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Fonctions logarithmes Cours Cours en vidéos

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Etudier le signe de `f(x)` dans chacun des cas suivants :

1) ` f(x)= (1 -2x) (sqrt(x) -1) (x^2 -x-1) `

2) ` f(x)= ln( sqrt(abs(x)) +2) ln(x^2+1) `

3) `f(x)= lnx + xsqrt(x) -1 `


Solution

Déterminer les primitives de la fonction `f` sur l intervalle `I` dans chacun des cas suivants :

1 ` f(x)= x^3 ` et ` I = R `

2 ` f(x)= 1/x^n ` et ` I = R^(ast, +) ` et ` n in N^(ast) -{1}`

3 ` f(x)= 2x(x^2 -3)^(2019) ` et ` I = R `

4 ` f(x)= (x^3+x)/(x^4+2x^2+5)^2 ` et ` I = R `


Solution

Simplifier les écritures suivantes :

` A = ln((4sqrt(2))/(27)) +ln(12sqrt(3)) +ln(3sqrt(3))`

` B = 7/(16)ln(3+ 2sqrt(2)) -4ln(1+sqrt(2)) -(25)/8ln(sqrt(2) -1) `

`D = 2ln(esqrt(e)) -3ln(e^3) -2ln(e^(-6)) `

`E = ln(1/2) +ln(2/3) + ..... ln((98)/(99)) + ln((99)/(100)) `

`F = 3/8ln(7+4sqrt(3)) -ln(2+sqrt(3)) -1/4 ln(2-sqrt(3)) `


Solution

On considère la fonction `g` définie sur `]-1,1[` par `g(x)= 1/(sqrt(1-x^2)) `

1Justifier que `g` admet une primitive sur `I` . On note `G` la primitive de `g` qui s'annule en `0`

2 Montrer que la fonction `G` est impaire

3 Montrer que `G` est continue et strictement croissante sur `I`

4En déduire que ` G(x)>= 0` pour tout ` x in [ 0,1[ ` et ` G(x) <= 0 ` pour tout ` x in ]-1,0]`


Solution

Résoudre dans `R` les équations et les inéquations suivantes

1 `ln(2x-3)=ln(4-x)`

2 `ln(x^2+x)=ln(-2x-2)`

3 `ln(3x^2+4x+2)= 0 `

4 `ln(4x-5) > ln(2x+3) `

5 `ln(x^2+3x) -ln(x+2) >= 0 `

6 `ln(abs(3x^2+7x +2)) >= 0 `


Solution

Si `X = 3( e^(-7 +ln(3)) -1) ` alors a t-on l'égalité

` lnX = ln3 + ln(1000 -e^7) -7 `


Solution

Déterminer le domaine de définition de chacune des fonctions suivantes

1 `f(x)= sqrt(ln((x+1)/(1-x)) )`

2 `g(x)= 1/( ln(abs(x-2) -1))`

3 `h(x)= 1/(lnx)^3 +x/(ln(x+2))`


Solution

Calculer en fonction de ` a= ln5` et ` b = ln(4)` ce qui suit :

1) ` alpha= ln2 `

2) ` beta= ln(100) `

3) ` gamma= ln(1000) `

4) ` l= ln(8/(125)) `

5) ` mu= ln(0,64) `


Solution

Soit ` a, b , c ` des réels strictement positifs . On pose `A= ln(a)` , `B= lnb ` et `C= lnc `

Exprimer ce qui suit en fonction de `A,B,C `

1) `X = ln(a^8b^9c^(-3/2))`

2) `Y = ln(a/b^7) +ln(a^(-1)/c^3) `

3) `Z= ln( sqrt(abca^(1/5) b^(1/4)))`

4) `T = ln( ( sqrt(a)*b^(-2/3) *csqrt(c))^(1/5))`


Solution

1 `lim_{ x to 0^+}`

2 `lim_{ x to 0^+} `

3 `lim_{ x to +infty} x ln((x-1)/(x+1))`

4 `lim_{ x to +infty} (ln(x^(2017) +x+1))/x`

5 `lim_{ x to 0^+} (lnx)/(lnx+3)`

6 `lim_{ x to -infty} sqrt(x^2ln(1+4/x^2))`

7 `lim_{ x to +infty} (lnx)/(ln(abs(x^2-1)))`

8 `lim_{ x to 3} (2x)/(x-3)ln(x/3)`

9 `lim_{ x to +infty} (x^2 -7x -5lnx) `

10 `lim_{ x to 0^-} xln(x^2-3x)`


Solution

Déterminer le domaine de définition de la fonction `f` dans chacun des cas suivants :

