/(e^(2x) +7)) +x `

6) `lim_{ x to +infty} ln(e^(2x) -e^x+1) -2x `

7) ` lim_{ x to +infty} x ( sqrt(1+e^(2x)) -e^x) `

8) `lim_{ x to + infty } (1+1/x)^x `

9) `lim_{ x to +infty } {xe^x}/{(e^x-1)^2} `

10) `lim_{ x to 0^+} {sqrt(x)}/{1-ln(e-x)}`

11) `lim_ { abs(x) to +infty } {2x}/{1+e^{1/x}} - x `


Solution

Partie 1 )
Soit `g` la fonction sur `R` par `g(x)= 1+(1+x)e^x`

1) Etudier les variations de `g`

2) En déduire que ` forall x in R : g(x) > 0 `

Partie II

On considère la fonction `f ` définie sur `R` par :



et `C_f ` sa courbe dans un repère orthonormé `(O,vec(i),vec(j))`

1) Calculer `lim_{ x to +infty} f(x) , lim_{ x to -infty} f(x) `

2) Montrer que `f` est continue en `0`

3) Etudier la dérivabilité à gauche et à droite de `f` en `0` puis donner une interprétation géométrique des résultats obtenus

4) a) Montrer que `forall x in R^(ast) : f'(x)= (2g(1/x))/(1+e^(1/x))^2`

b) dresser le tableau de variations de `f`

5) Etudier les branches infinies de la courbe `C_f`

6) Construire la courbe `C_f`


Solution

On considère la fonction `f` définie pour tout ` x in R ` par `f(x)= e^(2x) -4e^x + 3 `

et `C_f ` sa courbe représentative dans un repère orthonormé `(O , vec(i) , vec(j)) `

1)a) Calculer `lim_{ x to +infty} f(x) ` , `lim_{ x to -infty} f(x) `

b) Déterminer l'équation de l'asymptote `(Delta) : ` à la courbe `C_f` au voisinage de `-infty `

2)a) Montrer que pour tout ` x in R : f'(x)= g(x) (e^x -2) ` avec `g(x) ` une fonction à déterminer

b) Dresser le tableau de variations de `f`

c) Donner l'équation de la tangente à la courbe `C_f` au point d'abscisse `0`

d) Montrer que `C_f` coupe la droite `(Delta) : ` en un point à déterminer

e) Tracer la courbe `C_f`


Solution

Partie 1

On considère la fonction `g` définie sur `]-infty , 0]` par `g(x)= (2-x)e^x -2 `

1) Calculer `g(0)` et `lim_{ x to -infty} g(x) `

2)a) Calculer `g'(x)` pour tout ` x <= 0 ` puis donner le tableau des variations de `g`

b) En déduire que ` forall x in ]-infty , 0[ : g(x) < 0 `

Partie 2)

On considère la fonction `f` définie sur `R` par :

` f(x)= x(1+(lnx)^2) text{ si } x > 0 `

`f(x)= x^2/(e^x -1) text{ si } x < 0 `

` f(0)= 0 `

1a) Montrer que `lim_{ x to 0^+} x(lnx)^2 = 0 `

b) Montrer que `f` est continue en `x_0 = 0 `

2) Etudier la dérivabilité de la fonction `f` à droite et à gauche en `x_0 = 0 ` , puis donner une interprétation géométrique des résultats obtenus

3) Calculer `lim_{ x to +infty} f(x) ` et `lim_{ x to -infty} f(x) `

4) Etudier les branches infinies de la courbe `C_f `

5a) Montrer que :

` f'(x)= (1+lnx)^2 text{ si } x > 0 `

` f'(x)= (xg(x))/(e^x-1)^2 text{ si } x < 0 `

b) En déduire les variations de la fonction `f`

6) Montrer que l'équation de la tangente `(T)` à la courbe `C_f` au point `A(1,1)` est ` y =x `

