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Notions de logique Cours Cours en vidéos

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Etudier la valeur de vérité des propositions suivantes

1) ` forall x in R : x >= 1 `

2) ` forall x in R^+ : x+sqrt(x) >= 2 `

3) `( forall x in R ) (forall y in R) : 2x-4y ne 5 `

4) ` forall x in R^(ast) : x+1/x >= 2 `

5) ` (forall x in R^+)(forall y in R^+) : x+y >= sqrt(x) +sqrt(y) `

6) ` forall x in ]0,1[ : {2x}/{x^2(1-x^2)} < 1 `

7) ` (forall alpha in ]0,1[ ) (forall beta in ]0,1[) : 1/{alpha} +1/{beta} < 1 -alphabeta`

8) la fonction définie sur `R` par `f(x)=x^3+x^2` est une fonction impaire

9) `forall x in R : x^2+x+1 ne 0`

10) ` exists x in R : sqrt(2x-3) <= -x`


Solution

Déterminer la valeur de vérité des propositions suivantes :

1 `P_1 : (pi)/2 in Q `

2 ` P_2 : (sqrt((3+sqrt(5))/2)- sqrt((3-sqrt(5))/2))^2 =1 `

3 ` P_3 : cos((pi)/7) > 1 `

4 ` P_4: ` les solutions de l'équation `2019x^2 -2018x -1 = 0 ` sont ` 1 , -1/(2019)`


Solution

Donner la valeur de vérité des propositions suivantes :

1) ` forall x in R : 2x^2 -3x+1 > 0 `

2) ` (forall x notin Q) ( forall y notin Q) : x+y notin Q `

3) ` forall x in ]0,1[ : 1/(x^2(1-x^2)) < 1 `

4) `( forall x in R) ( exists y in R ) : y^2- xysqrt(5) + x^2 = 0 `

5) `( forall x in R ) ( exists y in N ) : E(x^2-x)= y+2 `


Solution

Donner la valeur de vérité de chacune des propositions suivantes :

`P_1 : (3xx0 = 0 ) ` et `(3^0= 1) `

`P_2 : ( -sqrt(2) in Z ) ` ou `( sqrt(2) < 1) `

`P_3 : exists n in N : sqrt(3n^2+1) in N `

`P_4 : forall x in R : x^2 > 1 `

`P_5 : (x in R) ( x^2=1 => x= -1 ) `

`P_6 : (x in R) ( x > 2 => x^2 > 4 ) `

`P_7 : ( x in R) ( x in ]-1,1[ <=> abs(x) < 1 `


Solution

Parmi les énoncés suivants quels sont ceux qui traduisent que `f` est une constante sur `R`

1) ` (forall x in R ) ( exists c in R) : f(x)= c `

2) `(exists c in R) ( forall x in R) : f(x)=c `

3) ` forall x in R : f(x)= f(0) `

4) `( forall x in R)( exists a in R) : f(x)= f(a)`

5) `(forall x in R) (forall y in R) : f(x)= f(y) `


Solution

1) Montrer que ` (forall n in N) ( exists x in N) ; x < n ` est fausse

2) Soit `f` la fonction définie sur `R` par `f(x)=x^2-5x+4`

a) Montrer que `f` n'est paire ni impaire

b) Montrer que `f` n'est pas décroissante sur `R`

3) Montrer que la proposition suivante est fausse `(forall x in R ) (exists y in R) ; {4xy}/{4+y^2} > 1 `


Solution

Déterminer la valeur de vérité des propositions suivantes

`P_1 : ( sqrt(3)+sqrt(7) > 3) ` ou `(pi in R)`

`P_2 : a` est premier `=> a` est impair

`P_3 : x^2 = 2 <=> x =sqrt(2)`

`P_4 : sqrt(3)+sqrt(5) =sqrt(8)` et `sqrt(pi) in Z`

`P_5: (exists n in N) ; sqrt(n+2) in N ` ou ` sqrt(3) in Q`


Solution

Etudier la valeur de vérité des propositions suivantes :

P) `(exists x in R)(exists y in R)` ` (x+1)^2+y^2-2y+1=0`

Q) `(forall x in R)(exists y in R)` ` y^2-3xy+4x^2=0`

`S : (forall x in R ) (exists y in R ) : xy +2x-y = 3 `


Solution

Déterminer la valeur de vérité de chacune des propositions suivantes :

