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Lois de composition interne Cours Cours en vidéos

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1 Pour tout `x ` et `y ` dans `R-{1/2}` on pose `x ast y = x+y -2xy `

Montrer que `ast` est une loi de composition interne sur `R-{1/2}`

2 sur l intervalle `I =]-1,1[ ` on définit la relation `bot` par :

` forall (x, y) in I^2 : x bot y =(x+y)/(1+xy) `

la relation `bot` est elle une loi de composition interne sur `I` ? Justifier


Solution

On considère l'ensemble

Montrer que `G` est une partie stable de `(M_3(R) , xx) `


Solution

1 Etudier la commutativité et l'associativité de la loi de composition interne définie sur `R` par

`( forall (x,y) in R^2) xasty =2^(xy) `

2 Etudier la commutativité et l'associativité de la loi de composition interne définie sur `E= ZxxZ` par ` : (a,b) ast (x, y) = (ax ; ay +bx)`

3 Etudier la commutativité et l associativité de la loi de composition interne `ast` définie sur `C` par :

` ( forall (z, z') in C^2 ) z ast z' = izz' +2z +(1+i)z' + 2 `

4 on munit un ensemble `E` d'une loi de composition interne `ast` telle que

`( forall (x, y) in E^2) : xast(xasty)=(yastx)astx = y `

Montrer que la loi `ast ` est commutative


Solution

On considère l'ensemble :

1 Montrer que `xx` est une loi de composition interne sur ` A `

2 est ce que `(A , xx) ` admet un élément neutre ? Justifier


Solution

On munit `R` d'une loi de composition interne définie par : `( forall (x,y) in R^2) : x ast y = x+y +1/2xy `

1 Montrer que la loi `ast` est associative

2 Montrer que `ast ` admet un élément neutre que l'on déterminera

3 Déterminer les éléments symétrisables pour la loi `ast`

4 Montrer que le symétrique de ` -1 ` est `2 ` et que le symétrique de ` 6` est `-3/2`


Solution

On considère l'ensemble `A= { a +ib : (a,b) in Z}` ,on considère l'application

` phi : A->Z`
`z-> a+ib->sqrt(a^2+b^2)`

1) Montrer que l'application `phi` est un morphisme de `(A,.) ` dans `(Z,.)`

2) soit ` z in A ` , montrer que `z` admet un symétrique par la loi x si et seulement si `phi(z)=1`

3) On note `B` le sous-ensemble de `A` admettant un symétrique dans `(A, .) `. déterminer en extension `B`


Solution

On considère la matrice $$ A= {
\begin{pmatrix}
3 & 1 \\
-2 & 0 \\


\end{pmatrix}
}
$$

1) Montrer que `forall n in N^* `On considère l'ensemble $$ A^n= {
\begin{pmatrix}
2^{n+1} -1 & 2^n-1 \\
2-2^{n+1} & 2-2^n \\


\end{pmatrix}
}
$$

2) Montrer que `forall n in N^* :A^n` est inverssible dans `(M_2(R) , ` x`)` et déterminer son inverse


Solution

On considère l'ensemble $$ H= \{ {
\begin{pmatrix}
2^n & 0 & 2^n \\
0 & 1 & 0 \\
2^n & 0 & 2^n \\

\end{pmatrix}
} , n \in Z \}
$$

1) Montrer que `H ne emptyset`

2) Montrer que `H` est stable dans `M_3(R),`x )
3) Déterminer l'élément neutre de (H, x)

4) la loi x est -elle commutative dans `H`

5) on pose $$ A= {
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 \\
2 & 0 & 2 \\

\end{pmatrix}
}
$$
Calculer `A^(2017)`


Solution
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