7) Construire la tangente `(T)` et la courbe `C_f`

8) Soit `h` la restriction de la fonction `f` sur `]-infty ,0[ `

a) Montrer que `h` admet une fonction réciproque `h^(-1)` définie sur un intervalle `J` à déterminer

b) Tracer la courbe de la fonction `h^(-1)`

Partie 3

Soit `(u_n)` la suite numérique définie par `u_0= 1/e ` et ` forall n in N : u_(n+1)= u_n(1+ln^2(u_n)) `

1) Montrer que ` forall n in N : 0 < u_n < 1 `

2) Montrer que la suite `(u_n)` est croissante

3) En déduire que la suite `(u_n)` est convergente puis calculer sa limite


Solution

Bac 1996

soit la fonction `g` définie sur `R` par `g(x)= e^x -xe^x-1`

1) a) Calculer `lim_{ x to +infty} g(x)` , `lim_{ x to -infty} g(x)`

b) pour ` x in R ` , calculer `g'(x)`

c) Etudier les variations de `g` , puis étudier son signe sur `R`

soit la fonction `f` définie sur `R` par , `f(0)=0` , `forall x ne 0 : f(x)= x/{e^x-1} -1 `

1) Montrer que `f` est continue en `0`

2) Montrer que la droite d’équation `y =-1` est une asymptote horizontale de `C_f` au voisinage de `+infty`

3) a) Calculer `lim_{ x to -infty} f(x)`

b) Montrer que la droite `D` d’équation `y =-x-1` est une asymptote de `C_f` au voisinage de `-infty`

c) Etudier la position de `D` par rapport de `C_f`

4) a) Calculer `f'(x)` pour ` x in R^*`

b) Etudier le signe de `f'(x)` sur ` R^*`

5) Tracer la courbe `C_f`


Solution

On considère la fonction `f` définie par `f(x)=ln(x+e^(-x))` et soit `C_f` sa courbe dans un repère orthonormé `(O,vec(i) ,vec(j))`

1) a) Montrer que ` forall x in R : x+e^(-x) >= 1 `

b) En déduire que `D_f = R `

c) Calculer `lim_{ x to +infty} f(x) `

2 a) Vérifier que `forall x in R : f(x)= -x +ln(1+xe^(x))` , puis calculer `lim_{ x to -infty} f(x) `

b) Montrer que la droite `(D) : y=-x ` est une asymptote oblique de `C_f` au voisinage de `-infty`

3) Calculer `f'(x)` pour tout ` x in R ` puis en déduire les variations de `f `

4) Ecrire l'équation de la tangente `(T) ` à la courbe `C_f` au point d'abscisse 0

5) Construire la courbe `C_f`


Solution

Session normale 2003

soit al fonction `f` définie par `f(x)= 1-x/2-2/{e^x+1}`

1) a) Vérifier que `1/{e^(-x)+1}= 1-1/{e^x+1}`

b) En déduire que `f` est impaire

c) Calculer `lim_{ x to + infty} f(x) `

2)a ) Calculer `f'(x)` , puis donner le tableau des varitions sur `R^+`

b) En déduire que `forall x >= 0 : 1-2/{e^x+1} <= x/2`

3) Montrer que `lim_{ x to +infty } f(x) -(1-x/2)= 0 ` , puis donner l intérprétation géométrique du résultat

4) Tracer la courbe `C_f` et la droite d’équation `y = 1-x/2`

Partie II

soit la suite numérique définie par `u_0=1` et `forall n in N : u_{n+1} = 1 - 2/{e^(u_n)+1}`

a) Montrer par recurrenece que `forall n in N : u_n > 0 `

b) Vérifier que `forall n in N : u_{n+1} <= {u_n}/2`

c) En déduire que `(u_n)` est décroissante

d) Montrer que `forall n in N u_n <= (1/2)^n`

c) En déduire la limite `lim_{ n to + infty} u_n `


Solution

Session normale 2006

soit la fonction `g` définie par `g(x)= e^(-x) +x-1`

1) Calculer `g'(x)` , puis en déduire qu'elle est croissant sur `R^+` est décroissante sur `R^-`