1) `forall x in ]0,+infty[ : x+1/x >= 2`

2) `exists x in R ` ; `abs(x)<= 0`

3) `forall x in R ` ; `{x^2+2}/{x^2-1} in R`

4) `forall x in R ` ; ` -1 < {cosx}/{1+x^2} < 1`


Solution

Etudier la valeur de vérité des propositions suivantes :

1) `(-3)^2 = 9 ` et `sqrt(9)= -3 `

2) `pi in Q` ou `sqrt(3)+sqrt(7) > 3`

3) `sqrt(4) = 2 ` et `sqrt(12) ne 3`

4) `(a in Z) ` ` ( a ` premier ` => a` est impair `)`

5) `( a in R ) ` `a < -1 => a < 0`

6) `( a in R ) ( a >= 0 text{ et } a <= 0) => a= 0 `

7) ` (a in R ) ; (a^2 = 1 <=> a= 1 )`

8) ` ( a in R) ,( a^2 > 3 <=> a >sqrt(3) )`

9) `(forall x in R) ( ; x^2 >= 0 ` ET ` x^2-x+1 > 0` )


Solution

Montrer que :

` ( forall x > 0 ) : [ x^5-x^3+x >= 3 => x^6 >= 5 ]`


Solution

Montrer que :

`(forall (x , y) in R xx R ) ( forall alpha > 0)` `[ (abs(x) < alpha) text{ et } (abs(y) < alpha)) <=> abs({x+y}/2}+ abs({x-y}/2} < alpha ] `


Solution

Montrer que `forall (a, b , c, d) in R^4` ` a^2+b^2+c^2+d^2=ab+bc+cd+ad => a=b=c=d`


Solution

soit `a,b,c` des réels tels que `forall x in [-1,1] , abs(ax^2+bx+c)<=1`

1) Montrer que `abs(c)<= 1 ` , `abs(a+b+c)<= 1 ` , `abs(a-b+c)<= 1 `

2) Montrer que `abs(a)<= 2` et `abs(a+c) <= 1 `

3) En déduire que `a^2+b^2+c^2 <= 5`


Solution

soient `x, y in R` tels que `abs(x) <= 1` , `abs(y) <= 1`

Montrer que `sqrt(1-x^2)+ sqrt(1-y^2) <= 2sqrt(1-({x+y}/2)^2)`


Solution

soient `x` ,`y` `in R^{ast,+}` avec , `x+y=1 `

Montrer que

1) ` 1/{xy} >= 4`

2) `(1+1/x)(1+1/y) >= 9`

3) `(x+1/x)^2+(y+1/y)^2 >= {25}/2`


Solution

soient `x,y ` deux réels strictement positifs tels que `x+y=1 ` et `n ` un entier naturel

Montrer que `(1+1/x^n) (1+1/y^n) >= (1+2^n)^2 `


Solution

Montrer que :

1 `( forall x in R ) ` : ` [ abs(x-1) <= 2 => abs(x^2+x-2) <= 10 ] `

2 `( forall x >= 0 ) ( forall y >= 0 ) ` : `[ sqrt(x) +sqrt(y) = (x+y+2)/2 <=> x = 1 ` et ` y =1 ] `

3 `( forall x > 0) ` : ` sqrt(2x+2) -sqrt(x) =1 <=> x = 1 `


Solution

Soit ` x , y, z , t ` des entiers naturels tels que `1 < x < y < z < t `

Montrer que `1/(xyzt) +1/x+1/y +1/z+1/t <= {31}/{24}`


Solution

1) Montrer que `sqrt(5) notin Q`

2) Montrer que ` sqrt(2) +sqrt(3) +sqrt(5) notin Q ` en utilisant ` sqrt(5) notin Q `


Solution

1) Montrer que `sqrt(2) notin Q`

2) Montrer que `sqrt(3)+sqrt(2) notin Q ` en utilisant ` sqrt(2) notin Q `


Solution

Montrer qu'elle n'existe aucune fonction `f` définie de `N^(ast)` dans `N^(ast) ` telle que :

