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Nombres complexes Cours Cours en vidéos

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Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct

Déterminer l'ensemble des points `M(z)` tels que `arg(z-2)= (3pi)/2 [2pi]`


Solution

Déterminons les racines carrés des nombres complexes

1 `-7 `

2 `-25i `

3 `9+40i `

4 `1+2sqrt(2) i `

5 `1-isqrt(15) `

6 `1-4isqrt(3) `

7 `(i+sqrt(3))/(i-sqrt(3)) `


Solution

1) Soit ` z ` un nombre complexe Montrer que `abs(z) <= abs(z)^2+abs(z-1)`

2 ) soit `z_1 , z_2 ` deux nombres complexes Montrer que `(abs(z_1+z_2))/(1+abs(z_1+z_2)) <= (abs(z_1) +abs(z_2))/(1+abs(z_1) +abs(z_2))`


Solution

Soit ` a in ]0 ,pi[ ` et `z = e^(ia) ` un nombre complexe . on pose `A= 1+z+z^2 `

Déterminer le module de `A` et un argument de `A`


Solution



Soit ` a ,b ` deux nombres complexes tels que `abs(a)=abs(b)=1` et `1+ab ne 0 `

1) Montrer que `(a+b)^2/(ab) in R^+ `

2) Montrer que `(a+b)/(1+ab) in R `


Solution

Pour tout ` n in Z ` on pose `A_n = (sqrt(3) -i)^n + (sqrt(3) +i)^n `.

En utilisant la formule de Moivre .Montrer que `A_n = 2^(n+1) <=> n = 0 [12]`


Solution

soit `z= a+ ib ` un nombre complexe tel que ` a in R^(ast)` et ` b in R ` . montrer que :

`arg(z)= arctan(b/a) [2pi] ` si ` a > 0 `

` arg(z)= arctan(b/a) + pi [2pi] ` si ` a < 0 `


Solution

Dans chacun des cas suivants , écrire le nombre complexe sous forme algébrique

1) ` z= (4+i) -3i(2-i) `

2) ` z = (3/4i -1)(2-4i) `

3) ` z = (1+i)^2 -i^2 `

4) `z = (1+i)^(12) `

5) `z = (1-i)^6 `

6) ` z = ((sqrt(3))/2 -1/2i)^3 `

7) `z= (2i)^7 `

8) `z= 4/i `

9) ` z = 6/(2-3i) `

10) ` z = (2i)/(1+3i) `

11) `z= 1/(sqrt(3) -2i) `

12) ` z = ((-1+7i)/(2-3i))^2 ` , `z= (5(1+i)^2)/(3+4i)`


Solution

Pour tout ` z in C ` on pose `z_1 = 3+iz ` et `z_2 = z + i(z^2+5)`

Ecrire `z_1` et `z_2` sous la forme algébrique dans chacun des cas suivants :

1) ` z= -i `

2) ` z = 3+2i`

3) ` z = (2+i)/(2-i)`


Solution

On considère le nombre complexe ` j = -1/2 + {sqrt(3)}/2i `
1) Calculer

a) ` j^2` , `j^3 `

b) ` j^(k) ` selon les valeurs de `k in N `

c) ` 1+j+j^2 `

2) Calculer `1+j+j^2+.....j^(2020) `


Solution

Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de chacun des nombres suivants