1) `f(x)= ln(x+2)`

2) `f(x)= ln(x^2-5x) `

3) ` f(x)= lnabs(x+1)`

4) ` f(x)= ln^2x -3lnx `

5) ` f(x)= ln((x-1)^2)`

6) ` f(x)= x ( 2-lnx)^(1/3) `

7) `f(x) = ln(x+2) + ln(x-1) `

8) `f(x)= ln((x+2)(x-1))`

9) `f(x)= ln(lnx)`

10 ) `f(x)= ln((x+2)/(3-x))`

11) `f(x)= (ln(x^2+4))/x `

12) `f(x)= x/(ln^2x) +3/(ln(x-3)) -1/(1+lnabs(x))`


Solution

Résoudre dans `R` :

1 `log(x+11) +log(x-4)= 2 `

2 `log(x)+1 = log(x+3) `

3 `(log(x+2))^2 -log(x+2) -2 >= 2 `


Solution

soit `phi` la fonction numérique définie sur `[0,+infty[` par `phi(t)= (2t)/(1+t) -ln(1+t)`

1 Etudier les variations de `phi` et en déduire qu'il existe un unique ` alpha in ]3,4[` tel que `phi(alpha)= 0 `

2 soit `f` la fonction numérique définie sur `[0,+infty[` par :

` f(x)= (ln(1+x^2))/x text{ si } x > 0 `

` f(0) = 0 `

`C_f` sa courbe représentative dans un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j))`

a Montrer que `f` est dérivable à droite en `0`

b Déterminer la nature de la branche infinie de la courbe `C_f`

cMontrer que `f` est dérivable sur `]0,+infty[` et que ` forall x in ]0,+infty[ : f'(x)= (phi(x^2))/x^2`

dEtudier les variations de la fonction `f` puis tracer la courbe `C_f`


Solution

Partie 1

On donne `ln(1,3) approx 0,26` et `ln(1,4) approx 0,34`

Soit `u` la fonction définie sur `]0,+infty[` par `u(x)= x^2 -2+lnx `

1) Etudier les variations de la fonction `u` et préciser ces limites en `0` et en `+infty `

2a) Montrer que l'équation `u(x)= 0` admet une solution unique `alpha ` sur l intervalle `]0,+infty[`

b) Vérifier que ` 1, 3 < alpha < 1,4 `

3) Déterminer le signe de `u(x)` suivant les valeurs de `x`

4) Vérifier que ` lnalpha = 2-alpha^2`

Partie 2

Soit `f` la fonction numérique définie sur `]0,+infty[` par `f(x)= sqrt(x^2+(2-lnx)^2) `

1) a) Calculer `lim_{ x to 0^+} f(x) ` , `lim_{ x to +infty} f(x) ` , ` f(alpha) `

b) Montrer que `lim_{ x to +infty} (lnx)^2/x = 0 `

c) Etudier les branches infinies de la courbe `C_f `

d) Exprimer `f'(x)` en fonction de `u(x) ` pour tout ` x > 0 `

2) En déduire les variations de `f` sur `]0,+infty[` puis dresser le tableau des variations

Partie 3

Dans le plan muni d'un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j))` on note :

1) `(Gamma)` la courbe représentative de la fonction ` ln `

2) ` A ` le point de coordonnées `(0,2)`

3) ` M ` le point de `(Gamma)` d'abscisse ` x in ]0,+infty[`

1) a) Tracer un schéma convenable de `(Gamma)` , `A` et `M`

b) Montrer que la distance `AM` est donnée par `AM= f(x) `

2a) Montrer que la distance `AM` est minimale en un point de `(Gamma)` , noté `P` dont on précisera les coordonnées

b) Montrer que ` AP = alphasqrt(1+alpha^2)`

3) la droite `(AP)` est elle perpendiculaire à la tangente `(Gamma)` au point `P` ? justifier


Solution


Résoudre les systèmes suivants :

`(S_1)`

`(S_2)`


Solution

On considère la fonction `f` définie sur `R` par `f(x)= ln(x+sqrt(1+x^2)) `

1) Calculer `lim_{ x to +infty} f(x) `

2) Montrer que `f` est impaire

3) Calculer `lim_{ x to -infty} f(x) `

4) Calculer `lim_{ x to +infty} {f(x)}/x `


Solution

1 Montrer que pour `t>0 : ln(t) <= t -1 `

2 Etudier le signe de la fonction `g` définie sur `]0,+infty[` par `g(x) = x-1/x-2lnx`


Solution

Session 1996


Partie 1

On considère la fonction `g` définie sur `]0,+infty[ ` par ` g(x)= 2x^2 +1- lnx `

