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Trigonométrie Cours Cours en vidéos

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Dans le plan rapporté à un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j))` et `C` le recle trigonométrique qui lui associé , soient `a` et `b` deux nombres réels on considère les points `A`et `B` du cercle `C` tels que :

`(bar((vec(i), vec(OA)))) = a [2pi]` et `(bar((vec(i), vec(OB)))) = b[2pi]`


1 a) Montrer que `(bar((vec(OA), vec(OB)))) = b-a [2pi]`

b) En déduire que `vec(OA).vec(OB)= cos(b-a)`

2 a) Déterminer les coordonnées de chcun des vecteurs `vec(OA) ` et ` vec(OB)`

b) En utilisant l'expression analytique du produit scalaire , Montrer que `cos(b-a)= cosacosb+sin(a)sin(b)`

3) En déduire les égalités suivantes :

` cos(a+b)= cosacosb -sinasin(b)`

` sin(a+b)= sinacos(b) + cosasinb`

` sin(a-b)=sinacosb -cosasinb`

4 a) En utilisant les résultats de la question 3) Etablir les formules suivantes :

` ast : cos(2a)= cos^2a - sin^2a = 2cos^2a -1 = 1 -2sin^2(a) `

` ast : sin(2a) = 2sinacosa`

b) En déduire que `cos^2a = (1+cos(2a))/2 ` et `(sin^2a)= (1-cos(2a))/2`


Solution

1) En remarquant que `(7pi)/(12)= (pi)/3 +(pi)/4 ` . Calculer ` cos((7pi)/(12))` et `sin((7pi)/(12))`

2) Calculer ` sin((5pi)/8)cos((pi)/8) - cos((5pi)/8)sin((pi)/8) `

3) Montrer que ` sqrt(3) cos((pi)/8) + sin((pi)/8) = sqrt(2)cos((pi)/(24))`

4) soit ` x in R ` établir les égalités suivantes :

` cosx -sqrt(3) sinx = 2sin((pi)/6 -x) `

` cosx -sinx = sqrt(2)cos(x+(pi)/4)`


Solution

1a) Vérifier que `(5pi)/(12)= (pi)/4 +(pi)/6 `

b) Calculer `cos((5pi)/(12) )` ;`sin((5pi)/(12)) ` ; `tan((5pi)/(12) )`

2a) Vérifier que `(13pi)/(12)= (pi)/3 +(3pi)/4 `

b) Calculer `cos((13pi)/(12) )` , `sin((13pi)/(12) )` , `tan((13pi)/(12)) `


Solution

1) vérifier que `(11pi)/(12)= (2pi)/3 + (pi)/4`

2) Calculer `cos((11pi)/(12))` et ` sin((11pi)/(12))`

3) sans Calculer `tan((11pi)/(12))` sans utiliser la question 2)


Solution

Soit `a` et `b` deux réels tels que `a ne (pi)/2 +kpi ` et `b ne (pi)/2 +kpi ` et `a+b ne (pi)/2 +kpi ` et `a-b ne (pi)/2 +kpi `

1 Montrer que `tan(a+b)= (tana+tanb)/(1-tanatanb)` et `tan(a-b)= (tana-tanb)/(1+tanatanb)`

2 On suppose que `a ne (pi)/4 +(kpi)/2; k in Z `

a) Déduire que `tan(2a)= (2tana)/(1-tan^2a)`

b) Montrer que `tan((pi)/8)= sqrt(2) -1 `


Solution

Montrer que `(2tan((pi)/8))/(1-tan^2((pi)/8)) = 1`


Solution

1) Vérifier que `(pi)/(42)= (pi)/6 -(pi)/7`

2) Calculer `cos((pi)/(42)) ` et ` sin((pi)/(42))` en fonction de `cos((pi)/7)` et ` sin((pi)/7)`


Solution

1 En remarquant que `(5pi)/(12)= (2pi)/(3) -(pi)/4 ` calculer ` tan((5pi)/(12))`

2 soit `x in R ` tel que `x ne (pi)/2 +kpi ` et `x ne -(pi)/4 +kpi ` et ` x ne (pi)/4+ kpi `

Simplifier `tan((pi)/4 -x)tan((pi)/4+x) `


Solution

1 sachant que `(5pi)/(12) = (2pi)/3 -(pi)/4 ` calculer ` cos((5pi)/(12))` et `sin((5pi)/(12))`

