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Calcul trigonométrique Cours Cours en vidéos

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1) Exprimer en degré les mesures d'angles suivants :

` 0, 3 pi text{ rad } ` , ` (pi)/5 text{ rad } `, ` (3pi)/2 text{ rad } ` , ` (pi)/8 text{ rad } ` , ` (7pi)/(12) text{ rad } ` , ` (9pi)/5 text{ rad } `

2) Exprimer en radian les mesures d'angles suivants

` 90^°` , ` 180^°` , ` 45°` , ` 200^°` , ` 75°`

3) Exprimer en grade les mesures d'angles suivants :

` 260°` , ` 150°` , ` 90°` , `(7pi)/3 text{ rad } ` , `(11pi)/6 text{ rad }`


Solution

un angle orienté a pour mesure principale ` (-5pi)/6 `

Donner quatre autres de ses mesures


Solution

Donner la valeur exacte des expressions suivantes :

` A = sin((pi)/4) + cos((pi)/4) `

` B = 2sin((pi)/3)cos((pi)/3) `

` C = 2sin((pi)/3) -cospi + tan^2((pi)/4) `

` D = sin((pi)/3) -cos((pi)/6) + tan((pi)/3) `

` E = (tan(0^°)+ tan(60^°))/(1-tan(0^°)xxtan(60^°)) `


Solution

1) Calculer `sinx` et `tanx` sachant que ` cosx=4/5` et ` 0 < x < pi/2`

2) Calculer `sinx` et `cosx` sachant que `tanx=1/3` ` -pi < x < -pi/2`


Solution

Simplifier les expressions suivantes :

`A= 3cosx -2cos(pi -x) +2sin((pi)/2-x) -2cos(pi+x) `

`B = cos(x -(5pi)/2) + sin( 3pi +x) + cos((7pi)/2 +x) `

`C = cos((pi)/2-x) + cos(pi -x) + cos((3pi)/2 -x) -cos(2pi -x) `


Solution

Soit `k in Z `

Représenter sur le cercle trigonométrique les points d'abscisses

` a = (pi)/3 + 2kpi `

` b = pi + 2kpi `

` c = (2kpi)/3 `

` d = -(pi)/2 + k(pi)/3 ; `


Solution

Sachant que `sin({pi}/5) = {sqrt(10-2sqrt(5))}/4`

Calculer ` sin({101pi}/5)` , ` cos({4pi}/5)` , ` sin({-49pi}/5)` , ` sin({36pi}/5)` ,` cos({3pi}/{10})` , ` cos({-44pi}/5)`


Solution

soit `x in R` tel que `cosx+sinx = 5/6`

Calculer :

1) `cosx xx sinx`

2) `1/{cosx} +1/{sinx}`

3) `tanx+1/{tanx}`

4) `sin^3x+cos^3x`


Solution

soit la fonction `f` définie par `f(x)=1-4cos^2x+2sinxcosx`

1) montrer que `f(x)=f(x+pi)`

2) calculer `f({2pi}/3)` , `f({31pi}/6)`, `f(2006pi)`

3) soit `x in R` avec `-pi/2 < x < pi/2 `

on pose `t=tanx` calculer `f(x)` en fonction de `t`


sans solution

1) Montrer que les nombres ` {61pi}/6 , {-47pi}/6 , {25pi}/6` représentent l'abscisses curvilignes du meme point

2)
a) Vérifier que `(cosx-sinx)^2+(sinx+cosx)^2= 2 `

b) Calculer `cosx` et `sinx` sachant que `cosx-sinx= sqrt(2) `

3) Montrer que pour tout réel `x` `tan^2x-sin^2x= tan^2x*sin^2x`

4) Simplifier :

a) `A= cos({pi}/7)+ cos({2pi}/7) + cos({8pi}/7) + cos({9pi}/7)`

b) `B= sin^2({pi}/8)+ sin^2({3pi}/8)+ sin^2({5pi}/8) + sin^2({7pi}/8)`


Solution

soit ` x ` un élément de `[0 ,pi ] ` et ` x ne {pi}/2`

on pose `P(x) = 2(1-cos^2(x+{pi}/2)) -cos(pi-x)sin(pi+x)`

1) Simplifier `P(x)` puis Calculer `P(0) ` et `P({pi}/4)`

2)

a) Montrer que `P(x) = {2-tanx}/{1+tan^2x}`

b) Calculer `P({pi}/3)` et `P(pi)`

3) On suppose que `P(x)= 2 ` et `x` un élément de l’intervalle `[0 ,{pi}/2[`

a) Trouver la valeur de `tanx`

b) En déduire la valeur de `x`


Solution

on pose `A(x)= sin^4(x) -cos^4(x)`

1) Montrer que `A(x) = ( sqrt(2)sinx -1)( sqrt(2)sinx +1)`

2) Résoudre dans `R` , puis sur l intervalle `[0 ,2pi] `l équation `A(x) = 0 `

2) Résoudre sur l intervalle `[0 ,2pi] ` l inéquation `A(x) <= 0 `


sans solution

soit `x in [0,pi/4]` tel que `sinxcosx=2/5`

1) Calculer :

a) `sinx+cosx`

b) `cosx-sinx`

2) soit `m in N^(ast) `

Montrer que `cos^{2m}x +sin^{2m}x={4^m+1}/5^m`


Solution

1) calculer en fonction de `sinx` et `cosx` les expressions suivantes
`A(x)=sin(pi/2-x)cos(pi-x) -cos({17pi}/2-x)sin(x-3pi)`
`B(x)=2sin({7pi}/2 +x)+sqrt(3)sin(pi+x)+cos(5pi +x) `
2) calculer
`A(-pi/3)` , `A({27pi}/6)`, `B({15pi}/2)`, `B({-15pi}/4)`


sans solution

Soient `A((10pi)/3)` et `B((23pi)/6)` et `D` avec `(hat(vec(OB),vec(OD)))=-pi/3 [2pi]`

1) Déterminer les abscisses curvilignes principales des deux points

2)Déterminer la mesure principale de l'angle `(hat(vec(OB),vec(OA)))`

3)Déterminer la mesure principale de l'angle `(hat(vec(OD),vec(OA)))`

4) Représenter sur le cercle trigonométrique les points `A` et `B` et `D`


Solution

1 ) Résoudre dans `[-pi,pi] ` l'équation `2sin2x -1 = 0 `


Solution
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