1) Calculer `lim_{ x to 0^+} g(x) ` et `lim_{ x to +infty} g(x) `

2a) Calculer `g'(x)` pour tout ` x in ]0, +infty[ ` , puis étudier les variations de `g`

b) Dresser le tableau des variations de `g`

c) Montrer que ` forall x > 0 : g(x) > 0 `

Partie 2

Soit `f` la fonction définie sur `]0, +infty[` par ` f(x)= 2x -2 + (lnx)/x`

1) a) Calculer `lim_{ x to 0^+} f(x) ` puis interpréter géométriquement le résultat obtenu

b) Calculer `lim_{ x to +infty} f(x)` et déterminer la branche infinie de la courbe `C_f` au voisinage de `+infty `

2) Montrer que ` forall x > 0 : f'(x)= (g(x))/x^2 ` puis dresser le tableau des variations de `f`

3) a) Calculer `f''(x)` pour tout ` x > 0 `

b) Montrer que `C_f` admet un point d'inflexion qu'on déterminera

c) Tracer la courbe `C_f`


Solution

Session de rattrapage 2003


Partie 1

Soit `f` la fonction définie sur `[0,+infty[` par ` f(x)= x-2sqrt(x) +2 `

1) a) Montrer que ` lim_{ x to +infty} f(x) = +infty `

b) Etudier la dérivabilité à droite de `f` au point ` x_0 = 0 `

c) Montrer que `f` est décroissante sur `[0,1]` et croissante sur `[1,+infty[`

Partie 2

On considère la suite `(u_n)` définie par `u_0= 2 ` et pour tout ` n in N : u_(n+1)=f(u_n) `

1) Montrer que ` forall n in N : 1 <= u_n <= 2 `

2) Montrer que `(u_n)` est décroissante , puis en déduire qu'elle est convergente et calculer sa limite

Partie 3

On considère la fonction `g` définie sur `R^+` par ` g(x)= ln ( x-2sqrt(x) +2) `

1) a) Calculer ` lim_{ x to +infty} g(x) `

b) Etudier la nature de la branche infinie de la courbe `C_g` au voisinage de `+infty `

c) Montrer que ` lim_{ x to 0^+} (g(x) -g(0))/x = -infty `

2) a) Etudier les variations de `g` et dresser son tableau des variations

b) Tracer la courbe `C_g `

3) Soit `h` la restriction de la fonction `g` sur l 'intervalle `[1,+infty[`

a) Montrer que `h` admet une fonction réciproque `h^(-1)` définie sur un intervalle `J` à déterminer

b) Calculer `h^(-1)(x)` pour tout ` x in J `


Solution

Session de rattrapage 2010


Partie 1

Soit `g` la fonction numérique définie sur `]0,+infty[` par `g(x)=x^3-x -2lnx +3 `

1a) Vérifier que ` forall x in ]0,+infty[ : 3x^3-x-2 = (x-1)(3x^2+3x+2) `

b) Montrer que ` forall x in ]0, +infty[ : g'(x)=( (x-1)(3x^2+3x+2))/x `

2a) Vérifier que ` forall x in ]0,+infty[ ` : `(3x^2+3x+2)/x > 0 `

b) En déduire que le signe de `g'(x)` est celui de ` x-1 ` sur l intervalle `]0,+infty[`

3a) Montrer que `g` est décroissante sur `]0,1]` et croissante sur `[1,+infty[`

b) En déduire que ` forall x in ]0,+infty[ : g(x) > 0 `

Partie 2

On considère la fonction `f` définie sur `]0,+infty[` par ` f(x)= x-1 + (x-1+lnx)/x^2`

et soit `C_f` sa courbe représentative dans un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j))`

1) Montrer que ` forall x in ]0,+infty[ : f'(x)= (g(x))/x^3 ` , puis en déduire que `f` est croissante sur `]0,+infty[`

2a) Montrer que ` lim_{ x to 0^+} f(x)= -infty ` puis interpréter géométriquement ce résultat

b) Montrer que ` lim_{ x to +infty} (x-1+lnx)/x^2 = 0 ` puis ` lim_{ x to +infty} f(x)= +infty `

c) Montrer que la droite `(Delta) : y=x-1` est une asymptote oblique de la courbe `C_f` au voisinage de `+infty `

3a) Montrer que ` (T) : y = 3(x-1)` est une équation cartésienne de la tangente `(T)` à la courbe `C_f` au point `I(1,0) `

b) Construire la droite `(T) ` et la courbe `C_f`

Partie 3

1) Montrer , à l'aide d'une intégration par parties que ` int_1^e (lnx)/x^2 dx = 1 -2/e `

