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On considère la fonction `f` définie sur `I = ]0,+infty[` par `f(x)= (x^2+2)/x `

1 Etudier les variations de `f` puis calculer `lim_{ x to +infty} f(x) ` et `lim_{ x to 0^+} f(x) ` et dresser le tableau des variations

2 a) Déterminer les branches infinies pour la courbe `C_f `

b) étudier la position relative de `C_f` et la droite `(D) : y = x ` pour tout ` x in I `

c) Tracer la courbe `C_f` dans un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j))`

3 On considère la suite `(u_n)_{ n >= 1} ` définie par ` u_n = (n^2+2)/n = f(n) `

a) Calculer `u_1 , u_2 , u_3 , u_4 `

b) Placer dans le repère `(O, vec(i) , vec(j))` les points `M_n(n, u_n)` pour tout ` n in { 1, 2, 3 , 4 } `

4

a) On considère l intervalle ouvert `]10,+infty[ `

Montrer qu' a partir d'un certain rang `N` à déterminer tous les termes de la suite `(u_n)` appartiennent à l intervalle `I`


Solution

1 On considère la suite `(u_n)` définie par

Montrer par récurrence que `forall n in N : u_n = 8 -(1/4)^(n-1) `

2 On considère la suite `(v_n)` définie par

Montrer que `(v_n)` est arithmétique puis exprimer `(v_n)` en fonction de `n `

3 On considère la suite `(w_n)` définie par

Montrer que la suite `(w_n)` est géométrique puis exprimer `w_n` en fonction de `n`


Solution

on considère la fonction numérique définie sur `]0,+infty[` par ` f(x)= 2+1/x `

1) Etudier les variations de `f` puis calculer les limites `lim_{ x to +infty} f(x) ` , `lim_{ x to 0^+} f(x) ` et interpréter géométriquement les résultats obtenus
2) Tracer la courbe `C_f` dans un repère orthonormé `(O , vec(i) , vec(j))`

3) On considère la suite `(u_n)_(n>= 1)` définie par `u_n = 2+1/n `

a) Placer dans le repère `(O , vec(i) , vec(j))` les points `M_n( n , u_n) ` pour ` n in {1, 2 , 3, 4 } `

b) Quelle remarque peut on tirer sur les termes de la suite `(u_n)` quand `n` prend de valeurs de plus en plus grandes

4) On considère l intervalle ouvert `I` de centre `2` et de rayon `r= 10^-2 `

Montrer qu'à partir d'un rang `N` à déterminer ,tous les termes de la suite `(u_n)_(n>=1)` appartiennent `I`


Solution

les figures suivantes présentent les graphes des suites `u_n =(sqrt(n)) , v_n =(n) , w_n = (n^2) , t_n = (n^3)`




1 Quelle remarque peut on tirer sur les termes de ces suites quand `n` prend des valeurs assez grandes ?

2 Montrer que pour tout ` n in N : sqrt(n) <= n <= n^2 <= n^3 ` et en déduire que si ` n >= 10^(12)` alors les suites `u_n ` , `v_n` , `w_n ` , `t_n` prennent de plus en plus des grandes valeurs

3 Montrer que si ` n >= 10^(12)` alors `1/n^3 <= 1/n^2 <= 1/n <= 1/(sqrt(n)) ` en déduire que si ` n>= 10^(12)` les suites `(1/n^3) , (1/n^2) , (1/n) , 1/(sqrt(n))` prennent de plus en plus de petites valeurs


Solution

On considère la suite `(a_n ) ` définie par `a_0= 0 ` et `a_1=1` et `a_n= 1.....1 ` ( 1 est `n` fois)

Calculer `S_n = sum_{k =0 }^n a_k = 1+11+111+......................+111111111....1 `

Sujet des concours


Solution

On considère la suite `(u_n)` définie par `u_n = sqrt(2n+1 -2sqrt(n(n+1)))`

Calculer `S_n = sum_{k = 0 }^n u_k `

Sujet des concours


Solution

En utilisant la définition de la limite montrer que

1 `lim_{ n to +infty} 1/n^2 = 0 `

2 `lim_{ n to +infty} (7n -2)/(3n +4) = 7/3 `

3 `lim_{ n to +infty} (2n^2 -sinn)/(n^2+3) = 2 `


Solution

Montrer que :

1) Toute suite `(u_n) ` croissante et non majorée a pour limite ` +infty ` : `lim_{ n to +infty} u_n = +infty `

