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Soit `a` et `b ` tels que `a > b > -1/2 `

1) Déterminer le signe de `a+b +1 ` et `(2a+1)(2b+1) `

2) Comparer les deux nombres `(2a+1)/(2b+1) ` , `(2b+1)/(2a+1) `


Solution

`a, b` deux réels tels que ` a-sqrt(3)= b -2 `

Comparer `a` et ` b `


Solution

` a` est un réel négatif et `b ` un réel tel que ` b < -4 `

Compléter par ` < ` ou ` > `

1) `-b +a ... 4 +a `

2) ` b-a ... -4 -a `

3) ` -b .... 4 `

4) ` b^2 .... 16 `

5) ` ab .. -4 a`

6) ` 1/b .. -1/4 `


Solution

Soit `m in R `tel que ` m <= 3 `

Compléter le vide par ` <= ` ou ` >= `

1) `4m ... 12 `

2) ` -2m ...-6 `

3) ` m -6 ....-3 `

4) `3m -2 ....9 `

5 ` m/(-2) .... 3/(-2) `

6) ` -5m +17 ... -2 `


Solution

Soit `a` et `b` deux réels tels que

` -3 <= a <= -2 ` et ` -4 <= b <= 5 `

Donner l'encadrement de chacun des nombres suivants

1) `a+b`

2) ` b-a `

3) ` 2a -3b `

4) ` -a(b+6) `

5) `a/(b-6) `

6) `(a+1)^2 `


Solution

`a , b ,c ` des réels tels que ` 3 <= a <= 4 ` , ` 1/3 <= 1/(b+2) <= 3/4 ` ; ` 5c -3 = a-3b `

Donner l'encadrement des réels `b ` ; ` a-3b ` ; ` c` ; `a/c `


Solution

soit `a, b ` deux réels tels que ` 0 < a < 1/3 ` et ` 0 < b < 1/3 `

Montrer que `1/(a+b) > 3/2 ` et ` 1/(ab) > 9 `


Solution

soit `x ` et `y ` deux réels positifs tels que ` 0 <= x <= sqrt(3) ` et ` 0 <= y^2+4y -x^2 <= 2 `

Montrer que ` 0 <= y <= 1 `


Solution

` a ` et `b ` sont deux réels tels que : ` 3 <= a-b <= 4 ` et ` -2 <= a+b <= -1 `

1) Montrer que ` -3 <= b <= -2 ` et ` 1/2 <= a <= 3/2 `

2) En déduire un encadrement de `(b-a)/(ab) `


Solution

soit `a , b ` deux réels tels que ` 3 <= a <= 4 ` et `-4 <= b <= -2 `

Comparer ` a-3b -5 ` et ` 4a -2b -1 `


Solution

Montrer que pour tout `a > 0` : ` 1/a +a >= 2`


Solution

Montrer que `{ab}/(a^2+b^2} <= 1/2 `


Solution

Comparer les nombres `a` et ` b ` dans chacun des cas suivants :

1) `a = 4sqrt(2)` et ` b = 3sqrt(3) `

2) ` a = -2sqrt(6)` et ` b = -sqrt(5) `

3) ` a = 7+ 4sqrt(5) ` et ` b = 7+3sqrt(6) `

4) `a=6+5sqrt(3)` et `b = 4+6sqrt(2) `

5) `a = (sqrt(7) -3)/(2sqrt(2)+sqrt(5))` et `b = 1/(2sqrt(2) -sqrt(5)) `


Solution

Simplifier l'écriture de chacun des nombres suivants :

1) ` A = sqrt((sqrt(3) -2)^2) `

2) `B = sqrt((2sqrt(5) -3)^2) `

3) ` C = sqrt(5 -2sqrt(6)) - sqrt(19 -4sqrt(15)) + sqrt((sqrt(5) -sqrt(2))^2) `


Solution

`a` et `b` sont deux réels tels que `2 <= b <= 3 ` et ` -1 <= a <= 4 `

1) Donner un encadrement de `a+2` et `a -3b `

2) En déduire l'écriture simplifiée de `A` et `B` : `A= sqrt(a^2 -6ab +9b^2) ` et `B = sqrt((a-2)^2 +8a) `

