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Exercice 3 ) BAC 2022


Soit `n` un entier naturel strictement supérieur à ` 1 `

On considère dans `N^2 ` l'équation `(E_n) : (x+1)^n -x^n = ny `

Soit `(x, y) ` une solution de `(E_n) ` et soit `p` le plus petit diviseur premier de ` n `

1) a) Montrer que `(x+1)^n = x^n [p] `

b) Montrer que `p` est premier avec `x ` et avec `x+1 `

c) En déduire que `(x+1)^(p-1)= x^(p-1) [p] `

2) Montrer que si `n` est pair alors `(E_n) ` n'admet pas de solution de `N^2 `

3) On suppose que `n` est impair

a) Montrer ` exists (u, v) in Z^2 : n*u +(p-1)v = 1 ` : ` text{ on rappelle que p est le plus petit diviseur premier de n } `

b) soit `q ` et `r ` le quotient et le reste de a division euclidienne de `u ` par ` q-1 `

Vérifier que ` nr = 1 -(p-1) ( v+nq) `

c) On pose ` v' = -(v+nq) ` montrer que ` v ' >= 0 `

d) Montrer que l'équation `(E_n) ` n'admet pas de solution de `N^2`


Solution

`x , y , a, b , a', b' ` sont des entiers naturels

Montrer que si ` abs(ab'-ba')= 1 ` alors `PGCD(x,y)= PGCD(ax+by , a'x+b'y) `


Solution

1) Résoudre dans ` N ` :

2) En utilisant l'algorithme d'Euclide déterminer `PGCD(2^(12) -1, 12^8 -1) `

3) Résoudre dans `Z`/ ` 4Z ` l'équation `(x+bar(1))(bar(2)x -bar(2)) = bar(0) `

4) soit ` n ` un entier naturel tel que ` n = 3[4]` montrer que `n ` n'est pas la somme de deux carrés parfaits


Solution

Session normale 2021

On considère dans `Z^2 ` l'équation `47x -43y = 1 `

1) a)Vérifier que `(11, 12) ` est une solution de l 'équation `(E) `

b) Résoudre dans `Z^2 ` l'équation `(E) `

2) On considère dans `Z` l'équation ` (F) : x^(41)= 4 [43]`

Soit `x ` une solution de l'équation `(F) `

a) Montrer que ` x` et `43` sont premiers entre eux

b) En déduire que `x^(42)= 1 [43]`

c) Montrer que `4x = 1 [43]` puis en déduire que ` x = 11 [43]`

d) Déterminer les solutions de l'équation `F`

3) On considère dans `Z` le système `(S) `

` x^(41)=4 [43]`

`x^(47)=10[47]`

soit ` x` une solution du système `(S) `

a) Montrer que `x ` est solution du système `(S') `

` x = 11[43]`
` x= 10 [ 47]`

b) En déduire que ` x = 527[2021]` ( On pourra utiliser résultat de la question 1)

c) Déterminer l'ensemble des solutions dans `Z` du système `(S) `


Solution

1) a) Résoudre dans `Z^2 ` l'équation ` (E) :3x-2y=1 `

b) Soit ` n in N ` montrer que les couples ` ( 14n+3 , 21n +4) ` vérifient l'équation `(E) `

c) En déduire `PGCD(14n+3 , 21n+4)= 1 `

2) On pose ` d= PGCD(2n+1 , 21n+4) `

a) Montrer que ` d= 1 ` ou ` d= 13`

b) Montrer que ` d= 13 <=> n = 6 [13]`


Solution

1) Montrer que ` forall (a, b, c) in Z : `

2) En déduire que ` forall n in Z : `

3) Déterminer les valeurs possibles de

4) Déterminer les entiers relatifs tels que ` n+1 text{ / } n^3 -2n+5 `

5) Déterminer les entiers relatifs tels que ` d_n = 3 `


Solution

1) Soit `a , b , alpha, beta` des entiers relatifs tels que ` a= balpha +beta` . Montrer que tout diviseur commun de ` a` et `b` est un diviseur de `beta`

