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Soit `f` la fonction définie sur l'intervalle `]0,+infty[` par `f(x)= x-(lnx)^2`

On note `C_f` la courbe représentative de `f` dans un repère orthonormé `(O , vec(i) , vec(j))` avec `abs(abs(vec(i)) ) = 2cm `

1) a) Montrer que `H : x->xlnx -x` est une fonction primitive de la fonction `ln` sur `]0,+infty[`

b) Montrer que `int_1^e lnx dx = 1 `

2) En utilisant une intégration par parties , montrer que `int_1^e (lnx)^2dx = e-2 `

3) Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe `C_f` , la droite `(D) : y = x ` et les droites d'équations cartésiennes `
x= 1 ` et `x = e `


Solution

On pose Pour tout ` n in N : I_n = int_0^1 x^n e^(-x) dx `

1) Calculer `I_0 text{ et } I_1`

2) A l 'aide d'une intégration par parties , montrer que ` forall n in N : I_(n+1)= (n+1)I_n -1/e `

3a) Vérifier que pour tout ` n in N : I_n >= 0 `

b) Montrer que la suite `(I_n)` est décroissante puis en déduire qu'elle est convergente

4a) Justifier que pour tout ` x in [0,1] : 1/e <= e^(-x) <= 1 `

b) Montrer que `forall n in N : 1/(e(n+1)) <= I_n <= 1/(n+1) `

c) En déduire `lim_{ n to +infty} I_n `


Solution

la courbe ci dessous représente une fonction définie par intervalles





Calculer les intégrales suivantes :

1) `I_1 = int_0^2 f(x) dx `

2) `I_2 = int_3^1 f(x) dx `

3) `I_3 =int_0^4 f(x) dx `

4) `I_4 = int_3^(1/4) f(x) dx `


Solution

pour tout `n in N ` on considère la suite `I_n` définie par `I_{n}=int_{1}^e x(lnx)^n dx `

1) Calculer `I_{0}` et `I_{1}`

2) a) En utilisant la formule d'intégration par parties déterminer `I_{n+1}` en fonction de `I_{n}`

b) Montrer que ` forall n in N : I_n >= 0 `

c) Montrer que la suite `(I_n) ` est décroissante

d) En déduire que ` forall n in N^(ast) : 0 <= I_n <= e^2/(n+1) `

e) Déterminer `lim_{ n to +infty} I_n `


Solution

pour tout ` n in N^(ast)` on considère la suite `(u_n)_(n >=1 )` définie par ` u_n = (-1)^n/(n!)int_1^e (lnt)^n dt `

1) Calculer `u_1`

2) Déterminer une relation entre `u_(n+1)` et `u_n `

3) Montrer que ` 1+u_n = e sum_{ k =0}^n (-1)^k/(k!) `

4) Montrer que `lim_{ n to +infty} u_n = 0`

5) En déduire que `lim_{ n to +infty} sum_{ k =0}^n (-1)^k/(k!) = 1/e `


Solution

1) Vérifier que ` forall x in [0,{pi}/3] : {sin^2x}/{cosx} = 1/{cosx} -cosx `

2) soit la fonction `F` définie sur `[0,{pi}/3] ` par `f(x)= ln(tan(x/2+{pi}/4))`

a) Vérifier que `F({pi}/3)= ln(2+sqrt(3))`

b) Montrer que `F` est une primitive de la fonction `f` définie sur `[0,{pi}/3] ` par `f(x)= 1/{cosx}`

3) Calculer `I= int_0^{{pi}/3) {sin^2x}/{cosx} dx `


Solution

On pose `I= int_0^1 1/{sqrt(1+x^2)}dx ` , `J= int_0^1 x^2/{sqrt(1+x^2)}dx ` , `K= int_0^1 sqrt(1+x^2)dx `

1) Sans calculer `I,J,K` montrer que `I+J= K `

2) a) Calculer la dérivée de la fonction `f(x)=ln(x+sqrt(1+x^2))`

b) En déduire que `I=ln(1+sqrt(2))`

3)a) Calculer la dérivé de la fonction `f(x)=xsqrt(1+x^2)`

b) En déduire que `J+k = sqrt(2)`

4) Calculer `J, K`


Solution

On pose pour tout ` n in N^(ast) : I_n = 1/2^n int_0^(1/2) (1-2x)^n/(1-x)^ndx `

1) Calculer `I_1 `

2) par intégration par parties montrer que `forall n in N^(ast) : I_(n+1)= - 1/(2^(n+1)n) + (n+1)/n I_n `


Solution

soit la fonction `f` définie sur `]0,+infty[` par `f(x)= x+{ln(x)}/x`

Partie A
soit la fonction `g` définie sur `]0,+infty[` par `g(x)=x^2+1-lnx`

1) étudier la variation de `g` sur `]0,+infty[`
2) étudier le signe de de `g` sur `]0,+infty[`

Partie B
1) calculer `lim_{ x to 0^+} f(x)` , donner une interprétation géométrique de `C_f`
2) calculer `lim_{ x to +infty} f(x)` et montrer que la droite d équation ` D: y=x` est asymptote à `C_f` au voisinage de `+infty`
3) calculer `f'(x)` pour `x in D_f`
4) en déduire le sens de variation de `f` et donner tableau de variation
5) déterminer le point `A` en lequel la tangente `(T)` est parallèle a `D`
6) tracer dans un repère orthonormé la courbe `C_f` et les droites `(T)` et `(D)`

