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Notions de logique Cours Cours en vidéos

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Etudier la valeur de vérité des propositions suivantes

1) ` forall x in R : x >= 1 `

2) ` forall x in R^+ : x+sqrt(x) >= 2 `

3) `( forall x in R ) (forall y in R) : 2x-4y ne 5 `

4) ` forall x in R^(ast) : x+1/x >= 2 `

5) ` (forall x in R^+)(forall y in R^+) : x+y >= sqrt(x) +sqrt(y) `

6) ` forall x in ]0,1[ : {2x}/{x^2(1-x^2)} < 1 `

7) ` (forall alpha in ]0,1[ ) (forall beta in ]0,1[) : 1/{alpha} +1/{beta} < 1 -alphabeta`

8) la fonction définie sur `R` par `f(x)=x^3+x^2` est une fonction impaire

9) `forall x in R : x^2+x+1 ne 0`

10) ` exists x in R : sqrt(2x-3) <= -x`


Solution

Donner la valeur de vérité de chacune des propositions suivantes :

`P_1 : ( forall x in ]0,+infty[ ) : x+1/x >= 2 `

`P_2 : (exists x in R ) : abs(x) <= 0 `

`P_3 : (forall x in R ) : (x^2+2)/(x^2-1) in R `

`P_4 : forall x in R : -1 < (cosx)/(1+x^2) < 1 `


Solution

Dans chacun des cas suivantes déterminer l'ensemble des réels `S` pour que chaque fonction proportionnelle soit une proposition vraie

1) `A(x) : { x in R : 2x-4 >= 0 } `

2) `B(x) : { x in R : x^2-2x -3 = 0 } `

3) `C(x) : { x in R : x^2+x-6 < 0 } `


Solution

1) Montrer que ` P : ( forall x in R) : 2x-4 > 0 ` est une proposition fausse

2) Montrer que ` P : ( forall x in R) : sqrt(x) in N ` est une proposition fausse

3) soit la fonction `f` définie sur `R` par `f(x)= x^2+x`

a) Montrer que `f` ni paire ni impaire

b) Montrer que `f` n'est pas décroissante sur `R`

4) Montrer que la proposition `( forall x in R )( exists y in R ) x^2-xy +y^2= 0 ` est fausse


Solution

Donner la valeur de vérité de chacune des propositions suivantes :

`P_1 : (3xx0 = 0 ) ` et `(3^0= 1) `

`P_2 : ( -sqrt(2) in Z ) ` ou `( sqrt(2) < 1) `

`P_3 : exists n in N : sqrt(3n^2+1) in N `

`P_4 : forall x in R : x^2 > 1 `

`P_5 : (x in R) ( x^2=1 => x= -1 ) `

`P_6 : (x in R) ( x > 2 => x^2 > 4 ) `

`P_7 : ( x in R) ( x in ]-1,1[ <=> abs(x) < 1 `


Solution

Parmi les énoncés suivants quels sont ceux qui traduisent que `f` est une constante sur `R`

1) ` (forall x in R ) ( exists c in R) : f(x)= c `

2) `(exists c in R) ( forall x in R) : f(x)=c `

3) ` forall x in R : f(x)= f(0) `

4) `( forall x in R)( exists a in R) : f(x)= f(a)`

5) `(forall x in R) (forall y in R) : f(x)= f(y) `


Solution

1) Montrer que ` (forall n in N) ( exists x in N) ; x < n ` est fausse

2) Soit `f` la fonction définie sur `R` par `f(x)=x^2-5x+4`

a) Montrer que `f` n'est paire ni impaire

b) Montrer que `f` n'est pas décroissante sur `R`

3) Montrer que la proposition suivante est fausse `(forall x in R ) (exists y in R) ; {4xy}/{4+y^2} > 1 `


Solution

Déterminer la valeur de vérité des propositions suivantes

`P_1 : ( sqrt(3)+sqrt(7) > 3) ` ou `(pi in R)`

`P_2 : a` est premier `=> a` est impair

`P_3 : x^2 = 2 <=> x =sqrt(2)`

`P_4 : sqrt(3)+sqrt(5) =sqrt(8)` et `sqrt(pi) in Z`

`P_5: (exists n in N) ; sqrt(n+2) in N ` ou ` sqrt(3) in Q`


Solution

Etudier la valeur de vérité des propositions suivantes :

P) `(exists x in R)(exists y in R)` ` (x+1)^2+y^2-2y+1=0`

Q) `(forall x in R)(exists y in R)` ` y^2-3xy+4x^2=0`

`S : (forall x in R ) (exists y in R ) : xy +2x-y = 3 `


Solution

Etudier la valeur de vérité des propositions suivantes :

1) `(-3)^2 = 9 ` et `sqrt(9)= -3 `

2) `pi in Q` ou `sqrt(3)+sqrt(7) > 3`

3) `sqrt(4) = 2 ` et `sqrt(12) ne 3`

4) `(a in Z) ` ` ( a ` premier ` => a` est impair `)`

5) `( a in R ) ` `a < -1 => a < 0`

6) `( a in R ) ( a >= 0 text{ et } a <= 0) => a= 0 `

7) ` (a in R ) ; (a^2 = 1 <=> a= 1 )`

8) ` ( a in R) ,( a^2 > 3 <=> a >sqrt(3) )`

9) `(forall x in R) ( ; x^2 >= 0 ` ET ` x^2-x+1 > 0` )


