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Fonctions logarithmes Cours Cours en vidéos

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Etudier le signe de `f(x)` dans chacun des cas suivants :

1) ` f(x)= (1 -2x) (sqrt(x) -1) (x^2 -x-1) `

2) ` f(x)= ln( sqrt(abs(x)) +2) ln(x^2+1) `

3) `f(x)= lnx + xsqrt(x) -1 `


Solution

Déterminer les primitives de la fonction `f` sur l intervalle `I` dans chacun des cas suivants :

1 ` f(x)= x^3 ` et ` I = R `

2 ` f(x)= 1/x^n ` et ` I = R^(ast, +) ` et ` n in N^(ast) -{1}`

3 ` f(x)= 2x(x^2 -3)^(2019) ` et ` I = R `

4 ` f(x)= (x^3+x)/(x^4+2x^2+5)^2 ` et ` I = R `


Solution

Déterminer le domaine de définition des fonctions `f, g , h ` définies par :

1 ` f(x)= ln(x+4) -ln(25-x^2) `

2 ` g(x)= ln(x^2-8x+7) `

3 ` h(x)= lnabs((2x-abs(x))/(x-5))`


Solution

Déterminer le domaine de définition de la fonction `f` dans chacun des cas suivants :

1) `f(x)= ln(x+2)`

2) `f(x)= ln(x^2-5x) `

3) ` f(x)= lnabs(x+1)`

4) ` f(x)= ln^2x -3lnx `

5) ` f(x)= ln((x-1)^2)`

6) ` f(x)= x ( 2-lnx)^(1/3) `

7) `f(x) = ln(x+2) + ln(x-1) `

8) `f(x)= ln((x+2)(x-1))`

9) `f(x)= ln(lnx)`

10 ) `f(x)= ln((x+2)/(3-x))`

11) `f(x)= (ln(x^2+4))/x `

12) `f(x)= x/(ln^2x) +3/(ln(x-3)) -1/(1+lnabs(x))`


Solution

Simplifier les écritures suivantes :

` A = ln((4sqrt(2))/(27)) +ln(12sqrt(3)) +ln(3sqrt(3))`

` B = 7/(16)ln(3+ 2sqrt(2)) -4ln(1+sqrt(2)) -(25)/8ln(sqrt(2) -1) `

`D = 2ln(esqrt(e)) -3ln(e^3) -2ln(e^(-6)) `

`E = ln(1/2) +ln(2/3) + ..... ln((98)/(99)) + ln((99)/(100)) `

`F = 3/8ln(7+4sqrt(3)) -ln(2+sqrt(3)) -1/4 ln(2-sqrt(3)) `


Solution

On considère la fonction `g` définie sur `]-1,1[` par `g(x)= 1/(sqrt(1-x^2)) `

1Justifier que `g` admet une primitive sur `I` . On note `G` la primitive de `g` qui s'annule en `0`

2 Montrer que la fonction `G` est impaire

3 Montrer que `G` est continue et strictement croissante sur `I`

4En déduire que ` G(x)>= 0` pour tout ` x in [ 0,1[ ` et ` G(x) <= 0 ` pour tout ` x in ]-1,0]`


Solution

Résoudre dans `R` les équations et les inéquations suivantes

1 `ln(2x-3)=ln(4-x)`

2 `ln(x^2+x)=ln(-2x-2)`

3 `ln(3x^2+4x+2)= 0 `

4 `ln(4x-5) > ln(2x+3) `

5 `ln(x^2+3x) -ln(x+2) >= 0 `

6 `ln(abs(3x^2+7x +2)) >= 0 `


Solution

Calculer en fonction de ` a= ln5` et ` b = ln(4)` ce qui suit :

1) ` alpha= ln2 `

2) ` beta= ln(100) `

3) ` gamma= ln(1000) `

4) ` l= ln(8/(125)) `

5) ` mu= ln(0,64) `


Solution

Déterminer le domaine de définition de chacune des fonctions suivantes

1 `f(x)= sqrt(ln((x+1)/(1-x)) )`

2 `g(x)= 1/( ln(abs(x-2) -1))`

3 `h(x)= 1/(lnx)^3 +x/(ln(x+2))`


Solution

Soit ` a, b , c ` des réels strictement positifs . On pose `A= ln(a)` , `B= lnb ` et `C= lnc `

Exprimer ce qui suit en fonction de `A,B,C `

1) `X = ln(a^8b^9c^(-3/2))`

2) `Y = ln(a/b^7) +ln(a^(-1)/c^3) `

3) `Z= ln( sqrt(abca^(1/5) b^(1/4)))`

4) `T = ln( ( sqrt(a)*b^(-2/3) *csqrt(c))^(1/5))`


Solution

Résoudre dans `R` les équations suivantes

1 `(lnx)^2 -5lnx +4 = 0 `

2 `(lnx)^3 -2(lnx)^2+3 = 0 `

3 `(lnx)^3 -6(lnx)^2 +11lnx -6 = 0 `


Solution

Déterminer les dérivées des fonctions suivantes

1 `f(x)= lnabs(lnx)`

2 ` g(x)= x (lnx-2)^(1/3)`

3 ` h(x)= (x^2+2x)ln(x^2-4)`

4 ` k(x)= lnabs(cosx)`

5 ` u(x)= lnabs((2x-sqrt(x))/(x-3))`

6 `v(x)= ln((x^2-5x+4)/(abs(2x^2+3x+1)))`

7 `w(x)= ln(1/(2-lnx))`


Solution

Résoudre dans `R` :

