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Produit scalaire dans l espace Cours Cours en vidéos

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Soit ` A, B , C ` trois points de l' espace tels que ` AB = 5 ` , `AC =7 ` et ` vec(AB).vec(AC)= 3 `


1) Calculer le produit scalaire ` vec(AB).vec(BC) `

2) Calculer la distance `BC`


Solution

Soit `A, B , C ` trois points de l'espace tels que ` AB =sqrt(3) , AC =2sqrt(5)` et `BC = 4sqrt(2) `

1) Calculer le produit scalaire `vec(AB) .vec(AC)`

2) Soit `I` le milieu du segment `[BC]` calculer ` AI `


Solution

Etudier l'orthogonalité des vecteurs `vec(u)` , ` vec(v)` dans les cas suivants ` m in R `

1) ` vec(u) (-2/5 , 6/(13) , 4/7)` et ` vec(v)(7/(11) , -2/3 , -5/9) `

2) ` vec(u) (-2/3 , 0 , 2)` et ` vec(v)(-3 , 7 , 5/2) `

3) ` vec(u) = vec(i) + 3vec(j) + vec(k) ` et ` vec(v)= vec(i) -2vec(j) + 3vec(k) `

4) ` vec(u)= 3vec(i) +7vec(j) +3/7vec(k) ` et ` vec(v)= -mvec(i) + 3vec(j) + 7/2vec(k) `


Solution

Calculer la distance de `Omega` au plan `(P)` dans chacun des cas suivants :

1) `Omega(1, -2, 1)` et `(P) : 2x-y +2z+1 = 0 `

2) `Omega(0, -4 , -1)` et `(P) : 3x-2y +4z -9 = 0 `

3) `Omega(-3,2,1)` et `(P) : 2x+y -z +1 = 0 `

4) `Omega(5, -2, 4)` et `(P) : 3x -4z +1 = 0 `

5) `Omega(-2, 2, -3)` et `(P) : 2x+3= 0 `

5) `Omega(0,0,0)` et `(P) : x-y +z-2 = 0 `


Solution

Trouver une équation cartésienne de la sphère `(S)` dans chacun des cas suivants

1) le centre de `(S)` est `O` et son rayon est ` R =2sqrt(7) `

2) le centre de `(S)` est `Omega(5,-3,7)` et son rayon est `R = 2 `

3) la sphère `(S)` passe par le point `A(2, -1, -3)` et de centre `Omega(3,2,1) `

4) Un diamètre de la sphère `(S)` est le segment `[AB]` avec `A(-2, 3,5)` et `B(-3, 1, 0) `


Solution

On considère dans l'espace les points `A(3, 1, 4)` , `B(2, 3,5)` , `C(1, 3,2) `

1) les droites `(AB)` et `(AC)` sont elles orthogonales ?

2) Soit `(P)` l'ensemble des points `M` de l'espace tels que `vec(AM).vec(AB)= 0 `

Déterminer une équation cartésienne et la nature de l'ensemble `(P) `


Solution

Déterminer l'ensemble des points `M(x, y,z) ` de l'espace dans chacun des cas suivants :

1) ` x^2+y^2+z^2 -6x +4y +2z= 0 `

2) ` x^2+y^2+z^2 - x -4y -3z +(13)/2 = 0 `

3) ` x^2 +y^2+z^2 -2x+y -6z + (21)/2 = 0 `

4) ` x^2+y^2+z^2 -2x +4y +6z + 18 = 0 `

5) ` x^2+y^2+z^2 +x -3y +2z+9= 0 `

6) ` x^2+y^2+z^2+2 +3y -5 = 0 `

7) ` x^2+y^2+z^2 -2x +6y +10= 0 `


Solution

Dans l'espace , On considère la sphère `(S)` d'équation cartésienne `(x-1)^2 + (y+1)^2+z^2 = 1 ` et le plan `(P) : x-2y+2z-1= 0 `

1) Déterminer le centre et le rayon de la sphère `(S)`

2) Montrer que le plan `(P)` coupe la sphère `(S)` suivant un cercle `C` dont on déterminera le rayon et le centre


Solution

On considère la sphère `(S) : x^2+y^2+z^2 = 49 ` et le plan `(P) : 2x-6y +3z -49 = 0 `

1) Montrer que la plan `(P)` est tangente à la sphère `(S)`

2) Déterminer `H` point d'intersection de `(P)` et `(S) `


Solution

Déterminer une équation cartésienne de la sphère `(S)` de centre `Omega(-1, 2, 1) ` tangente au plan `(P) : 2x-2y +z+1= 0 `


Solution

1) Déterminer une équation cartésienne du plan `P` passant par le point `A(-1, 2, 3) ` et perpendiculaire sur la droite `(Delta)` de représentation paramétrique $$ (\Delta) \begin{cases} x= 1-2t \\ \\ y = t \\ \\ z = -1+ t \\ \\ \end{cases} t \in R $$

2) Déterminer les coordonnées du point `I` intersection de `(Delta)` et `(P) `


Solution

On considère les deux plans `(P_1) : 2x-4y +z+1 = 0 ` et `(P_2) : x+y +2z-3 = 0 `

1) Montrer que `(P_1) ` et `(P_2)` sont orthogonaux

2) Déterminer une équation cartésienne du plan `(Q)` passant par le point `A(1, -1,2)` et parallèle au plan `(P_1) `