2 Calculer ` cos((11pi)/(12))` et `sin((11pi)/(12))`

3 Soit `x in R ` établir les égalités suivantes

` ast : cosx -sqrt(3)sinx = 2sin((pi)/6 -x) `

` ast : cosx +sinx = sqrt(2)cos(x-(pi)/4) `

`ast: sqrt(3)cosx + sinx = 2sin(x+(pi)/3) `

`ast : -sqrt(6)cosx -sqrt(2)sinx = 2sqrt(2)cos(x+(5pi)/6)`


Solution

Montrer que `tan((pi)/8) = sqrt(2) -1 `


Solution

1) Calculer :
`A= cos((pi)/(12))cos((5pi)/(12)) +sin((pi)/(12))sin((5pi)/(12)) `

`B= cos((pi)/(12))cos((5pi)/(12)) -sin((pi)/(12))sin((5pi)/(12))`

2) EN déduire `cos((pi)/(12))cos((5pi)/(12)) = sin((pi)/(12))sin((5pi)/(12))= 1/4 `


Solution

Soit `x in R ` établir les égalités suivantes

1 `1+sinx = (cos(x/2) +sin(x/2))^2 `

2 `1+cosx +2sin^2(x/2)= 2 `

3 ` 2sinx +sin(2x)= 8sin(x/2)cos^3(x/2) `

4 ` 1-cosx +sinx = 2sin(x/2)(sin(x/2)+cos(x/2))`

5 `1+cosx-sinx = 2sqrt(2)cos(x/2)cos(x/2+(pi)/4)`


Solution

Calculer en fonction de `cosx` et `sinx` les expressions suivantes

`A= cos( x+(pi)/3) + 2sin(x+(pi)/3)`

`B= sin(x-(pi)/4) + cos(x-(pi)/4) `

`C= cos((3pi)/4 -x ) + sin((5pi)/3 +x) `

`D= cos((3pi)/4 +x ) + sin( x-(3pi)/4 ) `

`E = 2cos( x+ (2pi)/3) -sin((5pi)/6 -x) `


Solution

Soit `x in R ` tel que `sinx ne -1 `

Montrer que `(1-sinx)/(1+sinx) =tan^2((pi)/4 -x/2) `


Solution

Simplifier les expressions suivantes :

1) `cos(4x)cos(5x) +sin(4x)sin(5x)`

2) `sin(5x)cos(7x) - sin(7x)cos(5x)`

3) `{tanx+tan(2x)}/{1-tanx.tan(2x)}`

4) `{tan(2x)-tan(3x)}/{1+tan(2x).tan(3x)}`


Solution

Soit `a` et `b` deux réels tels que `(a,b) ne (0,0) `

Pour tout `x in R ` on pose `A(x)= acosx + bsinx `

1 Vérifier que `A(x)= sqrt(a^2 +b^2) ( a/(sqrt(a^2+b^2)) cosx +b/(sqrt(a^2+b^2))sinx)`

2 a) Montrer qu'il existe un nombre réel `alpha` tel que `cosalpha = a/(sqrt(a^2+b^2))` et `sinalpha = b/(sqrt(a^2+b^2))`

b) En déduire que `A(x)=sqrt(a^2+b^2)cos(x-alpha)`

3) Transformer les expressions suivantes

` ast : A_1(x)= cosx -sinx `

` ast : A_2(x)= sqrt(3)cosx +sinx `

` ast : A_3(x)= cosx -sqrt(3)sinx `


Solution

Ecrire sous forme de somme les produits suivants

1 `A(x)= cosxcos(5x) `

2 `B(x)= sin(3x)sin(4x) `

3 `C(x)= cos(x-(pi)/3) sin(2x+(pi)/4) `


Solution

Soit `a` et `b` deux réels montrer que

1 `cosacosb = 1/2[ cos(a-b) +cos(a+b)]`

2 `sinasinb = 1/2[ cos(a-b) -cos(a+b)]`

3 `sinacosb = 1/2[ sin(a+b) +sin(a-b)]`

4 `cosasinb = 1/2[ sin(a+b) -sin(a-b)]`

5 on pose `p =a+b ` et `q= a-b `

a) Vérifier que `a = (p+q)/2 ` et ` b = (p-q)/2 `

b) En déduire les égalités suivantes :

`cosp +cosq= 2cos((p+q)/2)cos((p-q)/2)`

`cosp -cosq= -2sin((p+q)/2)sin((p-q)/2)`

`sinp +sinq= 2sin((p+q)/2)cos((p-q)/2)`

`sinp -sinq= 2sin((p-q)/2)cos((p+q)/2)`

6 Montrer que `cosx -cos(3x)= 4sin^2xcosx`


Solution

Soit `x in R ` tel que `x ne kpi ` pour tout ` k in Z `

Montrer que :

