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1 soit ` n ` un entier naturel non nul comparer `(2n)/(2n+1) ` et `(2n-1)/(2n)`

2 ` a , b ` deux réels strictement positifs :

a) Comparer ` a+b ` et ` 2sqrt(ab) `

b ) en déduire que `a/b +b/a >= 2 ` et `(a+b)(1/a+1/b) >= 4 `


Solution

soit ` x ` et ` y ` deux réels tels que `x = sqrt(3) -1 ` et `y = 1/(1-sqrt(5))`

Déterminer `abs(x)` , `abs(y)` , `abs(x+y )` , `abs(x-y)` , `abs(xy)` , `abs(x/y)`


Solution

soit `a , b ,c ` des réels tels que ` 0 < a< 1 ` et ` 0 < b < 1 ` et ` 0 < c < 1 `

1) Montrer que `(ab-1) (ac- 1)(bc-1) < 0 `

2) Montrer que ` a +b +c +abc < 1/a+1/b+1/c+1/(abc) `


Solution

`a ` et ` b ` deux réels tels que ` a > 1 ` et ` b > 1 `

Montrer que `a^2/{b-1} + b^2/{a-1}>= 8 `


Solution

Soit `a, b ` deux réels tels que ` -2 < a < -1 ` et ` -1 < b < 2 ` on pose `E= 4a^2+4a -b^2+2b-3 `

1) Donner un encadrement du nombre `E`

2) Vérifier que `E = (2a+1)^2 -(b-1)^2 -3 `

3) Donner un autre encadrement de `E `

4) Comparer l ' amplitude de chaque encadrement


Solution

soit `x` un réel tel que ` 1,9 <= x <= 2,1 `

1) Donner un encadrement du nombre ` x-2 `

2) Montrer que `2x-2` est une approximation du nombre `x^2-2x+2` à ` 0,01` près


Solution

On considère les nombres `A` et `B` tels que

` A = 1/2xx3/4 xx5/6 xx ......xx(99)/(100) `

` B = 2/3xx4/5xx6/7xx .....xx(98)/(99) `

1) Montrer que `A < B `

2) En déduire que `A < 1/(10) < B `


Solution

Soit ` x , y ` deux réels strictement positifs

Comparer ` {196y}/{2005x+ 49y}` et `{2005x+49y}/{2005x}`


Solution

Soit ` n in N ` tel que ` n>= 3 ` et ` x > 10^n`

Montrer que ` 0 < 1/{x-1} < 1/{underbrace{99....9}_{ n .fois}} `


Solution

soit ` a, b ` deux réels tels que `0 < a < 1 ` on pose ` b = (sqrt(a)+1)/2`

1) Montrer que `1/2 < b < 1 `

2)Montrer que ` b- a = ((1-sqrt(a))(1+2sqrt(a)))/2 `

3) En déduire que ` a < b `


Solution

Soit `x , a ,b ` des réels strictement positifs

1) Montrer que ` x+1/x >= 2 `

2) En déduire que `a/b +b/a >= 2 `


Solution

Soit `a, b , c` des réels montrer que `ab+ac+bc <= a^2+b^2+c^2 `


Solution

soit `x, y` deux réels strictement positifs

1) Montrer que `1/{x^2+y^2} <= 1/{2xy}`

2) Montrer que `{x+y}/{x^2+y^2} <= 1/2( 1/x+1/y) `

3) soit `a, b , c ` des réels strictement positifs

Montrer que `{a+b}/{a^2+b^2} + {b +c}/{b^2 +c^2} + {c+a}/{c^2+a^2}<= 1/a+1/b+1/c `


Solution

soit `a , b ` deux réels strictement positifs tels que ` a <= b `

Montrer que ` a <= 2/{1/a+1/b} <= sqrt(ab) <= {a+b}/2<={sqrt(a^2+b^2)}/2 <= b `


Solution

On considère l intervalle `I= ]1/3,2/3[`

1) Montrer que pour tout ` x in I : abs(x-1/2) < 1/6 `

2) Montrer que pour tout ` x in I : -7/9 < -x^2+x-1 <= -3/4`


Solution

Soit ` x ` un réel tel que ` abs(x-1) < 1 `

Montrer que `abs(x^2+5x-6) <= 8abs(x-1) `


Solution

soit ` x , y ` deux réels tels que ` abs( x-1) < 1/2 ` et ` abs(y+1) < 1/2 `

Montrer que `1/3 < {2x}/{x-y} < 3 `


Solution

Soit a ` alpha ` tel que ` 12 < alpha < 13 `

Montrer que ` abs( sqrt(alpha) - {sqrt(12)+sqrt(13)}/2) < 0,1 `


Solution

soit `a in R , a ne 0` on pose `A=sqrt(a^2+1)/a`
1)
a) Montrer que `sqrt(a^2+1)/a-1/a=a/{sqrt(a^2+)+1}`