Solution

On considère la sphère `(S) ` d'équation cartésienne

` (S) : x^2+ y^2 +z^2 -sqrt(3)x -z -3 = 0 `

1) Déterminer le centre `Omega` et le rayon `R` de `(S) `

2) On considère le point `A( (3sqrt(3))/2 , 1, 1/2) `

a) Vérifier que `A in (S) `

b) Déterminer une équation cartésienne du plan `(P)` tangente à la sphère `(S)` en ` A`

c) Déterminer une représentation paramétrique de la droite `(D)` tangente à la sphère `(S) ` au point `A` et qui coupe la droite `(Delta)` passant par `O` et dirigée par le vecteur `vec(u)(2sqrt(3) , -1/2, 1) `


Solution

Session normale 2006


Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j) , vec(k)) ` On considère le point `A(1, -1, 3) ` et le plan `(P) ` d'équation `x-y+3z= 0 `

1a) Vérifier que est une représentation paramétrique de la droite `(OA)`

b) Déterminer une équation cartésienne du plan `(Q)` perpendiculaire à la droite `(OA)` en ` A `

c) Vérifier que `(P) text{ // } (Q) `

2) On considère la sphère `(S)` tangente au plan `(Q)` en ` A ` telle que la plan `(P)` la coupe en un cercle `(C)` de centre `O` et de rayon `r =sqrt(33) `

a) Montrer que le point `Omega(a, b,c) ` centre de la sphère `(S)` appartient à la droite `(OA)` et en déduire que `b =-a` et `c=3a`

b) Montrer que `OmegaA^2 -OmegaO^2 = 33 ` et en déduire que `a-b+3c= -11`

d) En déduire les coordonnées du point `Omega` puis montrer que le rayon de `(S)` est `R = 2sqrt(11) `


Solution

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct `(O, vec(i), vec(j) , vec(k))`

On considère la sphère `(S)` d'équation cartésienne `x^2+y^2+z^2+4x-2y-2z -19 =0`

1) Montrer que la sphère `(S)` a pour centre `Omega(-2,1,1)` et rayon `R= 5`

2) Soit `(Delta)` la droite de représentation paramétrique

a) Calculer `d(Omega, (Delta))` puis en déduire que la droite est tangente à la sphère `(S)`

b) Déterminer les coordonnées du point `I` du contact de `(S)` et `(Delta)`


Solution

On considère la sphère d'équation cartésienne `S : x^2+y^2+z^2-4x-2y+6z +5=0 ` et le plan d'équation cartésienne

`P: 2x-y+3z-2= 0 `

1) Déterminer les coordonnées du centre de la sphère `Omega` , et son rayon `R`

2) a) Calculer la distance `d( Omega, P) ` ,puis en déduire que le plan `P` coupe la sphère selon un cercle `C( H, r) ` de centre `H` et de rayon `r`

b) Déterminer le rayon du cercle`C `

c) Déterminer les coordonnées de `H`


Solution

Déterminer les points d'intersection de la droite `D` et la sphère `S` dans les cas suivants :

1)
on a `S : (x-1)^2+ (y-2)^2+ (z+1)^2= 6 `

et `D ` a pour représentation paramétrique

` x= 2+3t `
`y= 4 +t `
`z= -2+5t `

2) ` S : x^2+y^2+z^2 -2x +2y -1 = 0 `
et `D ` a pour représentation paramétrique

` x= -1+t `
`y= 1+2t `
`z= 2 `

3) ` S : x^2+y^2+z^2 +4x+2y-1 = 0 `
et `D ` a pour représentation paramétrique

` x= 1+t `
`y= 3+t `
`z= -3 -2t `


Solution

On considère les points ` A(-1, 1, 1) ` , `B(7, -5, 5)` et le plan `(Q)` d'équation cartésienne ` 2x-3y +4z+5= 0 ` et `(S)` la sphère de diamètre `[AB]`

1a) Donner une équation cartésienne de `(S)`

b) En déduire le centre `Omega` et la rayon `R` de `(S) `

2) Déterminer une équation cartésienne du plan `(P)` tangente à la sphère au point `A`

3a) Montrer que les plan `(P)` et `(Q)` sont sécants

b) Déterminer une représentation paramétrique de la droite `(Delta)` intersection de `(P)` et `(Q) `


Solution

On considère la sphère `(S)` d'équation cartésienne ` x^2+y^2 +z^2 -2x +6y +10z +26 = 0 `

Soit `(P)` le plan d'équation ` x+2y -2z -5 = 0 `

1) Déterminer le centre et le rayon de `(S) `

2) Montrer que le plan `(P)` coupe la sphère `(S)` selon un cercle `(C)` dont on déterminera le centre et le rayon

3) Déterminer une équation cartésienne de chacun des deux plans tangents à `(S)` et parallèles à `(P)`

4) Soit `(Delta)` la droite de représentation paramétrique

Etudier l intersection de la droite `(Delta)` et la sphère `(S) `


Solution

On considère dans l'espace les points suivants : `A(2, 2, -2) , B(-3, 2,3) , C(0,3,0) , D(0, 0, -3) `

Soit `(S)` l'ensemble des points de l'espace tels que ` (S) : AM^2 +BM^2 = (55)/2 `

1a) Déterminer une équation cartésienne de `(S) `

b) En déduire que `(S)` est une sphère dont on déterminera le centre et le rayon

2a) Montrer que ` x-2y +2z+6 = 0 ` est une équation cartésienne du plan `(ACD) `

b) Montrer que le plan `(ACD)` coupe la sphère `(S)` selon un cercle dont on déterminera le centre et le rayon

3) Soit `(Delta)` la droite passant par `A` et dirigée par le vecteur `vec(u)(-2, 0, 1) `

a) Montrer que `(Delta) subset (ACD) `

b) Montrer que `(Delta)` est tangente à `(S) `


Solution

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