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Soit ` m in R^{*+}` on pose `I=]-m,m[` et on considère la fonction `f_m` définie sur `R` par

`forall x in R : f_m(x)= m{e^(2mx) -1}/{e^(2mx)+1}`

1) Montrer que `f_m` est bijective de `R` dans `I`

2) Déterminer `f^(-1)(x)` pour tout `x in I `

3) Calculer `f_m(f^(-1)(x) +f^(-1)(y))` pour tout `x , y in I `

4) Pour tout `x , y in I ` on pose ` x ast y = {m^2(x+y)}/{m^2+xy}`

montrer que `(I,ast)` est un groupe commutatif


Solution

On munit `R` d'une loi de composition interne comme suit

` forall ( x,y) in R^2 : x ast y = xsqrt(y^2+1) +ysqrt(x^2+1)`

on considère l'application `s ` définie de `R` dans `R` par `s(x)= {e^(x) -e^(-x)}/2`

1) Démontrer que `s` est un isomorphisme de `(R, +)` dans `(R,ast)`

2) En déduire la structure de `(R,ast)` en déterminant son élément neutre et le symétrique de tout élément dans `(R,ast)`

3) Pour tout ` x in R ` et pour tout ` n >= 2 ` on pose ` x^n= x ast x .......ast x ` , calculer ` x^n `


Solution

On considère l'ensemble $$ H= \{ {
\begin{pmatrix}
2^n & 0 & 2^n \\
0 & 1 & 0 \\
2^n & 0 & 2^n \\

\end{pmatrix}
} , n \in Z \}
$$

1) Montrer que `H ne emptyset`

2) Montrer que `H` est stable dans `M_3(R),`x )
3) Déterminer l'élément neutre de (H, x)

4) la loi x est -elle commutative dans `H`

5) on pose $$ A= {
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 \\
2 & 0 & 2 \\

\end{pmatrix}
}
$$
Calculer `A^(2017)`


Solution

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