1) `z_1 = (4-i)(-3+2i)+6i `

2) `z_2 = (2-7i)(2+7i) `

3) ` z_3 = (4-6i)^2 +(4-5i)^2 i `

4) `z_4 = ((2i -7)(1+5i))/((8-i)(4+3i))`

5) `z_5 = ( 1+sqrt(2) -i )/( 1+sqrt(2) +i ) `

6) `z_6 = (sqrt(7) +3i)/(sqrt(7) -3i) + (sqrt(7) -3i)/(sqrt(7) +3i) `

7) `z_7 = ((4-6i)/(3+2i))((1+3i)/(3-2i))`

8) `z_8 = (1+i)^3/(1-i) + (1-i)^4/(1+i)^2 `

9) `z_9 = (1-2i)^5`

10) `z_10 = ((sqrt(3) +i)/2)^(24) `

11) ` z_11 = ((1+i)/(1-i))^(15) `


Solution

On considère le nombre complexe `Z= ( 5+3sqrt(3)i)/(1-2sqrt(3)i)`

1) Déterminer la forme algébrique du nombre `Z`

2) Calculer `Z^2 , Z^3 , Z^(15)`

3)a ) Montrer que ` forall n in Z ; Z^(3n+2)= -2^(3n+1)(1+isqrt(3))`

b) En déduire `Z^(20) `


Solution

Soit ` n in N `

1) a) Calculer `i^3, i^4 , i^5` et `i^n ; n in N `

b) Calculer `S= 1+i+i^2+.......+i^(2019)` et `T = 1-i +i^2 -i^3+.......+(-i)^(2019)`

2) a) Calculer `(1+i)^3 , (1+i)^4 , (1+i)^n ; n in N `

b) Déterminer tous les entiers naturels `n` pour lesquels `(1+i)^n` est un nombre réel négatif


Solution

Soit ` z = x+iy ` un nombre complexe tel que `(x,y) in R^2 `

Déterminer tous les nombres complexes dans chacun des cas suivants :

1 ` iz^2 in R `

2 `z^2 +z+1 in R `

3 `(1-iz)/(1+z) in iR `

4 `(z-1)/(iz) in iR `

5 `(3+iz)/((1+i)z -1) in R `


Solution

On considère le nombre complexe : ` j =-1/2+i(sqrt(3))/2 `

a) Montrer que pour tout ` n in Z ; ( j^(2n) -j^n ) in iR `

b) Montrer que pour tout `(a,b,c) in C^3 `: `a^3+b^3+c^3 -3abc = (a+b+c)(a+b*bar(j) +cj)(a+bj +cbar(j))`


Solution

Soit `theta ` un réel de l intervalle `]-pi , pi[`

1) Montrer que `sin^2theta -2(1+cos(theta)) = -4cos^4((theta)/2) `

2a) Résoudre dans `C` l'équation `(E) : z^2 -2sin(theta)z + 2(1+cos(theta)) = 0 `

b) Ecrire les solutions sous forme exponentielle


Solution

1 linéariser ` sin^4x `

2 Calculer la somme `S= sin^4((pi)/8) + sin^4((3pi)/8) + sin^4((5pi)/8) + sin^4((7pi)/8) `


Solution

On considère le nombre complexe `Z= sin(2theta) -2icos^2(theta)`

1) Déterminer une forme trigonométrique de ` z ` si `theta in ](pi)/2 , pi[ `

2) Déterminer une forme trigonométrique de ` z ` si `theta in ]-(pi)/2, (pi)/2[ `


Solution

On considère le nombre complexe `Z= (1+isqrt(3))^4/(1-i)^3 `

1) Déterminer les racines d'ordre `4` et les racines d'ordre `5` du nombre `Z`

2) a) Déterminer sous forme trigonométrique , puis sous forme algébriques , les racines sixièmes de 1

b) Calculer `(1-i)^6` et déduire les racines sixième de `8i`

c) Déduire les valeurs de ` cos((pi)/(12))` et ` sin((pi)/(12))`

3) Résoudre dans `C` l'équation `(E) : z^6 -(1+2i)z^3 -1+i = 0 `


Solution

On considère la transformation complexe `f` qui transforme chaque point du plan d'affixe `z` , M(z) vers un point `M'`d'affixe `z' `