1 `log(x+11) +log(x-4)= 2 `

2 `log(x)+1 = log(x+3) `

3 `(log(x+2))^2 -log(x+2) -2 >= 2 `


Solution

soit `phi` la fonction numérique définie sur `[0,+infty[` par `phi(t)= (2t)/(1+t) -ln(1+t)`

1 Etudier les variations de `phi` et en déduire qu'il existe un unique ` alpha in ]3,4[` tel que `phi(alpha)= 0 `

2 soit `f` la fonction numérique définie sur `[0,+infty[` par :

` f(x)= (ln(1+x^2))/x text{ si } x > 0 `

` f(0) = 0 `

`C_f` sa courbe représentative dans un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j))`

a Montrer que `f` est dérivable à droite en `0`

b Déterminer la nature de la branche infinie de la courbe `C_f`

cMontrer que `f` est dérivable sur `]0,+infty[` et que ` forall x in ]0,+infty[ : f'(x)= (phi(x^2))/x^2`

dEtudier les variations de la fonction `f` puis tracer la courbe `C_f`


Solution

1) Montrer que `(forall x >= 0) ; x-x^2/2 <= ln(1+x) <= x `

2) soit `(u_n)_{n > 0}` la suite définie par `u_n =prod_{k=1}^n(1+k/n^2)` et `v_n` la suite définie par `forall n > 0 ; v_n=ln(u_n)`

a) Montrer que `v_n` est convergente et déterminer sa limite

b) En déduire que la suite `u_n` est convergente et déterminer sa limite


Solution


Résoudre les systèmes suivants :

`(S_1)`

`(S_2)`


Solution

On considère la suite `(H_n)_{ n >= 1} ` définie par `H_n = 1+1/2+1/3+....+1/n`

On pose pour tout ` n in N^(ast)` : `v_n = H_n -lnn` et `w_n = H_n -ln(1+n)`

1) Montrer que `(v_n)_(n >=1)` et `(w_n)_(n >=1)` sont adjacentes

2) En déduire la nature de la suite `(H_n)_(n >=1)`


Solution

BAC - 2013

Pour tout entier naturel `n` non nul , on pose : `u_n = ((arctann)/(arctan(n+1)))^(n^2)` et `v_n = ln(u_n) `

1) Vérifier que ` forall n >= 1 : v_n = n^2 (ln(arctann) - ln(arctan(n+1)))`

2) En utilisant le théorème des accroissements finis montrer que :

`( forall n >= 1 ) ( exists c in ] n , n+1[ ) v_n = - n^2/((1+c^2) arctanc)`

3) Montrer que ` forall n >= 1 : -n^2/((1+n^2) arctann) < v_n < -n^2/((1+(n+1)^2) arctan(n+1))`

4) Calculer `lim_{ n to +infty} u_n `


Solution

On considère la fonction `f` définie sur `R` par `f(x)= ln(x+sqrt(1+x^2)) `

1) Calculer `lim_{ x to +infty} f(x) `

2) Montrer que `f` est impaire

3) Calculer `lim_{ x to -infty} f(x) `

4) Calculer `lim_{ x to +infty} {f(x)}/x `


Solution

Session rattrapage 2019

On considère la fonction `g` définie sur ` I = ]-1,+infty[` par `g(x)= 1+x^2 -2x(1+x)ln(1+x)`

1) a) Montrer que `lim_{ x to -1^+} g(x)= 2`

b) Montrer que `lim_{ x to +infty} g(x)= -infty`

2) Montrer que `g` est dérivable sur `I` et que `forall x in I : g'(x)= -2(1+2x)ln(1+x)`

3) On donne le tableau des variations de `g` en annexe

a) Montrer l existence d'un seul réel , `alpha ` , strictement positif tel que `g(alpha)= 0 `

b) Vérifier que `alpha < 1 ` on donne `ln(2)=0,7`

c) En déduire que `forall x in ]-1,alpha[ : 0 < g(x) ` et que `forall x in ]alpha, +infty[ : g(x) < 0 `

Partie II
On considère la fonction `f` définie sur `]-1,+infty[ ` par `f(x)= {ln(1+x)}/{1+x^2}`

1) a) Calculer `lim_{ x to -1^+} f(x)` , puis donner l'interprétation géométrique du résultat obtenu

b) Calculer `lim_{ x to +infty} f(x)` , puis donner l'interprétation géométrique du résultat obtenu

2) a) Montrer que `f` est dérivable sur `I ` , et que `forall x in I : f'(x)= {g(x)}/{(1+x)(1+x^2)^2}`

b) donner tableau des variations de `f`

c) vérifier que `f(alpha)= 1/{2alpha(1+alpha)}` et que `forall x in I : f(x) <= 1/{2alpha(1+alpha)}`

