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Limites et continuité

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Suites numériques

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Dérivation et étude des fonctions

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Fonctions logarithmes
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Fonctions exponentielles
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Nombres complexes
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Calcul intégral
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Equations différentielles
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Arithmétiques dans `Z`
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Lois de composition interne

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Espaces vectoriels réels

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Calcul de probabilités

Limites et continuité Cours Cours en vidéos

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Déterminer l'ensemble de définition de la fonction `f` dans chacun des cas suivants :

1) `f(x)= {6x+7} /{x^3 -3x^2+ 2x} `

2) `f(x)= {sqrt(1-2x)}/{x^2-2x-8}`

3) `f(x)= sqrt({2x+3}/{5-x})`

4) `f(x)= { sqrt(2x+3)}/{sqrt(5-x)}`

5) `f(x)= sqrt({x^2-2x-15}/{x^2-x-2})`

6) `f(x)= x/{sqrt(x^2-x+3)}`

7 ) `f(x)= { sinx}/{5-abs(x-2)}`

8) `f(x)= {3x-4}/{sqrt(abs(x) -2)}`

9)
`f(x)= {sin(x-2)}/{x^2-2x} text{ si } x ne 0 text{ et } x ne 2 `

`f(2)= 1/2 `


Solution

Calculer les limites suivantes :

1) `lim_{ x to 0 } xE(1/x)`

2) `lim_{ x to +infty } xE(1/x)`

3) `lim_{ x to 0} E(1/x) `

4) soit `a in R^(ast)` Montrer que `lim_{ x to 0} xE(a/x)=a`


Solution

Calculer les limites suivantes :

1) `lim_{ x to +infty} x E(1/(sqrt(x))) `

2) `lim_{ x to 0^+} x E(1/(sqrt(x))) `

3) `lim_{ x to 0^+ } x^2 (1+2+3+......+E(1/(x)) ) `

4) `lim_{ x to 0} x E(x) `



la question 3) extrait Concours ENSAM


Solution

Calculer les limites suivantes :

1 `lim_{ x to 0} (sqrt(1+x)xxsqrt(1+2x)xxsqrt(1+3x)......xxsqrt(1+nx) -1)/x `

2 `lim_{ x to 1} (x^(2021) + x^(2020) -2) /(x^2-1) `


Solution

Calculer les limites suivantes :

1) `lim_{ x to a} {x^nsqrt(a)-a^nsqrt(x)}/{x-a}` , ` a > 0 ` et ` n in N^(ast) `

2) `lim_{ x to -infty} {x^n-x^6+x^4+1}/{x^4+x^3+2x+4}` , ` n in N`

3) `lim_{ x to 2^+} {ax^2+bx+5}/{x-2}` , `( a,b ) in R^2 `

4) `lim_{x to a} {x^nsina - a^nsinx}/{x-a}` , `a in R -piZ` et ` n in N^(ast) `

5) `lim_{ x to 1} (x+x^2+....x^n -n)/(x-1) , n in N^(ast) `

6) `lim_{ x to 0} (1-cos^n(x))/(1-cos^2(x)) ; n in N^(ast)`

7) `lim_{ x to 0^-} [ 2cos^2(1/x) -sin(1/x) +3+1/x -1/x^2 ] `

8) `lim_{ x to +infty} sqrt(x^2+x+1) + mx ; m in R `



les questions 5) 6) 7) Extrait concours ENSAM

la question 8) Extrait Concours de la Médecine


Solution

Soit `f` la fonction définie par `f(x)= (2x+1)/(x+1) `

1) Montrer que ` forall x in ]0,2[ : abs(f(x) -3/2) <= 1/2abs(x-1)`

2) En utilisant la définition de la limite , montrer que `lim_{ x to 1} f(x)= 3/2 `


Solution

Calculer les limites suivantes :