` f : C-{ -2i} -> C `

` z-> z'= f(z)= (z-i)/(z+2i)`

1) Déterminer `Re(f(z))` et `Im(f(z))`

2) Déterminer l'ensemble ` E = { M(z) in P ; f(z) in R} `

3) Déterminer l'ensemble ` F = { M(z) in P ; f(z) in iR} `


Solution

On pose `z= cos({2pi}/5) +isin({2pi}/5)`

, `u=z+z^4` et `v= z^2+z^3`

1) Montrer que `u=2cos({2pi}/5)` et `v=2cos({4pi}/5)`

2) Montrer que `1+u+v= 0 `


Solution

Session normale 2025


Soit `alpha in [0,2pi; [ `

On considère dans l'ensemble `C` l'équation d'inconnue `z `

`(E_alpha) : z^2 -2^(alpha)e^(ialpha)(1+2i) z + i2^(2alpha+1)e^(2ialpha) = 0 `

1) a) Montrer que `Delta = (2^(alpaha)e^(ialpha)(1-2i))^2 `

b) End déduire les deux solutions `a` et `b` tels que `abs(a) < abs(b) `

2) Vérifier que `b/a` est un imaginaire pur

II) le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct

Soit `M(z)` le point du plan complexe d'affixe `z `

on pose `b/a = lamda i ` avec `lamda = Im(b/a) `

On considère les points `A(a) , B(b ) , H(h) ` avec `1/h = 1/a +1/b `

1) Montrer que `h/(b-a)= -lamda/(lamda^2+1) i ` puis en déduire que les `(OH)` et `(AB) ` sont perpendiculaires

2) Montrer que `(h-a)/(b-a)= 1/(lamda^2+1) ` puis en déduire que les point `H, A, B ` sont alignés

3) Soit `I(m)` le milieu du segment `[OH]` et `J(n)` le milieu du segment `[HB]`

a) Montrer que `n/(m-a)= -lamda i `

b) En déduire que les droites `(OJ) ` et `(AI) ` sont perpendiculaires et `OJ = abs(lamd) AI `

c) Soit ` k ` le point d'intersection des droites `(OJ)` est `(AI) ` montrer que les points ` K , I , H , J ` sont cocycliques

d) Montrer que les droites `(IJ) ` et `(OA)` sont perpendiculaires


Solution

le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct `(O, vec(e_1), vec(e_2))`

On considère l'application

1) Déterminer l'ensemble des points `M(z)` pour lesquels `abs(f(z))= 1 `

2) Résoudre dans `C` l'équation `f(1/z)= zbar(z)`

3) On pose `z= cos(theta) + isin(theta)` avec ` 0 < theta < (pi)/2 `

a) Construire les points `B(i)` , `M(z)` , `N(bar(z))`

b) Soit `P` le point d'affixe `bar(z) + i `

Vérifier que `ONPB` est un losange

c) en déduire l'argument `bar(z)+i` et l'argument de `f(z)` en fonction de `theta`

d) Déterminer `abs(f(z)) `


Solution

On considère le nombre complexe `a = 2 +sqrt(2) + isqrt(2) `

1) Calculer le module de `a`

2) Montrer que ` a= 2(1+cos((pi)/4)) +2i sin((pi)/4)`

3) a) en linéarisant `cos^2x ` avec ` x in R ` montrer que ` 1+cos(2x)= 2cos^2x `

b) Montrer que `a = 4cos^2((pi)/8) + 4 i sin((pi)/8)cos((pi)/8)`

c) Montrer que ` 4cos((pi)/8) (cos((pi)/8)+i sin((pi)/8)) ` est une forme trigonométrique de `a`

d) Montrer que `a^4 = (2sqrt(2+sqrt(2)))^4i `

Partie II)

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct `(O, vec(e_1) , vec(e_2))` On considère les points `Omega` et `A` d'affixes respectives `omega= sqrt(2)` et `a = 2+sqrt(2) + isqrt(2) `

Soit `r` la rotation de centre `Omega` et d'angle `(pi)/2 `

1) Montrer que l'affixe `b` de `B` image du point `A` par `R` est `b =2i `

2) Déterminer l'ensemble des points `M` d'affixe `z` tels que `abs(z-2i)= 2 `


Solution

le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé `(O, vec(e_1) , vec(e_2))`