3a) Déterminer l'équation de la tangente `T ` de `C_f` en ` x_0= 0`

b) Montrer que `forall x > 0 : ln(1+x) < x `

c) En déduire que `forall x > 0 : f(x) < x `

d) Tracer la courbe `C_f` et la droite `T `

Partie III

On pose `J= int_0^1 f(x) dx `

1) Par changement de variable `t = {1-x}/{1+x} ` montrer que `J= {pi}/8ln(2)`

2) Déterminer l'aire du domaine délimité par `C_f` et les droites `T ` ,` x= 0` , ` x= 1 `

3) Par intégration par partie calculer `K= int_0^1 {arctan(x)}/{1+x} dx `

Tableau des variations de `g`


Solution

1 Montrer que pour `t>0 : ln(t) <= t -1 `

2 Etudier le signe de la fonction `g` définie sur `]0,+infty[` par `g(x) = x-1/x-2lnx`


Solution

Partie 1

On donne `ln(1,3) approx 0,26` et `ln(1,4) approx 0,34`

Soit `u` la fonction définie sur `]0,+infty[` par `u(x)= x^2 -2+lnx `

1) Etudier les variations de la fonction `u` et préciser ces limites en `0` et en `+infty `

2a) Montrer que l'équation `u(x)= 0` admet une solution unique `alpha ` sur l intervalle `]0,+infty[`

b) Vérifier que ` 1, 3 < alpha < 1,4 `

3) Déterminer le signe de `u(x)` suivant les valeurs de `x`

4) Vérifier que ` lnalpha = 2-alpha^2`

Partie 2

Soit `f` la fonction numérique définie sur `]0,+infty[` par `f(x)= sqrt(x^2+(2-lnx)^2) `

1) a) Calculer `lim_{ x to 0^+} f(x) ` , `lim_{ x to +infty} f(x) ` , ` f(alpha) `

b) Montrer que `lim_{ x to +infty} (lnx)^2/x = 0 `

c) Etudier les branches infinies de la courbe `C_f `

d) Exprimer `f'(x)` en fonction de `u(x) ` pour tout ` x > 0 `

2) En déduire les variations de `f` sur `]0,+infty[` puis dresser le tableau des variations

Partie 3

Dans le plan muni d'un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j))` on note :

1) `(Gamma)` la courbe représentative de la fonction ` ln `

2) ` A ` le point de coordonnées `(0,2)`

3) ` M ` le point de `(Gamma)` d'abscisse ` x in ]0,+infty[`

1) a) Tracer un schéma convenable de `(Gamma)` , `A` et `M`

b) Montrer que la distance `AM` est donnée par `AM= f(x) `

2a) Montrer que la distance `AM` est minimale en un point de `(Gamma)` , noté `P` dont on précisera les coordonnées

b) Montrer que ` AP = alphasqrt(1+alpha^2)`

3) la droite `(AP)` est elle perpendiculaire à la tangente `(Gamma)` au point `P` ? justifier


Solution

BAC 2006 :Session Normale

soit `n in N ; n >= 3 ` , soit la fonction `g_n` définie sur `R^{+* } ` par `g_n(x) = nx+2lnx`
Partie 1
1) Dresser le tableau des variations de `g_n`

2) Montrer que `(forall x in R^{*+} : sqrt(x) > ln(x) `

3) a) Montrer que l équation `g_n(x)=0` admet une solution unique `alpha_n in R^{+*} ` et que `1/n < alpha_n < 1/{sqrt(n)}`

b) En déduire `lim_{ n to + infty } alpha_n `

Partie 2

soit al fonction numérique `f` définie sur `[0,+infty[ ` par `f(x) = (x)^{1/3}e^{-x}`

1) Etudier la dérivabilité de la fonction `f` à droite en `0` , puis interpréter le résultat géométriquement

2) Calculer `lim_{ x to + infty } f(x) ` puis donner l interprétation géométrique du résultat obtenu

3) a) Montrer que `(forall x in R^{*+} ; f'(x) = {1-3x}/{3x}f(x)`

b) Dresser le tableau des variations de `f`

4) Construire la courbe `C_f` dans un repère orthonormé

II) On pose `I= [1/3,1]`

1) a) Montrer que `f(I) subset I `

b) En utilisant 3a) Montrer que `(forall x in I ) : abs(f'(x)) <= 2/3`

c) Montrer que `(f(x) = x et x > 0 ) <=> x= alpha_3` ou `alpha_3` est la solution de l équation `g_3(x)`

2) soit la suite `(u_n) ` définie par

`u_0= 1/3 ` et `(forall n in N) : u_{n+1} = f(u_n) `

a) Montrer que `(forall n in N ) : u_n in I `

b) Montrer que `(forall n in N ) : abs(u_{n+1} -alpha_3) <= 2/3abs(u_n -alpha_3)`

c) En déduire que `(forall n in N ) : abs(u_n -alpha_3) <= (2/3)^{n+1} `

d) Montrer que `(u_n)` est une suite convergente puis déterminer sa limite


sans solution

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