2) Montrer que `forall x in R : g(x) >= 0 ` , puis en déduire que `forall x in R e^(-x)+x >= 1 `

on considère la fonction `f` définie par `f(x) = x/{x+e^(-x)}`

1) Montrer que `D_f = R`

2) Montrer que `lim_{ x to + infty } f(x) = 1 ` et `lim_{ x to -infty} f(x) = 0 ` et donner l'interprétation graphique des résultats obtenus

3) a) Montrer que `forall x in R : f'(x) = {(x+1)e^(-x)}/{(x+e^(-x))^2}`

b) étudier le signe de `f'(x)`

c) Dresser le tableau des variations de `f`

4) a) Donner l equation de la tangente de `C_f` en `O(0,0 )`

b) Vérifier que `x-f(x)= {xg(x)}/{g(x)+1}` , puis etudier son signe

c) Etudier la position de `C_f` par rapport à la droite d’équation `Delta : y=x`

5) Tracer la courbe `C_f` et la droite ` Delta`

Partie III

soit la suite numérique `(u_n)` définei par `u_0= 1 ` et `forall n in N : u_{n+1} = f(u_n)`

a) Montrer par recurrence que ` forall n in N : 0 <= u_n <= 1 `

b) Montrer que `(u_n)` est décroissante puis en déduire qu'elle est convergente

c) Calculer `lim_{ n to + infty } u_ n `


Solution

Session de rattrapage 2008


Partie 1

Soit `g` la fonction numérique définie sur `R` par `g(x)= e^(2x) -2x `

1) a) Calculer `g'(x)` pour tout ` x in R `

b) Montrer que `g` est croissante sur `[0,+infty[` et décroissante sur `]-infty , 0]`

c) Calculer ` g(0)` , puis en déduire que ` forall x in R : g(x) > 0 `

Partie 2

Soit `f` la fonction définie sur `R` : ` f(x)= ln(e^(2x) -2x) ` et `C_f` sa courbe représentative dans un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j))`

1a) Montrer que ` lim_{ x to +infty} f(x)= +infty `

b) Montrer que ` forall x in R^(ast) : (f(x))/x = (e^(2x)/x -2)(ln(e^(2x) -2x))/(e^(2x) -2x) `

c) Montrer que ` lim_{ x to -infty} (f(x))/x = 0 `

d) En déduire que la courbe `C_f` admet une branche parabolique au voisinage de `-infty` dont on déterminera la direction

2a) Vérifier que pour tout ` x in [0,+infty[` : ` 1-(2x)/e^(2x) > 0 ` et ` f(x)= 2x+ln(1-(2x)/e^(2x) ) `

b) En déduire que `lim_{ x to +infty} f(x) = +infty `

c) Montrer que la droite `(D)` d'équation ` y = 2x ` est une asymptote oblique de la courbe `C_f` au voisinage de `+infty`

d) Montrer que ` forall x in [0,+infty[ : f(x) -2x <= 0 ` et en déduire que la courbe `C_f` est en dessous de la droite `(D)` sur l intervalle `[0,+infty[`

3a) Montrer que ` forall x in R : f'(x)= (2(e^(2x) -1))/(g(x))`

b) Etudier le signe de `f'(x) ` pour tout ` x in R ` puis dresser le tableau des variations de `f`

4) Tracer la courbe `C_f` et la droite `(D) `


Solution

Session normale 2010


Partie 1

Soit `g` la fonction définie sur `R` par ` g(x)= 1+4xe^(2x) `

1) Montrer que `forall x in R : g'(x)= 4(2x+1)e^(2x) `

2) Montrer que `g` est croissante sur `[-1/2,+infty[` et décroissante sur `]-infty, -1/2]`