2) Montrer que l'aire du domaine plan délimité par la courbe `C_f` , la droite `(D) : y =x-1 ` et les droites d'équations cartésiennes `x= 1` et ` x= e ` est ` (1 -1/e)cm^2 ` : ` text{ unité} = 1cm `


Solution

Session 2011


1) Résoudre dans `R :x^2+4x-5 = 0 `

2) Résoudre dans `]0,+infty[ ` l'équation `: ln(x^2+5)= ln(x+2)+ln(2x) `

3) Résoudre dans `]0,+infty[ ` l inéquation ` lnx+ln(x+1) >= ln(x^2+1) `


Solution

Session Normale 2012

Partie 1

On considère la fonction `g` définie sur `]0,+infty[` par `g(x)= x^2-1+2x^2lnx`

1) Montrer que `x^2-1` et `2x^2lnx` ont le meme signe sur `]0,1]` puis en déduire que `forall x in ]0,1] :g(x) <= 0 `

2) Montrer que `x^2-1` et `2x^2lnx` ont le meme signe sur `[1,+infty` puis en déduire que `forall x in [1,+infty[ :g(x) >= 0 `

Partie II

On considère la fonction `f` définie sur `]0,+infty[` par `f(x)= (x^2-1)lnx`

1) a) Montrer que `lim_{ x to 0^+} f(x)= +infty ` , puis donner l'interprétation géométrique au résultat obtenu

b) calculer `lim_{ x to +infty} f(x)`, puis montrer que `lim_{ x to +infty} {f(x)}/x= +infty` , en déduire que `C_f` admet une branche parabolique dont on déterminera sa direction

2 a) Montrer que `forall x in ]0,+infty[ :f'(x)= {g(x)}/x`, puis donner l 'interprétation géométrique du résultat `f'(1)= 0 `

b) En déduire que `f` est décroissante sur `]0,1]` et croissante sur `[1,+infty[`

c) Donner le tableau des variations de `f` , puis montrer que ` forall x in ]0,+infty[ : f(x) >= 0 `

3) Tracer la courbe `C_f` dans un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j)) ( unité 3cm^2) `

4) a) Montrer que la fonction `u :x-> 1/3x^3 -x ` est une primitive sur `R` de la fonction `x-> x^2-1`

b) par intégration par parties montrer que `int_1^2 (x^2-1)lnx = 2/9(1+3ln2)`

c) calculer l'aire du domaine délimité par la courbe `C_f` , l'axe des abscisses et les droites définies par `x= 1` et `x=2`


Solution

Session de rattrapage 2013

On considère la fonction `g` définie sur `]0,+infty[` par `g(x)= x^2-x-lnx`

1) a) Vérifier que ` forall x in R : 2x^2-x-1 =(2x+1)(x-1)`

b) Montrer que ` forall x in ]0,+infty[ : g'(x)= {2x^2-x-1}/x` , puis en déduire que `g` est décroissante sur `]0,1]` et croissante sur `[1,+infty[`

2) Montrer que ` forall x in ]0,+infty[ : g(x) >= 0 ` ( Remarquer que `g(1)= 0 ` )

On considère la fonction `f` définie sur `]0,+infty[` par `f(x)= x^2-1-(lnx)^2` .

1) a) Montrer que `lim_{ x to 0^+} f(x) = -infty`

b) Montrer que `lim_{ x to +infty} f(x)= +infty` et `lim_{ x to +infty} {f(x)}/x = +infty ` ( remarquer que `f(x)= x^2(1-1/x^2 -({lnx}/x)^2)`

c) En déduire que `C_f` admet une branche parabolique dont on déterminera sa direction au voisinage de `+infty`

2 a) Montrer que ` forall x > 0 : f'(x)= 2({x^2-lnx}/x)`

b) Vérifier que ` forall x in ]0,+infty[ : {g(x)}/x+1 = {x^2-lnx}/x ` puis en déduire que `f` est croissante sur `]0,+infty[`

3 a) montrer que l'équation cartésienne ` y=2x-2` est l'équation de la droite ` D ` tangente de `C_f` en `A(1,0)`

b) Tracer la courbe `C_f` et la droite `D` on admet que la courbe `C_f` admet `A(1,0)` comme seul point d'inflexion