1) `lim_{ x to 3 } {7-5x}/(x-3)^2`

2) `lim_{ x to -1^- } {x+1}/{sqrt(x^2-1)}`

3) `lim_{ x to 1^-} {x^2-x-3}/{x^2+2x-3}`

4) `lim_{ x to 1^- } { sqrt(x^2-3x +2)}/{x-1}`

5) `lim_{ x to 1^- } { 8x-4}/{sqrt(1-x)}`

6) `lim_{ x to 4^+ } {x}/{ 2-sqrt(x)}`

7) `lim_{ x to 4^+ } { sqrt(x+12) - sqrt(3x-4)}/{ x^2-8x +16}`

8 ) `lim_{ x to 2^+} { sqrt(x) +sqrt(x-2) -sqrt(2)}/{ sqrt(x^2-4)}`

9) `lim_{ x to 2^-} {sqrt(4-x^2) +x-2}/{ x-2}`

10) `lim_{ x to -1} {x^3+1}/{(x+1)^3(x-2)}`

11) `lim_{ x to 0^+} {2-sqrt(x^2+4)}/{ sqrt(x) - sqrt(2x^2)}`

12) `lim_{ x to -3^-} {x^3}/{abs(x^2-9)}`

13) `lim_{ x to (1/2)^+} {3x^2 -x-1}/{4x^2-1}`


Solution

Calculer les limites suivantes

1) `lim_{ x to 0 } { sin(2x) -2sin(x)}/{x^3}`

2) `lim_{ x to +infty} x^2(1-cos(1/x))`

3) `lim_{ x to 0^+} {1-cos(sqrt(x))}/{sinx}`


Solution

Calculer la limite suivante :

`lim_{ x to 1 } {x+x^2+.....+ x^n -n }/{(2-x)^n -1}`


Solution

Calculer les limites suivantes :

1) `lim_{ x to 0} x^2sin(1/x)`

2) `lim_{ x to +infty} {1-4cosx}/{x+3}`

3) `lim_{ x to {pi}/2} (pi -2x)tanx`

4) `lim_{ x to 0 } x sin(1/x) `


Solution

Calculer les limites suivantes :

1 `lim_{ x to +infty} {sqrt(x^2-2x+2)-1}/{x-cosx}`

2 ` lim_{ x to -infty}{2x+ sinx}/{3-sinx} `

3 `lim_{ x to 0} {xcosx-x}/{sin^3x}`

4 `lim_{ x to {pi}/4}{2cosx-sqrt(2)}/{x- {pi}/4}`


Solution

Calculer les limites suivantes :

1 `lim_{ x to +infty} sqrt(x^2+3x+2)-x+3`

2 `lim_{ x to +infty} 1/x(sqrt(2x^2+1)- sqrt(x^2+x+1))`

3 `lim_{ x to -infty} sqrt(4x^2+3x-1) +2x +7`

4 `lim_{ x to + infty} sqrt(x^2-x) + sqrt(x^2+x) -2x `

5 `lim_{ x to +infty} {sqrt(x^2+3x) + sqrt(x^2+x) -2x}/{sqrt(9x^2+4) -sqrt(x^2-2x)-2x } `


Solution

Déterminer `a, b` tels que la fonction définie par

`f(x)={x^2+x-a}/{x-2} text{ si } x > 2`

`f(x)={2x+b}/3 text{ si } x <= 2`

soit continue en `x_0=2`


Solution

Montrer que la fonction `f` définie par `f(x)= (1-cosxcos2xcos(3x))/x^2 ` admet un prolongement par continuité au point `0`


Solution

Etudier la continuité sur `R` de la fonction `f` définie par :

`f(x)= x [ E(2x)-2E(x)] `


Solution

Etudier la continuité sur `R` des fonctions :

1 `f(x)= E(x)sinx`

2 `g(x)= E(x)sin(pix)`


Solution

Etudier la continuité de la fonction `f` sur son domaine de définition

`f(x)= x E(1/x) text{ si } x ne 0 `

`f(0) = 1 `


Solution

Soit `f` une fonction continue sur un intervalle `I` , et soit `a` et `b` deux éléments de `I` tels que `a < b `

O suppose que ` f(a) xxf(b) < 0 `




1 Montrer que ` 0 in f(I) `

2 En déduire qu'il existe au moins `c in [a,b] : f(c)= 0 `

3 Application

Montrer que l'équation `x^3 +2x+1= 0 ` admet au moins une solution dans l intervalle `[-1,1]`

4 Soit `f` une fonction continue sur un segment `[a,b]` et soit `lamda ` un réel : ` f(a) < lamda < f(b) `

On pose `g(x)= f(x) -lamda `

a) Vérifier que ` g(a)xxg(b) < 0 `

b) En déduire qu'il existe un réel ` c in [a,b] : f(c)= lamda `


Solution

soit `f` une fonction continue sur un intervalle `I` de `R` telle que `f(x) ne 0 ` pour tout ` x in I `

Montrer que `[ forall x in I : f(x) > 0] text{ ou } [ forall x in I : f(x) < 0 ] `


Solution

1) Déterminer le nombre de solutions réelles de l'équation `(E_1) : x^5+x -1 = 0 `

