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Le barycentre dans le plan
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1 Soit `A, B , C ` trois points du plan tels que ` 2 vec(CA) + 3vec(BC) = vec(0) `

Montrer que le point `B` est le barycentre des deux points ` A ` et `C` en précisant leur poids

2 Soit `A, B ` deux points distincts du plan et `G` le point tel que `vec(GA)+2vec(GB) = 1/3vec(AB) `

Montrer que `G` est le barycentre des points `(A,1) , (B,beta) ` ou `beta` est un réel à déterminer


Solution

dans chacun des cas suivants , déterminer deux réels `alpha, beta` pour que `G` soit barycentre du système pondéré `{(A,alpha) , (B,beta)}`

1) `2vec(AG) +3vec(GB) = vec(0) `

2) `2vec(GA) +5vec(AB) = vec(0) `

3) `-7vec(GB) +17vec(BA) = vec(0) `

4) `5vec(AG) = 2vec(BG) + vec(AB) `

5) `vec(AG)= 3vec(BA) `

6) ` 2016vec(GA) +504vec(GB)= 400vec(AB) `


Solution

Soit `A,B ` deux points distincts du plan et `M` le point de la droite `(AB)` tel que `vec(AM)=t vec(AB) `

1 Montrer que `M` est le barycentre du système pondéré `{ (A, 1-t ) , (B , t)}`

2 Montrer que si ` t =2/7 ` alors `M` est aussi barycentre du système `{(A,5) , (B, gamma)} ` ou `gamma` un réel à déterminer


Solution

Soit `A, B , C` trois points du plan tels que :

` 2vec(AB) + 3vec(BC) + 4vec(CA) = 5vec(BA) `

Montrer que `A` est le barycentre des points `B , C ` en déterminant leurs poids


Solution

Montrer que `G` est le barycentre des points pondérés `(A, x) , (B, y) ` ou `( x, y)` sont des réels à déterminer dans chacun des cas suivants :
a) ` vec(GA) -2vec(GB)= vec(0) `

b) ` 2/3vec(AG) = 1/2vec(GB) `

c) ` vec(GA) +vec(GB)= 2vec(BA) `

d) ` 9 vec(AG) +8vec(AB)= vec(0) `


Solution


Soit `A, B ` deux points distincts du plan Déterminer l'ensemble des points `M` du plan tels que :

1 `abs(abs(3vec(MA) -vec(MB))) = 4 `

2 `abs(abs(2vec(MA) + 3vec(MB))) < 5 `

3 `abs(abs(vec(MA)+vec(MB))) = 2abs(abs(2vec(MA)-vec(MB))) `


Solution

Soit `A, B ` deux points distincts du plan et `G` le point tel que : ` vec(GA)=5/3 vec(AB)`

a) Montrer que `G` est le barycentre du système `{(A,8) , (B, beta) }` ou `beta` est un réel à déterminer

b) Construire le point `G`


Solution

Soit `A, B , C` un triangle et `H` un point tel que `vec(HA)=2/3vec(AB) `

` G ` est le barycentre du système pondéré `{(A,-1) , (C, 3)}`

1 Montrer que `H` est le barycentre des points `(A, 5) , (B , -2) `

2 Montrer que `2vec(AG)= 3vec(AC) ` , puis construire les points `H` et `G`

3 Déterminer l'ensemble des points `M` de plan tels que `2abs(abs(5vec(MA)-2vec(MB))) = 3 abs(abs(vec(MA) -3vec(MC)))`


Solution

1) Soit `G` le barycentre des points pondérés `(A, sqrt(8)) , (B ,-sqrt(2))` .Montrer que `G` est le barycentre des points pondérés `(A, -2) , (B ,1 )`

2) Soit `E` le barycentre des points pondérés `(A, 1) , (B ,sqrt(2) -1 )` .Montrer que `E` est le barycentre des points pondérés `(A, sqrt(2) +1 ) , (B ,1)`