1) Résoudre dans `C` l'équation `z^2 -2z+2= 0 `

2) On considère les points `A` , `B ` , `C` d'affixes respectives `a = -isqrt(3) ` , `b = 1-i ` et `c = 1+i `

a) Ecrire les nombres `a` , `b` , `c` sous forme trigonométriques

b) Soit `N` le symétrique du point `A` par rapport au point `B` vérifier que l'affixe du point `N` est ` z_n = 2 +i(sqrt(3) -2) `

c) Soit `r ` la rotation de centre `O` et d'angle `(pi)/2 `

Déterminer les affixes des points `E` et `F` images respéctives des points `A` et `N` par la rotation `r `

3) On considère la translation `T` de vecteur `vec(u)(2i) `

Déterminer les affixes des points `J` et `K` images respectives de `A` et `N` par la translation `T`

4a) Vérifier que le point `C` est le milieu des segments `[EF]` et `[Jk]`

b) Montrer que `(z_F -z_C)/(z_K -z_C)= i `

c) Montrer que `EJFK` est un carré


Solution

Session normale 2019
Exercice 2

soit ` m ` un nombre complexe non réel ` m in C-R` , On considère l équation `E : z^2 -(1+i)(1+m)z+2im= 0` dans le corps des nombres complexes

1) a) Montrer que le discriminant de l'équation est non nul

b) Déterminer `z_1` et `z_2` les solutions de l équation `E`

2) On suppose dans cette question que `m =e^{ieta}` avec `0 < eta < pi`

a) Déterminer le module et l'argument du nombre `z_1 +z_2`

b) Montrer que si `z_1*z_2 in R ` alors `z_1+z_2 =2i`

II) le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé `(o, vec(u) ,vec(v))`
on considère les points `A` d'affixe `a=1+i` , `B`d'affixe `(1+i)m` et `C` d'affixe `1-i` et `D` est l image de `B` par la rotation de centre `O` et d'angle `{pi}/2 `

et `Omega` le milieu du segment `[CD]`

1) a ) Montrer que l'affixe de `Omega` est `omega = {(1-i)(i-m)}/2`

b) Calculer `{b-a}/{omega}`

c) En déduire que que `(AB)` est perpendiculaire à `(OOmega)` et `AB=2OOmega`

2) Soit `H` , d'affixe `h`, le point d’intersection de `(AB)` et `(OOmega)`

a) Montrer que `{h-a}/{b-a}` est un nombre réel et `h/{b-a}` est un nombre imaginaire pur

b) En déduire `h` en fonction de `m`

Exercice 3

on a suppose que le nombre `(2969)` (l 'année amazighe actuelle ) est un nombre premier , soit `n , m` deux

entiers naturels vérifiant `n^8+m^8= 0 [ 2969]`

1) On suppose dans cette question que `2969` ne divise pas `n`

a) En utilisant le théorème de Bezout montrer que `exists u in Z : u*n = 1 [2969]`

b) E déduire que ` (u*m)^8 = -1 [2969]` et que ` (u*m)^(2968)= 1 [2969]`

(Remarque : 2969 =8*371 )

c) Montrer que `2969` ne divise pas `u*m`

d) En déduire que ` (u*m)^(2968) = 1 [2969]`

2) a) En utilisant les resultas précédents montrer que `2969` divise `n`

b) Montrer que `n^8+m^8 = 0 [2969] <=> n = 0 [2969]` et `m = 0 [2969] `

Exercice 4)
On considère la fonction `f` définie sur `R` par `f(x) =4x(e^(-x) +1/2x-1)` .on note `C` sa courbe dans un repère orthonormé

1) Calculer `lim_{ x to +infty} f(x)` et `lim_{ x to -infty} f(x)`

2) a) Montrer que `f` est dérivable sur `R` et que `forall x in R : f'(x)= 4(e^(-x) -1)(1-x)`

b) Etudier les variations de `f` puis donner son tableau des variations

c) Montrer que ` exists ! alpha in ]3/2,2[` tel que `f(alpha)= 0 ` on donne `e^(3/2) =4,5 `

d) Vérifier que `e^(-alpha)= 1-{alpha}/2`

3) a) En appliquant théorème de ROLLE à la fonction `f'(x)` . montrer que ` exists x_0 in ]0,1[ : f''(x_0) = 0 `