3a) Etablir que ` g(-1/2)= 1 -2/e ` puis vérifier que ` g(-1/2) > 0 `

b) En déduire que `( forall x > 0) : g(x) > 0 `

Partie 2

Soit `f` la fonction numérique définie par ` f(x)= (2x-1)e^(2x) + x+1 `

et soit `C_f ` sa courbe représentative dans un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j)) `

1) Calculer `lim_{ x to +infty} f(x) ` et montrer que `lim_{ x to -infty} f(x)= -infty `

2) Montrer que `f'(x)= g(x) ` pour tout ` x in R ` puis en déduire que `f` est strictement croissante sur `R`

3a) Calculer `lim_{ x to +infty} (f(x))/x ` et en déduire que `C_f` admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées au voisinage de `+infty `

b) Calculer `lim_{ x to -infty} [f(x) -(x+1)] ` et en déduire que la droite `(Delta) : y =x+1 ` est une asymptote oblique de la courbe `C_f` au voisinage de ` -infty `

c) Déterminer le couple de coordonnées du point d'intersection de `(Delta)` avec `C_f` puis montrer que `C_f` est en dessous de `(Delta)` sur `]-infty , 1/2[` et au dessus de `(Delta)` sur `]1/2,+infty[`

4a) Montrer que ` y = x ` est une équation de la tangente `(T)` à la courbe `C_f` au point `O(0,0)`

b) Montrer que la courbe `C_f` admet un point d'inflexion d'abscisse ` -1/2 `

5) Tracer `(Delta)` , `(T)` et `(C_f) `


Solution

Session normale 2011


Partie 1

Soit `g` la fonction numérique définie sur `R` par ` g(x)= (1-x)e^x -1 `

1a) Montrer que ` forall x in R : g'(x)= -xe^x `

b) Montrer que `g` est décroissante sur `[0,+infty[` et croissante sur `]-infty , 0]` puis vérifier que ` g(0)= 0 `

2) En déduire que ` forall x in R : g(x) <= 0 `

Partie 2

Soit `f` la fonction numérique définie sur `R` par ` f(x)=(2-x)e^x -x `

et soit `C_f` sa courbe représentative dans un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j))`

1a) Montrer que ` lim_{ x to +infty} f(x)= -infty `

b) Montrer que ` lim_{ x to +infty} (f(x))/x = -infty ` et en déduire que la courbe `C_f` admet une branche parabolique au voisinage de `+infty ` dont on déterminera la direction

2a) Montrer que `lim_{ x to -infty} f(x)= +infty ` puis calculer `lim_{ x to -infty} (f(x) +x) `

b) En déduire que la droite `(D)` d'équation ` y = -x ` est une asymptote de `C_f` au voisinage de ` -infty `

3a) Montrer que `f'(x) = g(x) ` pour tout ` x in R `

b) Interpréter graphiquement le résulta `f'(0)= 0 `

c) Montrer que la fonction `f` est décroissante sur `R` puis dresser son tableau des variations

4) Montrer que l'équation ` f(x)= 0 ` admet une solution unique `alpha in R ` et que `3/2 < alpha < 2 ` on admet que `e^(3/2) > 3 `

5a) Résoudre dans `R` l'équation ` f(x) +x = 0 ` et en déduire que la courbe `C_f` et la droite `(D)` se coupent au point `A(2,-2) `

b) Etudier le signe de ` f(x) +x` sur `R`

c) En déduire que `C_f` est au dessus de `(D)` sur `]-infty, 2[` et en dessous de `(D)` sur `]2,+infty[`

6a) Montrer que `I(0,2)` est le seul point d'inflexion de la courbe `C_f`

b) Tracer la droite `(D)` et la courbe `C_f`


Solution

Session rattrapage 2012
On considère la fonction `f` définie par `f(x)= x+ {e^x-1}/{e^x+1}`

1) Montrer que ` forall x in R : f(-x) = -f(x)` , puis en déduire que le point `O` est un centre de symétrie de `C_f`