Solution

Soit `ABC` un triangle et `G` le barycentre du système pondéré `{(A,2) ,(B,3)}`

1) Construire le point `G` , puis simplifier le somme vectorielle `2vec(MA)+3vec(MB) ` ou ` M ` est un point du plan

2) Déterminer et tracer l'ensemble `(D)` des points du plan tels que `2vec(MA)+3vec(MB) ` et `vec(AC)` soient colinéaires


Solution

Soit `K` le barycentre des points pondérés `(N , (m^2-1)/2) , (M; (m-1)/(2m)) ; m in R^(ast) -{1}`

Montrer que `K` est le barycentre des points pondérés `(N; m+1) , (M,1/m) `


Solution

`A, B,G` trois points du plan tels que `3vec(GA)= 2 vec(AB) + vec(GB) `

1) Déterminer ` x` et ` y ` pour que `G` soit barycentre de `(A,x) , (B, y) `

2) Calculer `vec(GA)` en fonction `vec(AB) ` , puis donner une figure correspondante


Solution

Soit `ABC` un tringle ; `alpha ` et ` beta ` deux réels non nuls

On désigne par `G` le point barycentre du système pondéré ` (A, alpha) , (B , beta) , (C, -beta)`

Montrer que le point `G` appartient à la droite passant par `A ` parallèle à la droite `(BC) `


Solution

Soit `ABC` un triangle `E, F, K, I ` des points tels que
`vec(AE)=1/3vec(AB)`

`vec(AF)=1/Avec(AC)`

`vec(BK)=2vec(BC)`

et `I` le milieu du segment `[EK]`

1) a) Montrer que `vec(EK) = 4vec(EF)`

b) En déduire que les points `E, I, F` sont rectilignes

2) Montrer que `(AB)` et `(CI)` sont parallèles

3) Soit `G` le barycentre du sustème pondéré `{(A,2), (B,1), (C,6)}`

a) Montrer que `vec(GE) +vec(GB)+vec(GK)= vec(0)`

b) Montrer que les points `B,I,J` sont rectilignes

c) Déterminer l ensemble des points tels que `abs(abs(vec(MA)+4vec(MB)-2vec(MC)))=abs(abs(vec(MA)+3vec(MB)-vec(MC)))`


Solution

Soit `A,B,C` trois points du plan Déterminer l ensemble des points `M` tels que

`vec(MA) +vec(MB) -2vec(MC) = vec(0)`


Solution

soit `ABC` un triangle `I`le barycentre du système pondéré `{(A,-2) ,(B,5)}` et `G` le point défini par
`vec(AG) =5/3vec(AB)+1/2vec(AC)`

1) Déterminer les réels `a,b,c` pour que `G` soit la barycentre du système pondéré `{(A,a) ,(B,b),(C,c)}`

2) Montrer que `G` est le milieu du segment `[IC]`

3) Déterminer l'ensemble des points du plan tels que `abs(abs(-2vec(MA) + 5vec(MB) +3vec(MC)))=6MC`


Solution

Déterminer l ensemble des points `M` du plan tels que `abs(abs(vec(MA)+3vec(MB)))=abs(abs(2vec(MA)+2vec(MB)))`


Solution

soit `(ABCD)` un parallélogramme de centre `O` soit `G` le barycentre du système `{(A,-1) ,(B,5) ,(C,-2)}`

soit `J` un point tel que `vec(BJ)=2/3vec(CB)`

1) Montrer que `vec(AG) = 5/2vec(AB)-vec(AC)` , puis construire `G` et `J`

2) Montrer que `J` est le barycentre de `{(B,-5) , (C,2)}`

3) Montrer que `A,J,G` sont rectilignes

4) Déterminer l'ensemble des points `M in P` , `abs(abs(vec(MA)+vec(MB)+vec(MC)+vec(MD)))=2AD`


sans solution

Soit `ABC` un triangle et `alpha , beta` deux réels tels que `alpha ne 3` et `beta ne 0 `