1 `(1-cosx)/(sinx) = tan(x/2) `

2 `(sinx) =(1+cosx)tan(x/2) `


Solution

Soit `a in R ` tel que `(pi)/2 < a < pi ` et `sin(a)=4/5`

et ` b in R ` tel que ` 0 < b < (pi)/2 ` et ` cos(b)=1/2 `

1) Calculer ` cosa` et ` sinb `

2) Calculer ` cos(a-b) ` et ` sin(a-b) `

3) Calculer ` cos(a+b) ` et ` sin(a+b) `


Solution

soit ` a, b ` deux réels de l'intervalle `]0,(pi)/2[` tels que ` cos(a)=8/(17)` et ` sinb = (21)/(29)`

Calculer ` sina` , ` cosb` , ` cos(a+b)` , ` sin(a-b)`


Solution

soit ` x in ]0,{pi}/4[` Montrer que `{sin(6x)}/{sin(2x)} - {cos(6x)}/{cos(2x)} = 2`


Solution

Calculer `cos(2a) ` dans chacun des cas suivants :

1) ` cos(a)= 1/2 `

2) ` cos(a)= -3/4 `

3) ` cos(a)= (-sqrt(3))/3 `

4) ` sin(a)= 3/4 `

5) ` sina= -1/3 `

6) ` sina = -(sqrt(2))/4 `


Solution

Calculer ` sin(2a) ` dans chacun des cas suivants :

1) ` sina = 1/3` et ` a in [0 ,(pi)/2]`

2) ` sina = (2sqrt(5))/5 ` et ` a in [2pi , 3pi]`

3) ` cosa = (sqrt(3))/3` et ` a in [pi , 2pi]`

4) ` cosa =- 4/5` et ` a in [-pi , 0]`


Solution

Soit ` a in R ` tel que ` a in [-pi ,0 ] ` tel que ` cos(a)= -1/3 `

Calculer `sin(2a) ` , ` cos(2a) ` et ` sin(4a) `


Solution

Montrer que :

1) `sin((pi)/8) cos((pi)/8)= (sqrt(2))/4`

2) ` cos((pi)/(18)) -sqrt(3)sin((pi)/(18)) = 2cos((7pi)/(18))`


Solution

Soit ` x in R `
1) calculer en fonction de ` cos(2x)` les expressions suivantes

`A= 3cos^2x -5sin^2x `

`B = 3cos^2x +2sin^2x +4sin^2cos^2x `

`C = cos^4x -sin^2x `


Solution

1) Montrer que `(forall a in ]0,{pi}/2[ ` : `tan(a/2) = {1-cos(a)}/{sina}`

2) Calculer `tan({pi}/{12}) ` et `tan({pi}/8) `


Solution

soit ` x in R ` Montrer que

1) `cosx + cos(x+{2pi}/3) + cos(x+{4pi}/3) = 0 `

2) `sinx + sin(x+{2pi}/3)+ sin(x+{4pi}/3) = 0 `


Solution

soit ` x in R ` on pose `A(x)= cosx +cos(3x)+cos(5x) +cos(7x) `

1) Montrer que `A(x)= 4cosxcos(2x)cos(4x)`

2) a ) Montrer que ` forall alpha in R : cos(alpha)sin(alpha)=1/2sin(alpha)`

b) En déduire que `sin((pi)/9)A((pi)/9)=1/2*sin((pi)/9)`

3) Déterminer la valeur de `cos((pi)/9)cos((2pi)/9)cos((4pi)/9)`


Solution

Montrer que :

1) ` forall x in ]-(pi)/2,(pi)/2[ : sqrt(1+tan^2(x)) -tanx = tan((pi)/4-x/2)`

2) ` forall x in [0,pi[ : sqrt((1-cosx)/(1+cosx)) = tan(x/2) `

3) ` forall x in ]-(pi)/2,(pi)/2[ : (1-tanx)/(1+tanx)= tan((pi)/4-x) `


Solution

Soit `A, B,C` des réels tels que `A+B+C = pi ` .

Montrer que `sinA+ sinB -sinC = 4sin(A/2)sin(B/2)cos(C/2) `


Solution

soit `x in [0,pi/4]` tel que `sinxcosx=2/5`

1) Calculer :

a) `sinx+cosx`

b) `cosx-sinx`

2) soit `m in N^(ast) `

Montrer que `cos^{2m}x +sin^{2m}x={4^m+1}/5^m`


Solution

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