b) Montrer que ` sqrt(a^2+1)+ 1 >=2`

c) En déduire que `abs(A-1/a) <= 1/2abs(a)`

2) Déterminer une valeur approchée du nombre `sqrt(1,0001)/{0,01}` avec la précision `5*10^{-3}`


Solution

soit ` n in N^(ast)` montrer que `1/{3n-1} +1/{3n} +1/{3n+1} > 1/n `


Solution

Soit `a, b , c ` des réels tels que ` 0 < a<= 1 ` , ` 0 < b<= 1 ` , ` 0 < c<= 1 `

1) Montrer que `(ab -1)(bc-1)(ac-1) <= 0 `

2) En déduire que ` a+b+c +1/(abc) >= 1/a+1/b +1/c +abc `


Solution

Soit ` x , y, z , t ` des entiers naturels tels que `1 < x < y < z < t `

Montrer que `1/(xyzt) +1/x+1/y +1/z+1/t <= {31}/{24}`


Solution

Soit ` x , y` deux réels strictement positifs Montrer que

` {x+y}/{1+x+y} <= x/{1+x} + y/{1+y}`


Solution

Soit ` x , y , z` des réels strictement positifs Montrer que

1) ` 4 sqrt(xy) <= (1+x)(1+y) `

2) `{x+y}/2 <= sqrt({ x^2+y^2}/2)`

3) ` 6 <= x+y+z + 1/x +1/y +1/z`

4) ` 9 <= (x+y+z)(1/x+1/y +1/z) `

5) ` {sqrt(2)(x+y)}/{1+x^2+y^2} <= 1 `


Solution

soit `a, b , c` des réels strictement positifs tels que `a+b+c = 1 `

Montrer que `1/a +1/b +1/c >= 9 `


Solution

soit `a, b` deux réels strictement positifs

1) Montrer que ` a +1/a >= 2 `

2) En déduire que ` (a+b)(1/a+1/b) >= 4 `

3) On suppose que ` a+b = 1 ` montrer que ` (1+1/a)(1+1/b) >= 9 `


Solution

Soit `a` un réel strictement positif . et ` x in [ 1,1+a [ `

1) a) Vérifier que `x+sqrt(x) -2 = (sqrt(x)-1)(sqrt(x)+2) `

b) Montrer que `abs(1/(sqrt(x)) - (1 -1/2(x-1)) ) <= 3/8a^2 `

c) En déduire une valeur approchée du nombre `1/{sqrt(1,0004)}` avec la précision de `6xx10^(-8)`

2) a) Vérifier que `-3xsqrt(x) -6x +sqrt(x)+8 = (-sqrt(x) -1)(3x+9sqrt(x)+8)`

b) Montrer que `abs( 1/(sqrt(x)) -(1 -1/2(x-1) +3/8(x-1)^2)) <= 5/(16) a^3 `

c) En déduire une valeur approchée `1/{sqrt(1,0004)}` avec la précision de `2xx10^(-11)`


Solution

Olympiade 2022 :

Soit ` x` et `y ` deux réels strictement positifs tels que ` x+y = 1 `

Montrer que `x^2/(x+1) + y^2/(y+1) >= 1/3 `


Solution

soit ` x in [-1,5] ` On pose `A(x) = x^2 -4x -5`

1) Donner un encadrement de `A(x)`

2) a vérifier que `A(x)=(x-5)(x+1)`

b) en déduire un autre encadrement de `A`

3) comparer les amplitudes des encadrements précédents


Solution

soit `a` un nombre réel strictement positif

1) Montrer que `1+a+sqrt(1+2a) > 2 `

2)
a) Etablir que ` sqrt(1+2a) -(1+a) = {-a^2}/{ sqrt(1+2a) + 1+a }`

b) Déduire que `{-a^2}/2 < sqrt(1+2a) -(1+a) < 0 `

c) Déduire un encadrement du nombre `sqrt(1,4)` d'amplitude `0,02`


Solution

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