Solution

soit `a, b ` deux réels positifs Montrer que

1 ` a <= b => ( a <= (a+b)/2 <= b ) `

2 ` a <= b => ( a <= sqrt(ab) <= b ) `


Solution

soit ` x , y ` deux réels positifs

Montrer que `[ sqrt(x)+sqrt(y) = (x+y+2)/2 ] => [ x= 1 text{ et } y = 1 ] `


Solution

Soit `a ` et `x` deux réels tels que ` abs(a) < 1` et ` abs(x) < 1`

Montrer que ` abs(ax^2+x-a) <= abs(a)abs(x^2-1)+abs(x) `


Solution

Montrer que `forall (a, b , c, d) in R^4` ` a^2+b^2+c^2+d^2=ab+bc+cd+ad => a=b=c=d`


Solution

soient `x, y in R` tels que `abs(x) <= 1` , `abs(y) <= 1`

Montrer que `sqrt(1-x^2)+ sqrt(1-y^2) <= 2sqrt(1-({x+y}/2)^2)`


Solution

soient `x` ,`y` `in R^{ast,+}` avec , `x+y=1 `

Montrer que

1) ` 1/{xy} >= 4`

2) `(1+1/x)(1+1/y) >= 9`

3) `(x+1/x)^2+(y+1/y)^2 >= {25}/2`


Solution

soient `x,y ` deux réels strictement positifs tels que `x+y=1 ` et `n ` un entier naturel

Montrer que `(1+1/x^n) (1+1/y^n) >= (1+2^n)^2 `


Solution

Montrer que :

1 `( forall x in R ) ` : ` [ abs(x-1) <= 2 => abs(x^2+x-2) <= 10 ] `

2 `( forall x >= 0 ) ( forall y >= 0 ) ` : `[ sqrt(x) +sqrt(y) = (x+y+2)/2 <=> x = 1 ` et ` y =1 ] `

3 `( forall x > 0) ` : ` sqrt(2x+2) -sqrt(x) =1 <=> x = 1 `


Solution

est ce que pour tout ` x in R : x < 2 => x^2 < 4 `


Solution

soit `a, b` deux réels strictement positifs

1) Montrer que ` a +1/a >= 2 `

2) En déduire que ` (a+b)(1/a+1/b) >= 4 `

3) On suppose que ` a+b = 1 ` montrer que ` (1+1/a)(1+1/b) >= 9 `


Solution

1) Montrer que `sqrt(5) notin Q`

2) Montrer que ` sqrt(2) +sqrt(3) +sqrt(5) notin Q ` en utilisant ` sqrt(5) notin Q `


Solution

1) Montrer que `sqrt(2) notin Q`

2) Montrer que `sqrt(3)+sqrt(2) notin Q ` en utilisant ` sqrt(2) notin Q `


Solution

Montrer que `forall n in N` : `sum_{k=0}^n (2k+1) = (n+1)^2`


Solution

En utilisant le raisonnement par récurrence montrer que

1) ` forall n in N^(ast) : ` 3 divise `3^n+4^n-1 `

2) ` forall n in N^(ast) ` 6 divise `7^n -1 `

3) ` forall n in N^(ast) :` 7 divise `11^n -2^(2n) `

4) `forall n in N^(ast)` : ` 6 ` divise `3^n+4^n-1`

5) ` forall n in N^(ast)` `5` divise `7^n-2^n`

6) `forall n in N^(ast) ` `4^n +6n -1` est divisible par `9`


Solution

Montrer par récurrence que pour tout `n in N^(ast) `

` {3n}/{2n+1} <= 1+1/2^2+1/3^2+ .......+1/n^2 <= 2 -1/n `


Solution

1) Montrer par récurrence que ` foralln in N^(ast) : -1 +2-3 +.....+(-1)^nxxn = {(-1)^n(2n+1) -1 }/4`

2)

a) Montrer que `forall m in N^(ast) : sqrt(1+m) -sqrt(m) <= 1/{sqrt(m+1)}`

b) Montrer par récurrence que `forall n in N^(ast) : 1+1/{sqrt(2)} +......+1/{sqrt(n)} >= sqrt(n) `

c) Montrer que ` forall n in N^(ast) : 1+1/{sqrt(2)} +......+1/{sqrt(n)} >= sqrt(n) ` en utilisant 2a)


Solution

On considère la fonction `f` définie de `N->R` par :

`f(0)=3`

`f(n+1)=sqrt(4+f(n))`

Montrer que `forall n in N;` `2 <= f(n) <= 4`


Solution

soit `a, b ` deux réels strictement positifs montrer par récurrence que

`forall n in N ` : `({a+b}/2)^n <= {a^n+b^n}/2`


Solution

Montrer par récurrence que

1) `1+2+3+.....+n= {n(n+1)}/2`

2) `1+2^2+3^2+.....+n^2= {n(n+1)(2n+1)}/6`

3) `1xx2 + 2xx3 +....+nxx(n+1)= {n(n+1)(n+2)}/3`


Solution

1) Montrer que `sum_{k=1}^n k^3= ({n(n+1)}/2)^2`

2) En déduire la valeur de `1 + 3^3+.........(2n-1)^3`


Solution

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