Soit `G` le barycentre dy système `{(A,1) ,(B,2), (C,alpha)}`

Soit `G'` le barycentre dy système `{(A,-1) ,(B,1), (C,beta)}`

Déterminer `alpha ` et `beta` pour que le barycentre de `(C,3) ,(B,-2)` soit le barycentre de `(G',2) ,(G,-1)`


Solution

Soit `ABC` un triangle et `M` un point du plan on pose `vec(v) = 2vec(MA)+vec(MB)-3vec(MC)`

1) Montrer que `vec(v)` est indépendant du point `M`

2) soit `K` le barycentre des points `(B,1) ` et `(C,-3)` Montrer que ` vec(v) =2vec(KA)`

3) Soit `G` le barycentre du système pondéré :`{ (A,2) ,(B;-1) ;(C;-3)}`

a) Montrer que pour tout point `M` du plan `2vec(MA)-vec(MB)-3vec(MC) = 2 vec (GM)`

b) Déterminer l'ensemble des points `M` du plan tels que `abs(abs(2vec(MA)-vec(MB)-3vec(MC) )) = abs(abs(2vec(MA)+vec(MB)-3vec(MC)) )`

c) Déterminer l'ensemble des points `M` du plan tels que `abs(abs(2vec(MA)-vec(MB)-3vec(MC) )) = abs(abs(vec(MB)+vec(MC) ))`


Solution

Soit `(ABC)` un triangle .

et les points `F ` et `G` tels que `vec(BF)=3/2vec(BC)` et `vec(AG)=2/3vec(AB) +vec(BC) `

1) Tracer une figure correspondante

2) Montrer que `A, G, F ` sont alignés

3) a) Montrer que `G` est le barycentre du système pondéré `{( A, 1) ,(B-1) , (C, 3)}`

b) En déduire que les droites `(AB) ` et `(CG)` sont parallèles

4) On considère les points `P, Q, R ` définis par

`P ` est le barycentre du système `{(A,3),(B,1), (C,1) }`

`Q ` est le barycentre du système `{(A,3), (C,1) }`

`R ` est le barycentre du système `{(A,3),(B,1) }`

Montrer que `P ` est le point d'intersection des droite `(BQ)` et `(CR)`


Solution

Dans le plan (P) , soit un point `O ` et la suite des points `M_o, M_1,….M_n ` tels que pour tout `n in N`

`2aOM_(n+2) = 2aOM_(n+1) – a²OM_n ` avec `a in R ; a ne 0 ; a ne 1 `

1) Soit `G _{n+1} ` le barycentre du système `{(M_{n+1} ,1)(M_n,-a)} `

a) Montrer que les points ` O, G_(n+2) et G_(n+1) ` sont alignés.

b) Par quelle transformation géométrique le point `G_(n+1) ` se déduit du point `G`

2) Dans la suite de l’exercice , on suppose que `a=1/2 ` et que `M_o (2 ;0) ` et ` M_1 (1 ;1) ` dans une repère orthonormal `(O ;i ;j)`.

Placer sur le graphique les `M_o, M_1 et G_1 ` et expliquer la construction par laquelle chacun des points `G_2 ` et `M_2 `se déduit des précédents.

3) On note `x_n ` et ` y_n` les coordonnées de `M_n`

a) établir une relation entre `x_(n+2) , x_(n+1) , x_n `

b) on considère les suites de terme général `Un= 2^nx_n ` et `V_n=2^ny_n` .

Montrer que les suites ` W_n= U_(n+1) – U_n` et `Z_n= V_(n+1) - V_n` sont constantes

En déduire l’expression de `U_n` et `V_n ` en fonction de `n`

c) Déterminer l’expression de `x_n `et `y_n `en fonction de `n`


sans solution

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