2) Vérifier que `forall x in R : f(x)= x+1 -2/(e^x+1)`

3) a) Montrer que `forall x in R : f'(x)= 1+ {2e^x}/(e^x+1)^2` .puis vérifier que `f'(0) = 3/2 `

b) Montrer que `f` est croissante sur `R`

c) Montrer que de la tangente `T` de `C_f` en `O ` a pour équation cartésienne `y=3/2x`

4)a) Montrer que `lim_{ x to +infty} f(x)= +infty `

b) Calculer `lim_{ x to +infty} (f(x) -(x+1))` ; puis en déduire que que la droite `D : ` d'équation `D :y=x+1`est une asymptote oblique de `C_f` au voisinage de `+infty`

c) Montrer que la courbe `C_f` est en dessous de la droite `D`

5) Tracer la courbe `C_f`

6 a) Montrer que la fonction `H : x-> x -ln(1+e^x)` est une primitive sur `R` de la fonction ` x->1/(e^x+1)`

b) En déduire que `int_0^(ln2) 1/(e^x+1) dx = ln(4) -ln(3) `

c) Calculer la surface du domaine délimité par `C_f` , la droite `D` et les droites définies par ` x= 0 ` et ` x =ln2`


Solution

Session normale 2013


On considère l a fonction numérique `f` définie sur `R` par ` f(x)= (x-2)^2e^x `

et soit `C_f` sa courbe représentative dans un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j)) `

1a) Montrer que `lim_{ x to +infty} f(x) = +infty `

b) Montrer que ` lim_{ x to +infty} (f(x))/x = +infty ` puis déduire que la courbe `C_f` admet au voisinage de `+infty ` une branche parabolique dont on déterminera la direction

2a) Vérifier que pour tout ` x in R : f(x)= x^2e^x -4xe^x +4e^x `

b) Montrer que ` lim_{ x to -infty} f(x)= 0 ` et interpréter géométriquement ce résultat

3a) Montrer que `forall x in R : f'(x)= x(x-2)e^x `

b) Montrer que `f` est croissante su chacun des intervalles `]-infty , 0]` et `[2,+infty[` et que `f` est décroissante sur `[0,2]`

c) Dresser le tableau des variations de `f` sur `R`

4a) Montrer que ` forall x in R : f''(x)= (x^2-2)e^x ` puis en déduire que la courbe `C_f` admet deux points d'inflexion

b) Tracer la courbe `C_f `


Solution

Session de rattrapage 2014


On considère la fonction `f` définie sur `R` par ` f(x)= (xe^x -1)e^x `

et soit `C_f` sa courbe représentative dans un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j)) `

1) Montrer que `lim_{ x to -infty} f(x) = 0 ` puis interpréter graphiquement ce résultat

2a) Montrer que ` lim_{ x to +infty} f(x)= +infty ` et `lim_{ x to +infty} (f(x))/x = +infty `

b) En déduire que la courbe `C_f` admet une branche parabolique au voisinage de `+infty` dont on déterminera la direction

3a) Montrer que pour tout ` x in R : f'(x)= e^x( e^x -1 +2xe^x) ` et vérifier que `f'(0)= 0 `

b) Montrer que ` e^x -1 >= 0 ` pour tout ` x in [0,+infty[ ` et `e^x -1 <= 0 ` pour tout ` x in ]-infty , 0]`

c) Montrer que `f` est croissante sur `[0,+infty[` et décroissante sur `]-infty , 0] ` puis dresser le tableau des variations de `f`

4a) Montrer que l'équation ` f(x)= 0 ` admet une solution unique `alpha` dans l intervalle `[0,+infty[` et que ` 1/2 < alpha < 1 ` ( on admet que `1/2e^(1/2) < 1 `

b ) Construire la courbe `C_f `

5) En utilisant une intégration par parties montrer que `int_0^(1/2) xe^(2x) dx =1/4 `