Partie C
1) montrer que `int_{1}^e {ln(x)}/x dx= 1/2`
2) déterminer l aire du domine délimité par les droites d équations `x=1` ,`x=e` l'axe des abscisses et la courbe `C_f`


Solution

1) Vérifier que pour tout ` x in R-{ -1, 1} : (2x^3)/(x^2-1)= 2x+ (2x)/(x^2-1) `

2) En déduire que `int_(sqrt(2))^(sqrt(3)) (2x^3)/(x^2-1) dx = 1+ln2 `

3) En utilisant une intégration par parties calculer l intégrale ` A = int_(sqrt(2))^(sqrt(3)) 2xln(sqrt(x^2-1)) dx `


Solution

Calculer les intégrales suivantes

1) ` I_1 = int_0^1 (x^2-3)^2dx `

2) `I_2 = int_4^9 ( x -1/x^2 +1/(sqrt(x))) dx `

3) ` I_3 = int_(-2)^0 (x+1) sqrt(x^2+2x+3) dx `

4) `I_4 = int_1^8`

5) `I_5 = int_0^(lnsqrt(3)) e^(2x) sqrt(1+e^(2x)) dx `

6) `I_6 = int_0^(ln2) e^(3x)/(1+e^(3x))^2 dx `

7) `I_7 = int_(-(pi)/2)^0 (sinx)/(sqrt(3+cosx)) dx `

8) `I_8 = int_0^((pi)/4) sin(3x)cos(5x)dx `


Solution

En utilisant la formule d'intégration par parties Calculer les intégrales suivantes

1) ` I_1 = int_0^((pi)/4) xsin(x/4) dx `

2) ` I_2 = int_1^e x(lnx)^2 dx `

3) `I_3 = int_1^e (lnx)/(sqrt(x)) dx `

4) `I_4 = int_0^((pi)/2) x^2 sin(2x) dx `

5) `I_5 = int_0^((pi)/3) (xsinx)/(cos^3x) dx `

6) ` I_6 = int_0^(pi) e^x sinx dx `


Solution

1a) Montrer que pour tout ` x in [-(pi)/6 ,0] `

` (4cosxsin^2x)/(1-2sinx) = -sin(2x) -cosx + (cosx)/(1-2sinx) `

b) Calculer l intégrale ` int_(-(pi)/6)^ 0 (4cosxsin^2x)/(1-2sinx) dx `


Solution

Bac 2002


1) Calculer `int_((pi)/4)^((pi)/3) [ 1/(cos^2x) -4cos(2x) ]dx `

2) Vérifier que `( x/(x^2+1) )' = (1-x^2)/(x^2+1)^2 ` puis calculer `int_1^(sqrt(3)) (1-x^2)/(x^2+1)^2 dx `


Solution

Session de rattrapage 2003


1) Calculer `I = int_(1/e)^e xabs(lnx) dx `

2) a ) Déterminer `a text{ et } b ` tels que pour tout ` t ne -1 : (2t)/(1+t)= a + b/(1+t) `

b) Calculer `J = int_2^3 (2t)/(1+t)dt `


Solution

Session de rattrapage 2004


1) Montrer que pour tout ` x in R : 1/(e^x+1)^2 = 1 -e^x/(e^x+1) - e^x/(e^x+1)^2 `

2) Calculer l intégrale ` I = int_0^1 1/(e^x+1)^2 dx `

3) En utilisant une intégration par parties calculer l intégrale `J = int_0^1 (xe^x)/(e^x+1)^3dx `


Solution

Session normale 2007


1) Montrer que pour tout ` x in R-{-1} ` `x^2/(1+x)= x-1+ 1/(1+x) ` , puis montrer que `int_0^2 x^2/(x+1)= ln3`

2) Par une intégration par parties montrer que `int_0^2 xln(1+x)dx = 3/2ln(3)`


Solution

Session normale 2009

On pose ` I = int_(-2)^(-1) x/(x+3) dx ` et `J = int_(-2)^(-1) ln(2x+6) dx `

1) Vérifier que pour tout ` x in R-{ -3} : x/(x+3)= 1 -3/(x+3) `

2) Montrer que ` I = 1 -3ln2 `

3) En utilisant une intégration par parties montrer que ` J = -I `


Solution

Session normale 2018


1) Montrer que la fonction `H(x)= xe^x` est une primitive de la fonction `h(x)= (1+x)e^x`

2) Déduire que `int_{0}^1 (1+x)*e^x dx=e`

3) Par intégration par parties calculer `int_{0}^1 (x^2+2x-1)e^x dx`


Solution

Session normale 2022


On considère la fonction `h` définie sur `R` par `h(x)= (x+1)e^x `

1)a) Vérifier que ` H(x)= xe^x ` est une primitive sur `R` de `h(x) ` , puis calculer `int_(-1)^0 h(x) dx `

b) par intégration par parties calculer `J = int_(-1)^0 (x+1)^2e^x dx `

2a) Résoudre l'équation différentielle `(E) : y'' - 2y' +y = 0 `

b) Montrer que `h` est la solution de `(E)` qui vérifie `h(0)= 1 ` et `h'(0)= 2`


Solution
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