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1) Ecrire en compréhension

a l'ensemble des entiers naturels qui sont des multiples de `7`

b l'ensemble des rationnels dont le carré est supérieur ou égal à `29`

c l'ensemble des diviseurs positifs de `360`

2) Ecrire en extension

a l'ensemble des nombres premiers compris entre `15` et `50`

b l'ensemble des entiers naturels `n` tels que `n^2 <= 40 ` et `sqrt(n+1) in N `

cl'ensemble des réels `x` tels que `abs(2x+3) <= 7 `

d l'ensemble des entiers relatifs tels que `6/x in Z `


Solution

On considère les ensembles ` A = { 1, 2, 3, 4 } ` et `B = { 3, 4 , 5 , 6}`

1) Déterminer en extension les deux ensembles suivants : ` E = (A text{\} B ) cup (B text{\} A ) ` et `F = ( A cup B) text{ \ } ( B cap A) `

2) Comparer `E ` et ` F ` , puis déterminer en extension l'ensemble `G = E cup ( A cap B) `

3) Déterminer en extension l'ensemble `X` vérifiant ` (A text{\} X ) cup (X text{\} A ) = B `


Solution

On considère les ensembles ` E ` et ` F ` tels que

` E = { (x, y) in R^2 text{/} x^2 -xy -2y^2 = 0 } ` et ` F = { (x,y) in R^2 text{/} x+y = 0 }`

1) Montrer que ` F subset E `

2) Déterminer ` y in R ` tel que `(1, y) in E ` et en déduire que ` E cancel{ subset } F `

3) Déterminer l'ensemble `G` tel que ` E = F cup G `


Solution

Soit `E= {(x,y) in R^2 : x^2+y^2 <= 1 } ` et `F = [-1,1]`

Montrer que `E subset F^2 ` et `E ne F^2 `


Solution

Ecrire en extension l'ensemble `E = { (x,y) in N^2 ; x^2+xy +y^2 = 39 } `


Solution

Ecrire en extension l'ensemble `A = { ( x,y) in Z^2 : x^2-y^2 -x -3y -4 = 0 } `


Solution

Soit `E` un ensemble non vide et ` A, B , X ` des éléments de `P(E)` . On considère l'équation ` E : A cup X = B `

1) Donner une condition suffisante pour que l'équation `E ` admet au moins une solution

2) On suppose que ` A subset B ` et que `E` admet des solutions dans `P(E) `

a) Montrer que ` X subset B ` et que `B` est une solution de `E `

b) Montrer que ` B-A subset X ` et que `B-A ` est une solution de `E`

3) Déterminer les solutions de l'équation `E `


Solution

Ecrire en extension l 'ensemble ` A= { (n,m) in N^2 : n+2m = 11 } `


Solution

Olympiade 2023

Combien de nombre rationnels sou forme irréductible , y a t-il dans l intervalle `]0,1[` et tels que la somme du numérateur et dénominateur est égale à ` 200 `


Solution

OLYMPIADE-MAROC 2020-2022

Trouvez tous les couples `( E,F) ` des parties finies de `N^(ast) ` qui vérifient les conditions suivantes

` ast ` ` 3 in E ` et `5 in F ` et chacun des ensembles à exactement trois éléments

` ast ` l'ensemble ` E cap F ` à exactement un seul élément

` ast ` si `a , b` deux éléments distincts de `E` alors ` a+b in F `


Solution
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