2) Soit `(x,y)` deux entiers naturels

a) Montrer que ` [7 text{/ } 4x+3y text { et } 7 text { /} 7x+5y ] => ` `[ 7 text {/} x text{ et} 7 text{/} y ]`

b) Cas général : soit `(u,v,alpha,beta) in Z^4` et `d` est un diviseur commun des entiers `ux+vy` et `alphax+betay` . Montrer que si ` abs(ubeta -valpha)=1 ` alors `d` est un diviseur commun de `x` et `y `


Solution

1 soit `x` et `y` deux entiers naturels non nuls on pose `a = 9x+4y ` et ` b = 2x+y `

Montrer que `PGCD(a,b)= PGCD(x,y) `

2 Montrer que ` forall (a, b , c) in (N^(ast))^3 : PGCD(a,b)= PGCd(a, a^2bc +ac+b)`

3 Pour tout ` n in N^(ast)` on pose `a_n = (25^n -1)(9^n -1)` et `b_n = (5^n+1)(3^n +1) `

Calculer en fonction de `n` : `PGCD(a_n , b_n)` et `PPCM(a_n , b_n)`


Solution

Résoudre dans `Z^2 ` les équations suivantes :

1 ` E_1 : 2017x + 48y = -5 `

2 `E_2 : 297x -72y = 45 `

3 `E_3 : 51x +136y = 2018 `


Solution

Soit `n` un entier naturel

1) Déterminer le reste de la division euclidienne de `2^n` par `3`

2) Déterminer le reste de la division euclidienne de `(275423)^n` par `3`

3) Déterminer le reste de la division euclidienne de `(372121)^n` par `3`

4) Déterminer les entiers naturels `n` pour lesquels le nombre `N= (275432)^n +(372121)^n` est divisible par `3`


Solution

On considère dans `Z^2` l'équation : ` (E) : 324x -245y = 7 `

1 Montrer que si `(x,y) `est solution de `(E) ` alors `x` est un multiple de `7`

2 Résoudre dans `Z^2` l'équation `(E) `

3 On pose

a) Déterminer les valeurs possibles de `d`

b) Déterminer les couples `(x,y)` solution de `E` tels que


Solution

Résoudre dans `Z^2` l'équation : ` (E) : 23562x - 13167y = 693 `


Solution

Résoudre dans `Z^2` l'équation : ` (E) : 23562x - 13167y = 693 `


Solution

Soit ` a, b ,c d ` des entiers naturels non nuls tels que `ab= cd `

Montrer que `a^2+b^2+c^2+d^2 ` n 'est pas premier


Solution

Soit `(x, y , z) in N^3 ` tel que `3x-7y -24 z = 0 `

En utilisant le théorème de Gauss , Montrer que `21 text{ / } y(x-z) `


Solution

Déterminer tous les entiers naturels ` n` tels que ` n <= 10^5 ` et ` n = 5[139 ]` et ` n = 5[140] `


Solution

Déterminer dans `N^2` tous les couples `(x, y)` tels que :

` (x+12)/(y+15)=x/y ` et `PGCD(x, y)= 1 `


Solution

1) Déterminer `PGCD(168, 20) `

2) les équations suivantes admettent -elles des solutions dans `Z^2` :

`(E_1) : 168x +20y = 6 `

`(E_2) : 168x +20y = 4 `

`(E_3) : 42x+5y = 2 `

`(E_4) : 336x +40y = 20 `

3a) Déterminer un couple `(m , p) in Z^2 ` tel que `42m +5p = 1 `

b) En déduire une solution `(u_0, v_0) ` de l'équation `(x, y) in Z^2 : 42x+5y = 2 `

c) Résoudre dans `Z^2` l'équation `42x+5y = 2 `

d) En déduire les solutions dans `Z^2` de l'équation `(42x+5y -3)(42x+5y+3)= -5 `


Solution

1) Résoudre dans `Z^2` l'équation `17x -7y = 1 `

2) Résoudre dans `Z` les systèmes suivants :