` forall (n,m) in N^(ast)xxN^(ast) : (f(n))^(f(m)) = m^n`


Solution

soit `a, b , c` des rationnels tels que `ab+ac+bc=1`

Montrer que `sqrt((1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)) in Q`


Solution

Montrer que `forall n in N` : `sum_{k=0}^n (2k+1) = (n+1)^2`


Solution

En utilisant le raisonnement par récurrence montrer que

1) ` forall n in N^(ast) : ` 3 divise `3^n+4^n-1 `

2) ` forall n in N^(ast) ` 6 divise `7^n -1 `

3) ` forall n in N^(ast) :` 7 divise `11^n -2^(2n) `

4) `forall n in N^(ast)` : ` 6 ` divise `3^n+4^n-1`

5) ` forall n in N^(ast)` `5` divise `7^n-2^n`

6) `forall n in N^(ast) ` `4^n +6n -1` est divisible par `9`


Solution

Montrer par récurrence que pour tout `n in N^(ast) `

` {3n}/{2n+1} <= 1+1/2^2+1/3^2+ .......+1/n^2 <= 2 -1/n `


Solution

1) Montrer par récurrence que ` foralln in N^(ast) : -1 +2-3 +.....+(-1)^nxxn = {(-1)^n(2n+1) -1 }/4`

2)

a) Montrer que `forall m in N^(ast) : sqrt(1+m) -sqrt(m) <= 1/{sqrt(m+1)}`

b) Montrer par récurrence que `forall n in N^(ast) : 1+1/{sqrt(2)} +......+1/{sqrt(n)} >= sqrt(n) `

c) Montrer que ` forall n in N^(ast) : 1+1/{sqrt(2)} +......+1/{sqrt(n)} >= sqrt(n) ` en utilisant 2a)


Solution

On considère la fonction `f` définie de `N->R` par :

`f(0)=3`

`f(n+1)=sqrt(4+f(n))`

Montrer que `forall n in N;` `2 <= f(n) <= 4`


Solution

soit `a_1,a_2.....,a_n` des nombres réels strictement positifs

Montrer que `(a_1+a_2+...+a_n)(1/{a_1}+1/{a_2}+....1/{a_n}) >= n^2`


Solution

pour tout ` n in N ` on pose `A_n=3xx5^{2n+1}+2^{3n+1}`

a) Montrer que `A_{n+1}= 51xx5^{2n+1}+8A_n`

b) Montrer par la récurrence que `17 text{ divise } A_n`


Solution

soit `f` une application de `N->N`

Montrer par récurrence que si `f` est strictement croissante alors `forall n in N : f(n)>= n`


Solution

soit `a, b ` deux réels strictement positifs montrer par récurrence que

`forall n in N ` : `({a+b}/2)^n <= {a^n+b^n}/2`


Solution

Montrer par récurrence que

1) `1+2+3+.....+n= {n(n+1)}/2`

2) `1+2^2+3^2+.....+n^2= {n(n+1)(2n+1)}/6`

3) `1xx2 + 2xx3 +....+nxx(n+1)= {n(n+1)(n+2)}/3`


Solution

1) Montrer que `sum_{k=1}^n k^3= ({n(n+1)}/2)^2`

2) En déduire la valeur de `1 + 3^3+.........(2n-1)^3`


Solution

Olympiade 2019 : Trouver tous les triplets `(x,y,z)` des réels qui vérifient le système suivant

`(1+x)(1+x^2) = y^3+1`

`(1+y)(1+y^2) = z^3+1`

`(1+z)(1+z^2) = x^3+1`


Solution

Olympiade 2024 :

Soit `a ` et `b` deux réels tels que ` a^(2022) + b^(2022) = a^(2024) + b^(2024 ) `

Montrer que ` a^2 + b^2 <= 2 `


Solution

Olympiade 2023

Soient `a` et `b` deux réels tels que pour tout ` t in [-1,1] ` : ` at +b in [-1,1]`

Montrer que `abs(a^2+ab+2b) <= 2 ` puis trouver `a` et `b` tels que ` abs(a^2+ab+2b)= 2 `


Solution

OLYMPIADE -2021 / EXERCICE 1 :

Déterminer tous les polynomes à coefficients réels qui vérifient :

`(x-16)P(2x) =16 (x-1)P(x)` pour tout ` x in R `


Solution
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