6) Calculer en `cm^2` , l 'aire du domaine du plan délimité par la courbe `C_f` , l'axe des abscisses et les droites d'équations `x= 0 ` et ` x= 1/2 `

On donne `abs(abs(vec(i))) = abs(abs(vec(j))) = 2cm `


Solution

Session normale 2015


Partie 1

Soit `g` la fonction définie sur `R` par ` g(x)= e^x -2x `

1) Calculer ` g'(x)` pour tout ` x in R ` et en déduire que `g` est décroissante sur `]-infty , ln2]` et croissante sur `[ln2,+infty[`

2) Vérifier que ` g(ln2)= 2(1-ln2)` puis déterminer le signe de `g(ln2) `

3) En déduire que ` forall x in R : g(x) > 0 `

Partie 2

Soit `f` la fonction définie sur `R` par ` f(x)= x/(e^x -2x) ` et `C_f` sa courbe représentative dans un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j)) `

1) a) Montrer que ` lim_{ x to +infty} f(x)= 0 ` et ` lim_{ x to -infty} f(x)= -1/2 ` Indication ` forall x in R^(ast) : e^x -2x= x( e^x/x-2) `

b) Interpréter graphiquement les résultats obtenus

2a) Montrer que ` forall x in R : f'(x)= ((1-x)e^x)/(e^x -2x)^2`

b) Etudier le signe de ` f'(x)` et déduire le tableau de de variation de `f`

c) Montrer que la droite d'équation ` y =x ` est l'équation de la tangente `(T)` à la courbe `C_f` au point `O(0,0) `

3) Construire la courbe `C_f` et la tangente `(T) `

Partie 3)

Soit `h` la fonction définie sur `]-infty , 0]` par ` h(x)= f(x) `

1) Montrer que `h` admet une fonction réciproque `h^(-1)` définie sur un intervalle `J` que l'on déterminera

2) Construire la courbe représentative de `h^(-1) `

Partie 4

On considère la suite numérique `(u_n)` définie par `u_0= -2 ` et ` u_(n+1)= h(u_n)` pour tout ` n in N `

1) Montrer par récurrence que `( forall n in N ) : u_n <= 0 `

2) Montrer que la suite `(u_n)` est croissante : indication pour tout ` x in ]-infty , 0] : h(x) >= x `

3) En déduire que la suite `(u_n)` est convergente puis déterminer sa limite

Partie 5

1) Par intégration par parties montrer que `int_0^1 xe^(-x) dx = 1 -2/e`


Solution

Session de rattrapage 2017


Partie 1

Soit `g` la fonction définie sur `R` par ` g(x)= 1-(x+1)^2e^x `

1) Vérifier que ` g(0)= 0 `

2) à partir du graphe de la fonction `g` , montrer que pour tout ` x in ]-infty , 0] : g(x) >= 0 ` et pour tout ` x in [0,+infty[ : g(x) <= 0 `





Partie 2

On considère la fonction `f` définie sur `R` par ` f(x)= x+1 -(x^2+1)e^x ` et soit `C_f` sa courbe dans un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j) ) ` unité ` 2cm`

1a) Vérifier que pour tout ` x in R : f(x)= x+1 -4(x/2e^(x/2))^2 -e^x ` , puis en déduire que `lim_{ x to -infty} f(x)= -infty `

b) Calculer `lim_{ x to -infty} [ f(x) -(x+1)]` et en déduire que la droite `(D) : y =x+1` est une asymptote oblique de `C_f` au voisinage de `-infty `

c) Montrer que `C_f` est en dessous de la droite `(D)`

2a) Montrer que `lim_{ x to +infty} f(x)= -infty ` indication : ` f(x)= x[ 1+1/x -(x+1/x)e^x]`

b) Montrer que la courbe `C_f` admet une branche parabolique au voisinage de `+infty ` dont on déterminera la direction