4 a) Vérifier que `H : x-> x(lnx-1)` est une fonction primitive sur `]0,+infty[` de la fonction `x->lnx` , puis montrer que `int_1^e lnx dx = 1`

b) Par intégration par partie montrer que `int_1^e (lnx)^2dx = e-2 `

c) Montrer que la surface `S` du domaine, délimité par l'axe des abscisses et la courbe `C_f` et les droites ` x= 1 ` et ` x= e ` , est égale ` 1/3(e^3 -6e +8) cm^2`


Solution

Session normale 2014


Partie 1

Soit `g` la fonction numérique définie sur `]0,+infty[` par `g(x)= 1-1/x^2 +lnx `

1) Montrer que ` forall x in ]0,+infty[ : g'(x)= 2/x^3 +1/x ` en déduire que `g` est croissante sur `]0,+infty[`

2) Vérifier que ` g(1)= 0 ` et en déduire que :

`g(x) <= 0 ` pour tout ` x in ]0,1]`

` g(x) >= 0 ` pour tout ` x in [1, +infty[`

Partie 2

On considère la fonction `f` définie sur `]0,+infty[` par ` f(x)= (1+lnx)^2 +1/x^2 `

et soit `C_f` sa courbe représentative dans un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j))`

1) Montrer que ` lim_{ x to 0^+} f(x)= +infty ` , puis interpréter géométriquement ce résultat

2a) Calculer ` lim_{ x to +infty} f(x) `

b) Montrer que ` lim_{ x to +infty} (1+lnx)^2/x = 0 ` , puis montrer que `lim_{ x to +infty} (f(x))/x = 0 ` Indication On pourra poser ` t =sqrt(x)`

c) Déterminer la branche infinie de la courbe `C_f` au voisinage de `+infty `

3a) Montrer que ` forall x in ]0,+infty[ : f'(x)= (2g(x))/x ` puis en déduire que :

la fonction `f` est décroissante sur `]0,1]`

la fonction `f` est croissante sur `[1,+infty[`

b) Dresser le tableau des variations de `f` sur `]0,+infty[` , puis en déduire que ` forall x in ]0,+infty[ : f(x) >= 2 `

4) Tracer la courbe `C_f`

Partie 3

On considère les deux intégrales ` I = int_1^e ( 1+lnx)dx ` et `J = int_1^e (1+lnx)^2 dx `

1) Montrer que la fonction ` x-> xlnx` est une primitive de la fonction ` h : x-> 1+lnx ` sur `]0,+infty[` , puis en déduire que `I =e `

2) En utilisant une intégration par parties montrer que `J =2e -1 `

3) Calculer en `cm^2` , l aire du domaine du plan délimité par la courbe `C_f` , l'axe des abscisses et les droites d'équations cartésiennes ` x= 1 ` et ` x = e`


Solution

Session de rattrapage 2015


Partie 1

Soit `g` l a fonction numérique définie sur `]0,+infty[` par ` g(x) = 1-x +xlnx `

1a) Montrer que pour tout ` x in ]0, +infty[ : g'(x)= lnx `

b) Montrer que `g` est décroissante sur `]0,1]` et croissante sur `[1,+infty[`

2) Calculer ` g(1)` et en déduire que ` forall x in ]0,+infty[ : g(x) >= 0 `

Partie 2

On considère la fonction `f` définie sur `]0,+infty[` par ` f(x)= 3 -1/x^2 -(2lnx)/x `

et soit `C_f` sa courbe représentative dans un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j)) `

1) Montrer que ` lim_{ x to 0^+} f(x)= -infty ` puis interpréter géométriquement ce résultat Indication ` f(x)= (3x^2 -1-2xlnx)/x^2`

2) Montrer que ` lim_{ x to +infty} f(x)= 3 ` en déduire la nature de la branche infinie de la courbe `C_f` au voisinage de `+infty `

3a) Montrer que ` forall x in ]0,+infty[ : f'(x)= (2g(x))/x^3 `

b) Interpréter géométriquement le résultat ` f'(1)= 0 `

c) Montrer que `f` est croissante sur `]0,+infty[`

4) Construire `C_f`

5) Soit `h` la fonction numérique définie sur `R^(ast)` par ` h(x)= 3-1/x^2 -(ln(x^2))/(abs(x))`

a) Montrer que la fonction `f` est paire et pour tout ` x in ]0,+infty[ : h(x)= f(x) `

b) Construire dans le meme repère `(O, vec-i) , vec(j) ` la courbe `C_h` de la fonction `h`


Solution

Session de rattrapage 2016


Partie 1

Soit `g` la fonction numérique définie sur `]0,+infty[` par ` g(x)= 2/x -1+2lnx `

le tableau en dessous donne les variations de `g` sur l intervalle `]0,+infty[`



1) Calculer ` g(1)`

2) Déduire à partir du tableau des variations que ` g(x) > 0 ` pour tout ` x in ]0, +infty[`