b) En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction `f''` montrer que pour tout ` x ne x_0 ` de l'intervalle `[0,1]` `{f''(x)}/{x-x_0} > 0 `

c) En déduire que `I(x_0,f(x_0))` est un point d'inflexion de la courbe `C`

4 a) Etudier les branches infinies de `C`

b) Tracer la courbe `C` dans un repère orthonormé

5) a) Vérifier que ` forall x in ]-infty ,alpha] : f(x) <= 0 `

b) Montrer que `int_0^(alpha) f(x) dx = {2alpha(alpha^2-3)}/3`.puis en déduire que `3/2 <= alpha <= sqrt(3)`

c) Calculer en fonction de ` alpha` l aire du domaine délimité par la courbe `C` et les droites ` y= 0 ` ,` x =alpha` et `x= 0 `

Partie II
On considère la suite `(u_n)` définit par `u_0 < alpha ` et ` forall n in N : u_(n+1)= f(u_n)+u_n`

1) a) Montrer par récurrence que ` forall n in N : u_n < alpha ` ( utiliser 5 a)

b) Montrer que la suite `u_n` est décroissante

2) On suppose que `0 <= u_0 ` et on pose `g(x)= e^(-x)+1/2x-3/4` pour tout ` x in R `

a) Montrer que ` forall x in R : g(x) > 0 ` on donne `ln(2)= 0,67`

b) Montrer que `forall n >=0 : 0 <=u_n ` ( remarquer que `f(x)+x= 4xg(x)` )

c) Montrer que la suite `u_n` est convergente

d) calculer `lim_{ n to +infty} u_n `

3) On suppose que `u_0 < 0 `

a) Montrer que `forall n in N : u_(n+1) -u_n <= f(u_0) `

b) Montrer que `forall n in N : u_n <= u_0 + nf(u_0)`

c) En déduire `lim_{ n to +infty} u_n `


Solution

1) a) Résoudre dans `C` l equation `z^3 ={i-1}/4`

b) Montrer que parmi les solutions de l équation elle existe une solution `w ` telle que `w^4 in R `

2) soit `(a, b) in R^2 ` et `(u,v) in C^2 ` montrer que

`[ forall z in C : (z+a+bi)^4 = z^4 +uz^3+vz^2-(1-i)z-1/4 ] ` `=> ` ` [ a=b=1/2 text{ et } u = 2+2i text{ et } v=3i ] `


Solution

le quatrième devoir de l’année 2017/2018 : la première partie des nombres complexes et les équations différentielles


sans solution

Exercice 2) : Session normale 2020

Dans l'ensemble des nombres complexes on considère l'équation `E : z^2 -2(sqrt(2)+sqrt(6))z+ 16 = 0 `

1) a) Vérifier que `Delta = -4(sqrt(6) -sqrt(2))^2 `

b) En déduire les solutions de l'équation `E`

2) On considère les nombres complexes : ` a= (sqrt(6)+sqrt(2)) + i( sqrt(6) -sqrt(2))` , ` b=1+isqrt(3)` , ` c= sqrt(2) +isqrt(2)`

a) Vérifier que `b*bar(c)= a ` , puis en déduire que `ac=4b`

b) Donner la forme trigonométrique des nombres ` b` et `c `

c) En déduire que ` a= 4( cos({pi}/{12}) + i sin({pi}/{12}))`

3) dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé `(O, vec(u),vec(v))` on considère les points ` B,C,D ` des affixes respectives ` b , c , d` avec ` d= a^4`

Soit `M(z)` un point du plan complexe et `M'(z') ` l'mage de `M(z)` par la rotation `R` du centre `O` et d'angle `{pi}/{12}`

a) Vérifier que `z'= 1/4az`

b) Déterminer l'image de `C` par la rotation `R`

c) Déterminer la nature du triangle `OBC`

d) Montrer que `a^4= 128b` , puis en déduire que les points `O,B, D ` sont alignés


Solution
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