3) Montrer que ` 1/(10) <= B/A <= 3`


Solution

`a ` et ` b ` deux réels tels que ` a > 1 ` et ` b > 1 `

Montrer que `a^2/{b-1} + b^2/{a-1}>= 8 `


Solution

soit `a, b , c` des réels strictement positifs tels que `a+b+c = 1 `

Montrer que `1/a +1/b +1/c >= 9 `


Solution

`a` et `b` deux réels tels que ` 3 <= a-2 <= 4 ` et ` 2 <= b <= 3 `

1) Donner un encadrement de chacun des nombres suivants `a+1` et ` b-3 `

2) On pose `E= ab -3a +b `

a) Vérifier que `E= (a+1)(b-3) +3 `

b) Montrer que ` -4 <= E <= 3 `


Solution

`a` et `b` sont deux réels tels que ` -2 <= a <= -1 ` et `3 <= b <= 4 `

1) Donner un encadrement de `2a -3b +1 `

2) En déduire une comparaison des nombres `a+4b -2 ` et `3a+b -1 `


Solution


On considère :

le cercle `C_1 ` de centre `O` et de rayon `r = 2 `

le cercle ` C_2 ` de centre ` O ` et de rayon ` R = 4, 5 `

et on donne ` 3, 14 < pi < 3, 15 `

1) Donner un encadrement des périmètres `p_1` et `p_2 ` de chacun des cercles `C_1 ` et `C_2 `

2) Encadrer l'aire du domaine coloré


Solution

On considère les nombres `A` et `B` tels que

` A = 1/2xx3/4 xx5/6 xx ......xx(99)/(100) `

` B = 2/3xx4/5xx6/7xx .....xx(98)/(99) `

1) Montrer que `A < B `

2) En déduire que `A < 1/(10) < B `


Solution

1) Comparer `5sqrt(3)` et `7sqrt(2) `

2) En déduire une comparaison pour les nombres `1/(5sqrt(3) +10 ) ` et `1/(7sqrt(2)+10) `

3) Soit `x` et ` y ` tels que `1<= x <= 3 ` et `-5 <= 2y +3 <= -1 `

a) Montrer que ` -4 <= y <= -2 `

b) Encadrer les nombres `x+y ` , `x-y ` ` xy `


Solution

1 soit ` n ` un entier naturel non nul comparer `(2n)/(2n+1) ` et `(2n-1)/(2n)`

2 ` a , b ` deux réels strictement positifs :

a) Comparer ` a+b ` et ` 2sqrt(ab) `

b ) en déduire que `a/b +b/a >= 2 ` et `(a+b)(1/a+1/b) >= 4 `


Solution

soit `a , b ,c ` des réels tels que ` 0 < a< 1 ` et ` 0 < b < 1 ` et ` 0 < c < 1 `

1) Montrer que `(ab-1) (ac- 1)(bc-1) < 0 `

2) Montrer que ` a +b +c +abc < 1/a+1/b+1/c+1/(abc) `


Solution

soit ` a, b ` deux réels tels que `0 < a < 1 ` on pose ` b = (sqrt(a)+1)/2`

1) Montrer que `1/2 < b < 1 `

2)Montrer que ` b- a = ((1-sqrt(a))(1+2sqrt(a)))/2 `

3) En déduire que ` a < b `


Solution

Soit `x` un réel tel que `1 <= x <= 2 ` . on pose `E=x^2+4x+1 `

1) Montrer que `1 <=x^2 <= 4`

2) Déterminer un encadrement de `E`

3) Vérifier que `E= (x+2)^2-3`

4) Donner autre encadrement de `E`


Solution

Soit `x , a ,b ` des réels strictement positifs

1) Montrer que ` x+1/x >= 2 `

2) En déduire que `a/b +b/a >= 2 `


Solution

Soit `a, b , c` des réels montrer que `ab+ac+bc <= a^2+b^2+c^2 `


Solution

soit `x, y` deux réels strictement positifs

1) Montrer que `1/{x^2+y^2} <= 1/{2xy}`

2) Montrer que `{x+y}/{x^2+y^2} <= 1/2( 1/x+1/y) `

3) soit `a, b , c ` des réels strictement positifs

Montrer que `{a+b}/{a^2+b^2} + {b +c}/{b^2 +c^2} + {c+a}/{c^2+a^2}<= 1/a+1/b+1/c `


Solution

`x` et `y ` sont deux réels tels que `2< x <6 ` et `-4 < y < -1 `

1) Donner un encadrement des nombres `x+y ` et `xy `

2) En déduire une comparaison entre `x+y` et ` y `

3) a) Comparer les nombres `6sqrt(2)` et ` sqrt(73)`

b) En déduire une comparaison des nombre `-sqrt(3) -6sqrt(2) ` et `-sqrt(3) -sqrt(73) `


Solution

soit `x` `y` et `z` des réels tels que `2<= x <= 3` , `-2 <= y <= -1 ` , `1 <= (2z+1)/3 <= 3`

1) Montrer que `1<= z <= 4`

2) Encadrer les nombres `x+y ` ; `x-y ` , ` -5x+2 ` , ` x/y `

3) Comparer `2sqrt(11)` et ` sqrt(45) `

4) En déduire une comparaison de ` 2 -sqrt(45) ` et `2-2sqrt(11) `


Solution

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