3a) Montrer que `( forall x in R) : f'(x)= g(x) `

b) Montrer que `f` est décroissante sur `[0,+infty[` et croissante sur `]-infty, 0]` , puis dresser le tableau des variations de `f`

c) Montrer que `C_f` admet deux points d'inflexion d'abscisses ` -1 , -3 `

4) Construire la courbe `C_f` et la droite `(D) `

Partie 3

1) Montrer que la fonction `H : x->(x-1)e^x ` est une primitive de la fonction ` x->xe^x ` sur `R` puis montrer que `int_(-1)^0 xe^x dx = 2/e -1 `

2) Montrer ,à l'aide d'une intégration par parties que `int_(-1)^0 (x^2+1)e^x dx = 3(1-2/e) `

3) Calculer en `cm^2` , l'aire du domaine plan délimité par la courbe `C_f` , la droite `(D) : y =x+1` et les droites d'équations ` x= -1` et ` x= 0 `


Solution

Session normale 2018


Partie 1

Soit `g` la fonction numérique définie sur `R` par ` g(x)= e^x -x^2 +3x-1` dont le tableau des variations est le suivant :




1) Vérifier que ` g(0) = 0 `

2) Déterminer le signe de `g(x)` sur chacun des intervalles `]-infty , 0] ` et `[0,+infty[`

Partie 2

Soit `f` la fonction numérique définie sur `R` par ` f(x)= (x^2-x)e^(-x) +x ` et soit `C_f` sa courbe représentative dans un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j))`

1a) Vérifier que ` forall x in R : f(x)= x^2/e^x -x/e^x +x ` , puis montrer que `lim_{ x to +infty} f(x)= +infty `

b) Calculer ` lim_{ x to +infty} (f(x) -x) ` puis en déduire que la courbe `C_f` admet une asymptote oblique `(D)` au voisinage de `+infty` d'équation ` y = x `

c) Vérifier que ` forall x in R : f(x)= (x^2-x+xe^x)/e^x ` puis calculer `lim_{ x to -infty} f(x) `

2a) Vérifier que ` f(x) -x ` et `x^2-x` ont le meme signe pour tout ` x in R`

b) En déduire que la courbe `C_f` est au dessus de la droite `(D)` sur les intervalles `]-infty ,0]` et `[1,+infty[` et en dessous de `(D)` sur l intervalle `[0,1]`

3a) Montrer que ` forall x in R : f'(x)= g(x)e^(-x) `

b) En déduire que la fonction `f` est décroissante sur `]-infty , 0]` et croissante sur `[0,+infty[`

c) Dresser le tableau des variations de `f`

4a) Vérifier que pour tout ` x in R : f''(x)= (x^2-5x+4)e^(-x) `

b) En déduire que `C_f` admet deux points d'inflexion d'abscisses respectives `1` et `4`

5) Construire la courbe `C_f` on donne ` f(4) approx 4,2`

Partie 3

Soit `(u_n)` la site numérique définie par ` u_0= 1/2 ` et pour tout ` n in N : u_(n+1)= f(u_n) `

1) Montrer que `( forall n in N) : 0 <= u_n <= 1 ` Indication On pourra utiliser partie2)3)b)

2) Montrer que la suite `(u_n)` est décroissante

3) En déduire que `(u_n)` est convergente et déterminer sa limite

Partie 4

1) Montrer que la fonction ` H : x-> (x^2+2x+2)e^(-x)` est une primitive sur `R` de la fonction ` h : x-> -x^2e^(-x) `

puis en déduire que `int_0^1 x^2e^(-x) dx = (2e -5)/e`

2) Par une intégration par parties montrer que `int_0^1 xe^(-x) dx = (e-2)/e`

3) Calculer en `cm^2` l'aire du domaine du plan délimité par la courbe `C_f` , la droite `(D) ` et les droites d'équations `x= 0` et `x= 1`


