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Nombres complexes ( Partie I) Cours Cours en vidéos

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Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants :

1) ` 2i - (1-2i)`

2) ` 3(1+i ) -3(i-2)`

3) ` (-3 +2i)^2`

4) ` (1-10i)(2+i)`

5) `(2-i)^2 -(1+4i)`

6) `sqrt(2) +i -(3i+sqrt(2))^2`

7) ` (1/2 -i{sqrt(3)}/2)^2 `

8) ` (-1/2 + i*{sqrt(3)}/2)^3 `


Solution

Dans chacun des cas suivants , écrire le nombre complexe sous forme algébrique

1) ` z= (4+i) -3i(2-i) `

2) ` z = (3/4i -1)(2-4i) `

3) ` z = (1+i)^2 -i^2 `

4) `z = (1+i)^(12) `

5) `z = (1-i)^6 `

6) ` z = ((sqrt(3))/2 -1/2i)^3 `

7) `z= (2i)^7 `

8) `z= 4/i `

9) ` z = 6/(2-3i) `

10) ` z = (2i)/(1+3i) `

11) `z= 1/(sqrt(3) -2i) `

12) ` z = ((-1+7i)/(2-3i))^2 ` , `z= (5(1+i)^2)/(3+4i)`


Solution

1) Ecrire sous forme algébrique le nombre complexe `z = (2+isqrt(3))(3-4i) +(1+1/2i)^2 `

2) Déterminer la forme algébrique du nombres complexe `u = 1/z -1/(z')` sachant que ` z= 1-3i ` et `z'=3/2 +5i`

3) Pour tout `z in C ` on pose `f(z)=z^2-z+2 ` .Déterminer tous les nombres complexes tels que `f(z) in R `

4) soit `z in C-{ -i}` montrer que `1/(z+i) in R <=> Imz = -1 `


Solution

Pour tout ` z in C ` on pose `z_1 = 3+iz ` et `z_2 = z + i(z^2+5)`

Ecrire `z_1` et `z_2` sous la forme algébrique dans chacun des cas suivants :

1) ` z= -i `

2) ` z = 3+2i`

3) ` z = (2+i)/(2-i)`


Solution

On considère le nombre complexe ` j = -1/2 + {sqrt(3)}/2i `
1) Calculer

a) ` j^2` , `j^3 `

b) ` j^(k) ` selon les valeurs de `k in N `

c) ` 1+j+j^2 `

2) Calculer `1+j+j^2+.....j^(2020) `


Solution

On considère le nombre complexe `z= 1+sqrt(3) + i (1-sqrt(3))`

1) Calculer et mettre sous forme algébrique les nombres `z^2 , z^3 , z^4, z^6 `

2) Montrer que ` forall n in N : z^(12n) in R `


Solution

Soit ` n in N `

1) a) Calculer `i^3, i^4 , i^5` et `i^n ; n in N `

b) Calculer `S= 1+i+i^2+.......+i^(2019)` et `T = 1-i +i^2 -i^3+.......+(-i)^(2019)`

2) a) Calculer `(1+i)^3 , (1+i)^4 , (1+i)^n ; n in N `

b) Déterminer tous les entiers naturels `n` pour lesquels `(1+i)^n` est un nombre réel négatif


Solution

1 Pour tout ` z in C ` on pose `f(z)= z^2 -z+2 `

Déterminer tous les complexes `z ` tels que ` f(z) in R `

2 Soit `z` un complexe différent de ` -i ` montrer que `1/(z+i) in R <=>Im(z) = -1 `


Solution

Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de chacun des nombres suivants

1) `z_1 = (4-i)(-3+2i)+6i `

2) `z_2 = (2-7i)(2+7i) `

3) ` z_3 = (4-6i)^2 +(4-5i)^2 i `

4) `z_4 = ((2i -7)(1+5i))/((8-i)(4+3i))`

5) `z_5 = ( 1+sqrt(2) -i )/( 1+sqrt(2) +i ) `

6) `z_6 = (sqrt(7) +3i)/(sqrt(7) -3i) + (sqrt(7) -3i)/(sqrt(7) +3i) `

7) `z_7 = ((4-6i)/(3+2i))((1+3i)/(3-2i))`

8) `z_8 = (1+i)^3/(1-i) + (1-i)^4/(1+i)^2 `

9) `z_9 = (1-2i)^5`

10) `z_10 = ((sqrt(3) +i)/2)^(24) `

11) ` z_11 = ((1+i)/(1-i))^(15) `


Solution

Soit ` z = x+iy ` un nombre complexe tel que `(x,y) in R^2 `

Déterminer tous les nombres complexes dans chacun des cas suivants :

