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Déterminer le domaine de définition de la fonction `f` dans les cas suivants

1) `f(x)=x^3-3cosx +1`

2) `f(x)=2x-2sqrt(x)`

3) `f(x)=x^3 -x^2 +2/x`

4) `f(x)=5/{x-2}`

5) `f(x)=x^2 -sqrt(3x+4)`

6) `f(x)={sinx}/{x^2+1}`


Solution

Déterminer le domaine de définition de la fonction `f` dans les cas suivants :

1) `f(x)= {3x}/{x^2-9}`

2) `f(x)= sqrt(x) +1/{x-1}`

3) `f(x)= sqrt(3x-1)`


Solution

Déterminer le domaine de définition de `f` dans les cas suivants

1) `f(x)=3/5x^2-4x+2`

2) `f(x)={x-1}/{x-2}`

3) `f(x)=sqrt(x^2-x-2)`

4) `f(x)={ x+4}/{sinx-1}`

5) `f(x)={2 +sqrt(x+1)}/{sqrt(2-x)}`

6) `f(x)={x+1}/{3-abs(x-2)}`


Solution

Déterminer domaine de définition de `f` dans les cas suivants :

1) `f(x)= {sqrt(3-x)}/x`

2) `f(x) = 1/{sqrt(x^2-3x-3)}`

3) `f(x)= sqrt(x^2-2x -3)`

4) ` f(x) = {2x-1}/{(x-1)sqrt(x)}`


Solution

Déterminer domaine de définition de `f` dans les cas suivants

A) `f(x) = {5x}/{abs(x) +2}`

B) `f(x) = {x^2}/{abs(x-3)}`

C) `f(x) = {x-1}/{(x-1)^2-4}`

D) `f(x) = sqrt(abs(x) -3)`

E) `f(x) = sqrt(abs(x)+7)`

F) `f(x) = sqrt({x+5}/{x-5})`

G) `f(x) = sqrt(-x)`

H) `f(x) = {sqrt(x+3)}/{sqrt(x-5)}`


Solution

Dans la figure ci jointe `ABC` est un triangle tels que `BC= 7` et l' hauteur `AH= 4 `

M un point du segment `[BC]`

on note `BM = x ` et on considère les fonctions `f(x)` la surface du triangle `ABM` et `g(x)` la surface du triangle `ACM`



1)
a) Déterminer le domaine de définition de `f` et `g`

b) Donner les expressions de `f` et `g` en fonction de `x`

2)
a) Calculer `f(1)` et `g(1)`

b) existe -t - il une valeur de `x ` telle que `f(x)= 6 `

c) existe -t - il une valeur de `x ` telle que `g(x)= 6 `

3) Tracer les courbes `C_f` et `C_g` dans le meme repère orthonormé `(O,vec(i),vec(j))`


Solution

soit `f` la fonction définie sur `R` par `f(x)= abs(2x+5) -abs(2x-5)`

1) Montrer que `f` est impaire

2) Calculer `f(1/3)` , `f(-1/3)`

3) Ecrire la fonction `f` sans valeur absolue dans les deux cas suivants

a) pour ` x >= 5/2`

b) pour ` 0 <= x <= 5/2`

4) Tracer la courbe `C_f` dans un repère orthonormé `( O , vec(i),vec(j))`


Solution

Etudier la parité de la fonction `f` dans les cas suivants

1) `f(x)= x^2 -2abs(x) -3`

2) `f(x)= x^3/{abs(x-1) +abs(x+1)}`

3) `f(x)=sin2x(1-cosx)`

4) `f(x)=sin3xtanx`

5) `f(x)=sqrt(2x-3)`


Solution

On considère la fonction `f` définie par `f(x)= abs(x+3) -2 `

1) Donner une expression de `f` sans valeur absolue

2) a) Tracer la courbe `C_f` dans un repère orthonormé `(O,vec(i),vec(j))`

b) donner le tableau des variations de `f`

3) Tracer dans le meme repère la droite `Delta` d'équation `Delta: y=-3x `

4) Déterminer les points d'intersection de `C_f` et la droite `Delta`

5) Résoudre dans `R` l'équation `f(x)= -3x`

6) Résoudre graphiquement l inéquation `f(x) <= -3x`


Solution

Soit `ABCD` un rectangle de largeur `x` et de longueur `4-x` et de surface `A(x)`



1) Déterminer les valeurs possibles pour `x`

2) Donner l expression de la surface `A(x)` en fonction de `x`

3) Tracer la courbe de `A(x)` sur l intervalle `[0,4]`

4) Déterminer la valeur de ` x` pour que la surface `A(x)` soit maximale


Solution

Sur la figure ci jointe le point `M(x)` varie sur le demi-cercle `C` de diamétre ` [AB] = 2 `

On pose `BM = f(x) ` et `AM = x `



1) Déterminer l expression de `f(x)`

2) Calculer la distance ` BM` lorsque la distance `AM= 3/2`


Solution

le plan est rapporté à un repère orthonormé `(O,vec(i),vec(j))`. on considère la fonction `f` définie par `f(x)= abs(x-1) -2abs(x)`

1) Ecrire `f(x)` sans valeur absolue

2) Tracer la courbe `C_f`

4) Déterminer l'ordonné du point `D` de `C_f ` , d'abscisse ` x_0 = 5 `

5) Déterminer l'abscisse du point `E` de `C_f ` , d'ordonné `y= -3 `


Solution

on considère les deux fonctions ` f(x)= sqrt(x -1/x^2)` et `g(x)= {sqrt(x^3-1)}/x `

Montrer que `f=g`


Solution

soit la fonction `f` définie sur `R` par `f(x) = {2x}/{1+x^2}`

1) Montrer que `forall x in R` ; ` abs(f(x)) <= 1`

2) Montrer que `f` est impaire

3) Montrer que `forall (x , y ) in R^2 : f(x) -f(y) ={2(1-xy)(x-y)}/{(1+x^2)(1+y^2)}`

4) En déduire la monotonie de `f` sur `[0,1]` et sur `[1,+infty[`

5) En déduire la monotonie de `f` sur `R`

6) Soit ` a , b ` tels que ` a+b >= sqrt(2) ` montrer que `((a+b)^2+1)/(a+b) >= (3sqrt(2))/2`


Solution

On considère la fonction `f` définie par `f(x)= x/{1+x}`

1) Déterminer le domaine de définition de `f`

2) Montrer que `forall x in R^+ : 0 <= f(x) <= 1`


Solution

soit la fonction `f` définie par `f(x)=x^2-4x+1`

Montrer que `f` admet un minimum en `x_0=2` sur `R`


Solution

soit la fonction définie sur `R` par `f(x)=x^2-6x+4`

1) Montrer que `forall x in R : f(x)= (x-3)^2-5`

2) En déduire que `f` admet un minimum

3) Etudier les variations de `f` sur `]-infty, 3 ]` et `[3,+infty[`


Solution

soit la fonction définie par `f(x)=2cos^2(x) + cosx-1`

1) Déterminer domaine de définition de la fonction

2) Montrer que f est périodique de période `T=2pi`

3) Montrer que `f` est paire

4) Calculer `f(0)` , `f(pi)` , `f(pi/2)`, `f(pi/3)`

5) Résoudre dans `R` l équation `f(x)=0`


Solution

soit la fonction `f ` définie par ` f(x) ={2x}/{x^2+ 1}`

1) Déterminer `D_f` domaine de définition de `f `

2) Montrer que `forall x in D_f , -1 <= f(x) <= 1 `

3) Est ce que `-1,1` sont des extremums de `f, ` justifier


Solution

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