Partie 2

On considère la fonction `f` définie sur `]0,+infty[` par ` f(x) = 3 -3x +2(x+1)lnx `

et soit `C_f ` sa courbe représentative dans un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j))`

1) Montrer que ` lim_{ x to 0^+} f(x)= -infty ` puis interpréter géométriquement ce résultat

2a) Montrer que ` lim_{ x to +infty} f(x)= +infty ` indication on pourra écrire : ` f(x)= x [ 3/x -3 +2(1+1/x)lnx]`

b) Montrer que la courbe `C_f` admet au voisinage de `+infty` une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées

3a) Montrer que ` forall x in ]0,+infty[ : f'(x)= g(x) `

b) En déduire que la fonction `f` est strictement croissante sur `]0,+infty[` puis dresser le tableau des variations de `f` sur `]0,+infty[`

4a) Montrer que `I(1,0)` est un point d'inflexion de la courbe `C_f`

b) Montrer que ` y = x -1 ` est une équation de la tangente `(T)` à la courbe `C_f` en ce point

c) Construire la droite `(T)` et la courbe `C_f `

5) Résoudre graphiquement dans l intervalle `]0,+infty[ ` l inéquation `(x+1)lnx >= 3/2(x-1) `


Solution

Session normale 2017


Partie 1

Soit `g` la fonction numérique définie sur `]0,+infty[` par ` g(x)= x^2 +x-2+2lnx `

1) Vérifier que ` g(1)= 0 `

2) à partir du tableau des variations de `g` en dessous





Montrer que ` g(x) <= 0 ` pour tout ` x in ]0,1]` et ` 0 <= g(x) ` pour tout ` x >= 1 `

Partie 2

On considère la fonction `f` définie sur `]0,+infty[ ` par ` f(x)= x + (1-2/x)lnx `

et soit `C_f` sa courbe représentative dans un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j))` : unité ` 1 cm `

1) Calculer `lim_{ x to 0^+} f(x) ` et interpréter graphiquement le résultat obtenu

2a) Montrer que ` lim_{ x to +infty} f(x)= +infty `

b) Montrer que que la courbe `C_f` admet au voisinage de `+infty ` une branche parabolique de direction la droite `(D) : y =x `

3a) Montrer que ` forall x in ]0,+infty[ : f'(x) = (g(x))/x^2 `

b) En déduire que la fonction `f` est décroissante sur `]0,1]` et croissante e sur `[1,+infty[`

c) Dresser le tableau des variations de `f` sur `]0,+infty[`

4a) Résoudre dans l intervalle `]0,+infty[` l'équation `(1-2/x)lnx = 0 `

b) En déduire que `C_f` coupe la droite `(D)` en deux points dont on déterminera les cordonnées

c) Montrer que pour tout ` x in [1,2] : f(x) <= x ` et en déduire la position relative de la courbe `C_f` par rapport à la droite `(D)` sur l intervalle `[1, 2]`

5) Construire `(D)` et `C_f`

Partie 3

Soit `(u_n)` la suite numérique définie par :

` u_0 = sqrt(3) ` et `u_(n+1)= f(u_n)` pour tout ` n in N `

1) Montrer que par récurrence que ` forall n in N : 1 <= u_n <= 2 `

2) Montrer que la suite `(u_n)` est décroissante

3) En déduire que la suite `(u_n)` est convergente puis déterminer sa limite

Partie 4

1) Montrer que `int_1^2 (lnx)/x dx = (ln2)^2/2 `

2) Montrer que la fonction `H : x-> 2lnx -x ` est une primitive de la fonction `h : x-> 2/x -1` sur `]0,+infty[`

3) Montrer à l'aide d'une intégration par parties que `int_1^2 (2/x-1)lnx dx = (1-ln2)^2 `

4) Calculer en `cm^2` , l 'aire du domaine du plan délimité par la courbe `C_f` , la droite d'équation ` y = x ` et les droites d'équations ` x= 1` et ` x= 2`


Solution

Session de rattrapage 2018


Partie 1

On considère la fonction `g` définie sur `]0,+infty[` par `g(x)= x^3-1 -2ln^2x +2lnx `

Dont le tableau des variations est le suivant :





1) Vérifier que `g(1)= 0`

2) En utilisant le tableau des variations déterminer le signe de `g(x)` sur chacun des intervalles `]0,1]` et `[1,+infty[`

Partie 2

On considère la fonction `f` définie sur `]0,+infty[` par `f(x)= x-1/2+1/(2x^2)+ ((lnx)/x)^2`