2) Toute suite `(u_ n)` décroissante et non minorée a pour limite ` -infty ` : `lim_{ n to +infty} u_n = -infty `


Solution

soit ` n in N ; ` tel que ` n >= 2 `

1) Montrer que la suite `(S_n)_(n>=2)` définie par ` S_n= sum_{k= 1}^n 1/{n+k} ` est majorée par `3/4`

2) En déduire que la suite `(S_n)_(n >=2)` est convergente


Solution

Montrer que les suites `(u_n)_(n>=2) ` et `(v_n)_(n >=2) ` définies par :

`u_n =2^(n+1)sin((pi)/2^(n+1))` et `v_n =2^(n+1)tan((pi)/2^(n+1))`

sont adjacentes


Solution

soit `(u_n)` une suite croissante de limite `l in R` on pose `v_n={u_1+u_2+.....+u_n}/n`

1) Montrer que `(v_n)_(n>=1)` est croissante et en déduire qu'elle est convergente

2) Montrer que ` forall n >= 1 : v_{2n} >= {u_n+v_n}/2`

3) En déduire que `lim_{ n to +infty} {u_1+u_2+.....+u_n}/n = lim_{ n to +infty} u_n `

Sujet : Concours ENSA-ENSAM


Solution

Soit ` n in N^(ast) `

On considère la fonction `f_n` définie sur `R` par `f_n(x)= x^3 +nx -n `

1) Montrer que l'équation `f_n(x)= 0` admet une une unique solution sur `R` , puis vérifier que `0 < x_n < 1 `

2) Etudier la monotonie de `(x_n)_(n >= 1)` puis en déduire qu'elle est convergente

3) Vérifier que ` forall n >= 1 : 1-1/n < x_n < 1 ` , puis en déduire que `lim_{ n to +infty} x_n = 1 `



Extrait du concours ENSAM et de la médecine

on donne `f_n(x)= x^3 +nx -n ` Calculer `lim_{ n to +infty} x_n ` sachant que `f_n(x_n)= 0 `


Solution

soit la fonction `h(x)= x^3+5x-1`

1) Montrer que l équation `h(x)=0` admet une solution unique `alpha` et que ` 0 < alpha < 1/5`

2) soit `n in N^{ast}`

a) Montrer que l'equation `x^3+5x= n` admet une seule solution `beta_n` et que `forall n in N^{ast} : beta_n >= alpha `

b) Etudier la monotonie de la suite `(beta_n)_(n>=1)` et calculer `lim_{ n to +infty} beta_n`

c) Montrer que

d) Montrer que


Solution

Etudier la convergence de la suite `(u_n)` définie par `u_0= 1/2 ` et ` forall n in N : u_(n+1)= 5/2 u_n(1-u_n)`

Concours de la Médecine


Solution

On considère la suite `(u_n)` définie par :

`u_0= 0 ` et `u_1 = 1 `

` forall n in N : u_(n+2)=u_(n+1) +u_n `

1) Montrer que ` forall n in N : u_(n+1)^2 - u_n u_(n+2) = (-1)^n `

2) En déduire que : ` forall n >= 1 : arctan(1/u_(2n)) = arctan(1/u_(2n+1)) + arctan(1/u_(2n+2))`

3 ) Application : En déduire que

a) ` (pi)/4 = arctan(1/2) +arctan(1/3) `

b) ` (pi)/4 = arctan(1/2) +arctan(1/5) +arctan(1/8)`

c) ` (pi)/4 = arctan(1/2) +arctan(1/5) +arctan(1/(13)) +arctan(1/(21))`


Solution

Pour tout ` n >= 1 `

On pose `S_n = sum_{k =1}^n 1/(sqrt(k))` , `u_n = 2sqrt(n) -S_n ` , `v_n = 2sqrt(n+1) -S_n `

1) Montrer que `lim_{ n to +infty} S_n = +infty `

2) Montrer que `(u_n)_(n>=1)` et `(v_n)_(n>=1) ` sont adjacentes de limite commune `L >= 1 `

3) Calculer `lim_{ n to +infty} S_n/n ` et `lim_{ n to +infty} S_n/(sqrt(n)) `

4) Déduire de ce qui précède la valeur de `lim_{ n to +infty} 1/(sqrt(n)) sum_{k =1}^n 1/(sqrt(n+k)) `


1) Concours de la Médecine

3) et 4) Concours ENSAM -ENSA


Solution
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