Solution

Session de rattrapage 2019

soit la fonction `f` définie sur `R^*` par `f(x)= 2+8({x-2}/x)^2e^(x-4)`

1) a) Vérifier que `lim_{ x to -infty} f(x)= 2 `

b) Vérifier que `lim_{ x to 0} f(x)= +infty` ; puis donner l'interprétation géométrique du resultat

2) a) Calculer `lim_{ x to + infty } f(x) `

b) Montrer que `C_f` admet une branche parabolique dirigée vers l'axe des ordonnées

3) a) Montrer que `forall x in R^* : f'(x)= {8(x-2)(x^2-2x+4)e^(x-4)}/{x^3}`

b) Montrer que `forallx in R : x^2-2x+4 > 0 `

c) Montrer que `f` est décroissante sur `]0,2]` et croissant sur les intervalles `]-infty ,0[ ` et ` [2 ,+infty[`

d) Donner tableau des variations de `f`

4) Tracer la courbe `C_f` dans un repère orthonormé

5 a) Vérifier que ` H : x-> 1/xe^(x-4)` est une fonction primitive sur `[2,4] `de la fonction `h: x-> {x-1}/x^2e^(x-4)`

b) Vérifier que `f(x)= 2+8e^(x-4) -32 {x-1}/x^2e^(x-4) `

c) Calculer l intégrale `I= int_2^4 e^(x-4)dx `

d) Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe `C_f` l'axes des abscisse et les deux droites ` x=2 ` et `x=4`

Partie II
on considère la fonction `g` définie sur `[2,4]` par `g(x)= 8(x-2)e^(x-4) -x^2 `

a) Calculer `g(4)`

b) Vérifier que `forall x in [2,4] : g(x)= -(x-4)^2e^(x-4) +x^2( e^(x-4) -1)`

c) Vérifier que `forall x in [2,4] : e^(x-4) -1 <= 0 ` ; puis en déduire que `forall x in [2,4] : g(x) <= 0 `

2)a) Vérifier que `forall x in [2,4] : f(x) -x= (x-2)/x^2g(x)`

b) En déduire que `forall x in [2,4] : f(x) <= x `

3) soit `u_n` la suite numérique définie par `u_0= 3` et `u_{n+1} =f(u_n)`

a) Montrer par recurrence que `forall n in N : 2 <= u_n <= 4 `

b) Déterminer la monotonie de `u_n` , puis en déduire qu'elle est convergente

c) Calculer `lim_{ n to + infty} u_n `


Solution

Exercice 4 ) Session normale 2020

On considère la fonction `f` définie sur `R` par `f(x)= -x+5/2 -1/2e^(x-2)(e^(x-2) -4)`

1) Montrer que `lim_{ x to +infty} f(x)= -infty ` et `lim_{ x to -infty} f(x)= +infty `

2) a) Montrer que la droite ` Delta : y = -x+5/2` est une asymptote à `C_f` au voisinage de `-infty `

b) Résoudre dans `R` l'équation `e^(x-2)-4 = 0 ` , puis montrer que que `C_f` est au dessus de `Delta ` sur `] -infty , 2+ln4] `

et que `C_f` est en dessous de `Delta` sur `[2+ln4 ,+infty[`

3) Montrer que `lim_{ x to +infty } {f(x)}/x = -infty ` , puis interpréter le résultat graphiquement

4) a) Montrer que ` forall x in R : f'(x)= -(e^(x-2) -1)^2`

b) Dresser le tableau des variations

5) Calculer `f''(x)` , puis montrer que `A(2,2)` est un point d'inflexion de `C_f`

6) Montrer que l'équation `f(x) = 0 ` admet une solution unique `alpha` et que ` 2+ln3 < alpha < 2+ln4 `

7) Tracer la courbe `C_f` et la droite `Delta`

8) a) Montrer que `f` admet une fonction réciproque définie sur `R`

b) Tracer la courbe `C_{f^(-1)} `

c) Calculer `f^(-1)'(2-ln3) ` Remarquer que `f^(-1) (2-ln3)= 2+ln3`


Solution

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