1a) Vérifier que `lim_{ x to +infty} f(x)= +infty `

b) Montrer que la droite `(D)` d'équation ` y=x-1/2` est une asymptote oblique à la courbe `C_f` au voisinage de `+infty`

c) Etudier la position relative de `(D)` par rapport à `C_f`

2) Montrer que `lim_{ x to 0^+} f(x)= +infty ` puis interpréter géométriquement ce résultat

3a) Montrer que `forall x > 0 : f'(x)= (g(x))/x^3`

b) Montrer que `f` est décroissante sur `]0,1]` et croissante sur `[1,+infty[`

c) Dresser le tableau des variations de `f`

4) Tracer la courbe `C_f` et la droite `(D)`

Partie 3

On considère la fonction `h` définie sur `]0,+infty[` par `h(x)= f(x) -x ` et dont la courbe représentative est le suivant



1) Vérifier que `h(1)= 0`

2) Déterminer le signe de `h(x)` sur chacun des intervalles `]0,1]` et `[1, +infty[`

3) En déduire que `forall x >=1 : f(x) <= x `

Partie 4

On considère la suite `(u_n)` définie par `u_0=e` et ` forall n in N : u_(n+1)=f(u_n)`

1) Montre par récurrence que `forall n in N : 1 <= u_n <= e `

2) Montrer que `(u_n)` est décroissante Indication on pourra utiliser partie 3 ) 3

3) En déduire que `(u_n)` est convergente puis Calculer sa limite


Solution

Session normale 2019

soit al fonction `f` définie sur `]0,+infty[` par `f(x) =x+1/2-lnx+1/2(lnx)^2`

1) Calculer `lim_{ x to 0^+} f(x) ` , puis donner l interprétation géométrique du résultat obtenu

2) a) Vérifier que ` forall x in ]0,+infty[: f(x) = x+1/2 +(1/2lnx -1)lnx`

b) En déduire que `lim_{ x to +infty} f(x) = +infty`

c) Montrer que ` forall x in ]0,+infty[: {ln^2x}/x= 4 ({ln(sqrt(x))}/{sqrt(x)})^2`

puis en déduire `lim_{ x to +infty} {ln^2x}/x = 0 `

d) Montrer que `C_f` admet une branche parabolique , au voisinage de `+infty` , de direction la droite `y=x`

3) a) Montrer que `forall x in ]0,1] : x-1 +lnx <= 0 ` et `forall x in [1,+infty[ : x-1 +lnx >= 0 `

b) Montrer que `forall x in ]0,+infty[ : f'(x) = {x-1+lnx}/x`

c) Donner le tableau des variations de `f`

4) a) Montrer que `forall x in ]0,+infty[ : f''(x) = {2-lnx}/x^2`

b) En déduire que `C_f` admet un point d'inflexion qu on déterminera ses coordonnées

5) a) Montrer que `forall x in ]0,+infty[ : f(x) -x = 1/2(lnx-1)^2`

b) en déduire la position de `C_f` par rapport à `Delta : y=x`

c)Tacer la courbe `C_f` et la droite `Delta`

6) Montrer que la fonction `H(x) = xlnx -x` est une fonction primitive de la fonction `h(x) =lnx` sur `]0,+infty[`

b) Montrer que `int_{1}^e (lnx)^2dx= e-2`

c) Caluler la surface délimitée par `C_f` la droite `Delta` et les droites `x=1` et `x=e`

7) soit la suite `u_n` définie par `u_0= 1 ` et `u_{n+1} =f(u_n)`

a) Montrer par récurrence que `forall n in N : 1 <= u_n <= e `

b) Montrer que `u_n` est croissante

c) En déduire que `u_n` est convergente

d) Calculer `lim_{n to +infty} u_n `


Solution

Exercice 3 Session normale 2020

On considère la fonction `g` définie sur `]0,+infty[` par `g(x)= 2sqrt(x) -2 -lnx `

1) a) Montrer que `forall x in ]0,+infty[ : g'(x)= {sqrt(x) -1}/x `

b) Montrer que `g` est croissante sur `[1,+infty[`

c) En déduire que ` forall x in [1,+infty[ : 0 <= lnx <= 2sqrt(x)` ( Remarquer que `2sqrt(x) -2 <= 2sqrt(x) `)

d) Montrer que ` forall x in [1,+infty[ : 0 <= (lnx )^3/{x^2}<= 8/{sqrt(x)}` , puis en déduire `lim_{ x to +infty} (lnx )^3/{x^2}`