1 ` iz^2 in R `

2 `z^2 +z+1 in R `

3 `(1-iz)/(1+z) in iR `

4 `(z-1)/(iz) in iR `

5 `(3+iz)/((1+i)z -1) in R `


Solution

On considère le nombre complexe `Z= ( 5+3sqrt(3)i)/(1-2sqrt(3)i)`

1) Déterminer la forme algébrique du nombre `Z`

2) Calculer `Z^2 , Z^3 , Z^(15)`

3)a ) Montrer que ` forall n in Z ; Z^(3n+2)= -2^(3n+1)(1+isqrt(3))`

b) En déduire `Z^(20) `


Solution

On considère les complexes suivants

` z_ 1= sqrt(3) - i ` , ` z_2 = 1+i ` , ` z_3 = 1-isqrt(3) `

1) a) Déterminer une forme trigonométrique de chacun des complexes `z_1 , z_2, z_3 `

b) En déduire une forme trigonométrique des complexes ` z_1xxz_2 ` et ` z_2/z_3 `

2) Ecrire sous forme algébrique chacun des complexes ` z_1xxz_2 ` et ` z_2/z_3 `

3) En déduire une valeur de chacun des nombres :

` cos((pi)/(12)) , sin((pi)/(12)) , cos((7pi)/(12)) , sin((7pi)/(12)) `


Solution

On considère la transformation complexe `f` qui transforme chaque point du plan d'affixe `z` , M(z) vers un point `M'`d'affixe `z' `

` f : C-{ -2i} -> C `

` z-> z'= f(z)= (z-i)/(z+2i)`

1) Déterminer `Re(f(z))` et `Im(f(z))`

2) Déterminer l'ensemble ` E = { M(z) in P ; f(z) in R} `

3) Déterminer l'ensemble ` F = { M(z) in P ; f(z) in iR} `


Solution

On pose `z= cos({2pi}/5) +isin({2pi}/5)`

, `u=z+z^4` et `v= z^2+z^3`

1) Montrer que `u=2cos({2pi}/5)` et `v=2cos({4pi}/5)`

2) Montrer que `1+u+v= 0 `


Solution

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct `(O, vec(e_1) , vec(e_2)) `

On considère les points `A, B ` et `C` d'affixes respectives `a = 1+5i` , `b = 1-i ` et `c = 4+2i `

a) Calculer `(c-a)/(c-b)` puis en déduire la nature du triangle `ABC`

b) Déterminer l'affixe `I ` du milieu de `[AB]`

c) Déterminer l'affixe du point `E` symétrique de `C` par rapport au point `I`

d) Soit `F` le point d'affixe `z_f = 7+5i ` , Montrer que les points `B, C ,F` sont alignés


Solution

On considère le nombre complexe `Z= ( sqrt(3)+i)/(1+i) `

On pose `z_1 =sqrt(3) +i ` , `z_2 =1+i `

1) Ecrire `z_1` et `z_2` sous forme trigonométrique

2) Ecrire `Z` sous forme algébrique

3) En déduire les valeurs de `cos((pi)/(12))` et `sin((pi)/(12)) `


Solution

le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct `(O, vec(e_1) , vec(e_2))`

On considère les points `A, B , C ` d'affixes respectives `a= sqrt(3) -i ` , `b = -sqrt(3) +i ` et `c= 1+isqrt(3) `

a) Placer les points `A, B , C `

b) Ecrire sous forme trigonométrique le nombre `(b-c)/(a-c)` et en déduire la nature du triangle `ABC`


Solution

Session normale 2004


Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct `(O, vec(e_1) , vec(e_2))` on considère les points `A, B , C` d'affixes respectives

`a = 2i ` , ` b = sqrt(2)(1+i)` et `c= a+b`

1) Ecrire les nombres complexes `a` et `b` sous forme trigonométrique

2a) Placer les points `A, B , C`

b) Montrer que `OBCA` est un losange

c) Montrer que `arg(c)= (3pi)/8[2pi]`


Solution

Session de rattrapage 2004


le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct `(O, vec(e_1) , vec(e_2))` On considère les points `A, B , S` d'affixes respectives `a = 1/2+1/2i `

` b = -1/2 +1/2i ` et `s= i `

1) Ecrire le nombre `(a-s)/(b-s)` sous forme trigonométrique

2) En déduire que `SAB` est rectangle isocèle en `S`

3) Montrer que `OASB` est un carré


Solution

Session normale 2006


On considère les nombres complexes :

` z_1 = (sqrt(3)+1) + (sqrt(3) -1)i ` et ` z_2 = (sqrt(3) -1) + (sqrt(3)+1)i `

1) Montrer que `z_1^2 = 4(sqrt(3)+i) ` et `z_2 = ibar(z_1)`

2a) Ecrire sous forme trigonométrique le nombre complexe `4(sqrt(3) +i) `

b) En déduire une forme trigonométrique de chacun des nombres complexes `z_1` et `z_2`

3) On considère dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct `(O, vec(e_1) , vec(e_2))` les points `A` et `B` d'affixes respectives `z_1` et `z_2`

Calculer ` arg(z_1/z_2)` puis en déduire que le triangle `OAB` est équilatéral


Solution
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