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On considère la figure suivante tel que les points `B, C, F ` sont alignés et `(Delta_1) text{//} (BC) ` :



1 Déterminer les projetés de `A, B , C , E , F ` sur `(D_1)` parallèle à `(Delta_1)`

2 Construire le point `M` tel que le point `E` et `EMCF` est un parallélogramme


Solution

On considère la figure suivante tel que les points `A, B, C ` sont alignés et `(D_1) bot (EC) ` :



1 Déterminer les projetés orthogonaux des points `A, B , C , E ` sur `(D_1)`


Solution

Soit ` ABC` un triangle

`Q ` est le milieu du segment `[ AC] `

`P ` un point de la droite `(BC)` tel que `vec(BP)= 1/3vec(BC) `

Soit `J` le point d'intersection de la droite `(AC) ` et de la parallèle à la droite `(BQ)` passante par `P`

1 Tracer une figure correspondante

2 Montrer que `vec(QC)= 3vec(QJ) `


Solution

soit `ABC` un triangle et les points `E` et `F` définis par : ` 3vec(EA) + 2 vec(EC) = vec(0) ` et `3vec(FA) + vec(FB)= vec(0) `

Soit `M` le point d'intersection de `(BE) ` et `(CF) `

Montrer que `3vec(MA) + vec(MB) + 2vec(MC)= vec(0) `


sans solution

`ABC` un triangle

`M` est le milieu du segment `[BC] `

`D` un point tel que `vec(MD)=1/4vec(MA)`

`E` est la projection de `D` sur `(BC)` parallèlement à `(AB)`

`F` la projection de `(D)` sur `(BC)` parallèlement à `(AC)`

1) Construire une figure convenable

2) a) Montrer que `vec(ME)=1/4 vec(MB) ` et `vec(MF)=1/4vec(MC)`

b) En déduire que `M` est le milieu du segment `[EF]`

3) la droite `(ED)` coupe la droite `(AC)` en ` K `

a) Montrer que `vec(CE)= 5/8vec(CB)` et `vec(CK)=5/8 vec(CA)`

4) Soit `J ` un point tel que `vec(CJ)=3/8 vec(CA)`

a) Montrer que `vec(CF)= 3/8 vec(CB)` et `(CJ)/(CK)=(CF)/(CE)`

b) en déduire que `(FJ) text{ / / } (EK) `


Solution

soit `ABCD` un parallélogramme de centre `O` soit `E` un point tel que `vec(AE)=1/3vec(AC)` et `E' , O'` sont les projetés respectifs de `E,O` sur `(BC)` parallèlement à `(AB)`

1) Montrer que `O'` est le milieu de `[BC]`

2) Montrer que `vec(BE')=1/3vec(BC)` et `vec(E E')=2/3vec(AB)`

3) Montrer que `vec(O'E')=1/6vec(CB)`

4) Montrer que `vec(BD)=-6vec(OK)` avec `K` le point d'intersection de `(BD)` et (`E E')`


Solution

Soit `ABC` un triangle et `I` un point du plan tel que `vec(AI)=2/3*vec(AB)`

soit `J` le projeté du point `I` sur `(BC)` parallèlement à `(AC)`

soit `K` le projeté du point `I` sur `(AC)` parallèlement à `(CB)`

1) Tracer une figure convenable

2) montrer que :

a) `vec(CJ)=2/3*vec(CB)`

b) `vec(AK)=2/3*vec(AC)`

3) en déduire que le quadrilatère `IJCK` est un parallélogramme


Solution

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