3) Résoudre dans `Z` l'équation `x^2 = 4[119]`


Solution

soit `S_n=` `sum_{p=1}^n p^3`

1) Calculer `PGCD(S_{n+1},S_{n})`

2) Déterminer les entiers naturels tels que `PGCD(S_{n+1},S_{n})= 1 `

3) Montrer que `PGCD(S_{n+2},S_{n+1},S_{n})= 1 ` pour tout ` n in N^(ast) -{1}`


Solution

On considère dans `Z^2` l'équation `(E) : 409x -68y = 17 `

1) Montrer que si `(x,y)` est solution de `(E)` alors le nombre `x` est divisible par `17`

2) Déterminer la solution `(x_0, y_0) ` de l'équation te que `0 < x_0 < 30 ` et en déduire les solutions de `(E)`

3) Soit `(x,y)` une solution de `(E)` tels que `x` et `y` deux entiers naturels

a) Montrer que le quotient de la division euclidienne de `y` par `x` est indépendant de `x` et `y `

b) Montrer que `PGCD(x,y)= 17` si et seulement si le reste de la division euclidienne de `y` par `x` est un multiple de `17`


Solution

Soit `a, b ` deux entiers relatifs montrer que `PGCD(a,b)= PGCD(a, b-a)`


Solution

pour tout ` n in N ` on pose `A_n=3xx5^{2n+1}+2^{3n+1}`

a) Montrer que `A_{n+1}= 51xx5^{2n+1}+8A_n`

b) Montrer par la récurrence que `17 text{ divise } A_n`


Solution

Session normale 2025


Soit `p` un nombre premier impair et `a ` un entier premier avec ` p `

1) Montrer que `a^((p-1)/2) = 1 [p] ` ou `a^((p-1)/2) = -1 [p] `

2) On considère dans `Z` l'équation `ax^2 = 1 [p] ` soit `x_0 ` solution de cette équation

a) Montrer que `x_0^(p-1)= 1 [p] `

b) En déduire que `a^((p-1)/2) = 1 [p] `

3) Soit `n ` un entier naturel non nul

a) Montrer que si `p` divise `2^(2n+1) -1 ` alors `2^((p-1)/2) = 1 [p] `

b) En déduire que l'équation `(E) : 11x +(2^(2n+1) -1) y = 1 ` admet au moins une solution dans `Z^2`

4) On considère dans `Z` l'équation `(F) : x^2+5x+2 = 0 [11] `

a) Montrer que `(F) <=> 2(2x+5)^2 = 1[11] `

b) En déduire que `(F)` n'admet pas de solution dans `Z`


Solution

Session normale 2017


on admet que le nombre 2017 est un nombre premier et que `2016= 2^5*3^2*7` et `p` un nombre premier supérieur ou égale à 5

1) soit `(x,y) in N^*.N^*` vérifiant `px +y^(p-1) = 2017 `

a) Montrer que ` p < 2017 `

b) Montrer que `p ` ne divise pas `y`

c) Montrer que `y^(p-1) = 1 [p] ` , puis en déduire que `p` divise ` 2016 `

d) Montrer que `p=7`

2) Déterminer suivant les valeurs de `p` les couples `(x,y)in N^*.N^* : px +y^(p-1) = 2017 `


Solution

ENSAM -2023

Résoudre dans `Z^2 ` l'équation ` x^2 -3y^2 = 8 `


Solution

Olympiade 2022

Soient `m` et `n ` deux entiers naturels premiers tels que ` m+n^2 ` est un carré parfait

Montrer que le nombre `m^2+n^(2022)` n'est pas un carré parfait


Solution


Olympiade 2022

Un tailleur dispose d'un morceau de tissu , il le découpe en 4 morceaux , il choisit ensuite un des quatre morceaux qu'il le découpe à nouveau en 4 morceaux . le tailleur répète cette opération un nombre de fois

Est il possible d'avoir , après ces opérations , 2022 morceaux de tissu ?


Solution

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