2) Déterminer le nombre de solutions dans `R ` de l'équation `(E_2) : x^3+x+1=0`



Extrait des concours Médecine , ENSAM , ENSA


Solution

Soit `f` est une fonction continue et strictement positive sur un intervalle `[a,b]`

1) Montrer que : `( exists alpha > 0) ( forall x in [a,b] ) f(x) >= alpha `

2) Soit `g` et `h` deux fonctions continues sur `[a,b]` telles que `( forall x in [a,b]) ; h(x) > g(x) `

Montrer que `( exists beta > 0 ) : ( forall x in [a,b] : h(x) >= g(x) + beta `


Solution

1) On pose ` a = arctan5` et ` b = arctan(2/3) `

a) Montrer que ` 0 < a-b < (pi)/2 `

b) En déduire la valeur de ` a- b `


Solution

Calculer la limite :

`lim_{ x to 0} (arctan(x+sqrt(3)) -(pi)/3) /x `


Concours ENSAM


Solution

soit `a > 0 ` et `b > 0 ` .

Montrer que ` arctana -arctanb = arctan((a-b)/(1+ab))`



Concours ENSA -ENSAM


Solution

On considère la fonction `f` définie sur `]-1,1[ ` par `f(x)= (2x)/(1-x^2) `

1) Montrer que `f` admet une fonction réciproque `f^(-1)` définie sur `R `

2) Montrer que :

`f^(-1)(x)= (sqrt(1+x^2) -1)/x text{ si } x ne 0 `

`f^(-1)(0) = 0 `

3) En déduire que `(forall x in ]-1,1[ ) : arctan((2x)/(1-x^2)) = 2 arctan(x) `


Solution

I) Calculer :

1) ` S = arctan2 +arctan5+arctan8 `

2) `S_1 = arctan2+arctan3 `

II) Montrer que :

1) ` arctan(4/3)= 2arctan(1/2) `



Concours ENSAM


Solution

Montrer que :

1) ` forall x > 0 : arctanx+arctan(1/x) = {pi}/2`

2) ` forall x < 0 : arctanx +arctan(1/x) = -{pi}/2 `

3) En déduire les valeurs de :

`A= arctan(2)+arctan(1/2)`

`B= arctan(1-sqrt(2)) -arctan(1+sqrt(2))`


Solution

1) Calculer pour tout ` x in R : cos(arctanx) `

2) En déduire la valeur de ` sin(arctanx) ` pour tout ` x in R `



Concours ENSA


Solution

Soit `f` la fonction définie sur `R` par :

`f(x)= xarctan({ 1+sqrt(1+x^2)}/x) text { si } x ne 0 `

`f(0) = 0 `

1) Etudier la continuité de `f` en `0`

2) Etudier la parité de `f`

3a) Montrer que `forall x in R^(ast +) : f(x)={pi}/2x -x/2arctanx` on pourra poser `x=tana ` avec ` a in ] -(pi)/2,{pi}/2[`

b) En déduire une expression simplifiée de `f` sur `R^(ast -)`

4) On considère dans `R^(ast + )` l'équation ` (E ) : arctan ({sqrt(x^2+x) + sqrt(x)}/x) = {5pi}/{12}`

a) Montrer que `( E ) <=> f(sqrt(x)) = {5pi}/{12}sqrt(x)`

b) En déduire les solutions de l'équation `( E ) `


Solution

Calculer les limites suivantes :

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)


Solution

1) Déterminer les réels ` b ` et `c` tels que :

` forall x in R : x^3 -3x -18 =(x-3)(x^2+bx+c) `

2) On pose

a) Montrer que `t` est solution de l'équation ` x^3-13x -18 = 0 `

b) En déduire que


Solution








Solution

Calculer les limites suivantes :

1

2 `lim_{ x to +infty} xarctan(sqrt(x)) -(pi)/2x`

3 `lim_{ x to 0^+} 1/xarctan((sqrt(x))/(x+1)) `

4

5

6

7 `lim_{ x to +infty} 1/x(x^(2/3) -x^(1/3))^(3/2)`

8

9


Solution

Calculer les limites suivantes :

1) `lim_{ x to 0^-} `

2) `lim_{ x to 1^-} {2arctan(1/(sqrt(1-x))) - pi }/(x-1)`

3) `lim_{ x to +infty}`

4) `lim_{ x to 0}( sin(pisqrt(cosx)))/x`

5) `lim_{ x to +infty} sqrt(1+x^2)arctanx -(pi)/2x`

6) `lim_{ x to -infty}`


Solution

Calculer les limites suivantes :

a) ` lim_{ x to +infty} (x^2arctan(x) -(pi)/2x ) `

b)

c)


Solution

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