2) a) Montrer que la fonction `G` définie par `G(x)= x( -1+4/3sqrt(x) -lnx)` est une fonction primitive sur `]0,+infty[` de la fonction `g`

b) Calculer `int_1^4 g(x) dx `


Solution

Session de rattrapage 2021


On considère la fonction `h` définie sur `]0,+infty[ ` par ` h(x)= x+lnx `

1) Montrer que `h` est strictement croissante sur `]0, +infty[`

2) Déterminer ` h ]0,+infty[`

3a) En déduire que l'équation `h(x)= 0 ` admet une solution unique `alpha ` sur `]0,+infty[`

b) Montrer que ` 0 < alpha < 1 `

4a) Vérifier que ` h(1/(alpha)) = alpha +1/(alpha) `

b) En déduire que ` h(1/(alpha)) > 2 `


Solution

Session normale 2021


On a considère la fonction `f` définie sur `[0,+infty[` par :

`f(x) = 2xlnx-2x text{ si } x > 0 `

`f(0)=0 `

et soit `C_f` sa courbe représentative dans un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j)) ` et `abs(abs(vec(i))) = 1 `

1)Montrer que `f` est continue à droite en `0`

2 a) Calculer `lim_{ x to +infty} f(x) `

b) `lim_{ x to +infty} (f(x))/x ` puis interpréter le résultat obtenu

c) `lim_{ x to 0^+ } (f(x))/x ` puis interpréter le résultat obtenu

3) a) Calculer `f'(x)` pour tout ` x in ]0,+infty[`

b) Dresser le tableau des variations de `f` sur `D_f `

4 a) Résoudre dans `]0,+infty[` les équations `(E_1) : f(x)= 0` et `(E_2) : f(x)= x `

b) Tracer la courbe `C_f`

5 a) Par intégration par parties montrer que `int_1^e xlnx dx =(1+e^2)/4 `

b) En déduire `int_1^e f(x)dx `

6a) Déterminer la valeur minimale de `f` sur `]0,+infty[`

b) En déduire que pour tout ` x in ]0,+infty[ lnx >= (x-1)/x`

7) Soit `g` la restriction de la fonction `f` sur l intervalle `[1,+infty[`

a) Montrer que `g` admet une fonction réciproque `g^(-1)` définie sur un intervalle `J` à déterminer

b) Tracer la courbe `C_{g^(-1)}`

8) On considère la fonction `h` définie sur `R` par :

`h(x)= x^3+3x text{ si } x <= 0 `

`h(x)= 2xlnx-2x text{ si } x > 0 `

a) Etudier la continuité de `h` en `0`

b)Etudier la dérivabilité de `h` à gauche en `0` puis interpréter le résultat obtenu

c) la fonction `h` est elle dérivable en `0` Justifier


Solution

Session de rattrapage 2022


Soit `f` la fonction définie par :

` f(x)= x^4(lnx-1)^2 text{ si } x > 0 `

` f(0)= 0 `

et soit `C_f` sa courbe représentative dans un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j)) ` et `abs(abs(vec(i)))= 1cm `

1) Calculer `lim_{ x to +infty} f(x) ` puis déterminer la branche infinie de `C_f` au voisinage de `+infty `

2a) Montrer que `f` est continue à droite en ` 0 `

b) Etudier la dérivabilité à droite en `0` puis interpréter géométriquement le résultat obtenu

3a) Montrer que ` forall x > 0 : f'(x)= 2x^3(lnx-1)(2lnx-1)`

b) Dresser le tableau des variations

4a) Etudier le signe de `f''(x) ` sachant que ` f''(x)= 2x^2(6lnx-5)lnx` pour tout ` x in ]0,+infty[`

b) En déduire que la courbe `C_f` admet deux points d'inflexions qu'on déterminera leur abscisses

5a) Construire la courbe `C_f`

b) En utilisant la courbe `C_f` déterminer le nombre de solutions de l'équation `x^2(lnx-1)= -1 `

6) On considère la fonction `g` définie sur `R` par ` g(x)= f(abs(x)) `

a) Montrer que `g` est paire

b) Construire la courbe `C_g `

7a) On pose `I = int_1^e x^4(lnx-1)dx ` par intégration par parties montrer que ` I = (6-e^5)/(25) `

b) On considère la fonction `h` définie sur `]0,+infty[` par `h(x)= x^5(lnx-1)^2`

vérifier que ` h'(x)= 5f(x) + 2x^4(ln(x) -1)`

c) En déduire que `int_1^e f(x)= -1/5 -2/5I `

d) Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe `C_f` l'axe des abscisses et les droites d'équations ` x= 1` et ` x=e `


Solution

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