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Equations différentielles Cours Cours en vidéos

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1) Résoudre les équations différentielles suivantes :

1 : ` y'+4y -7 = 0 `

2 : ` y' = -9y +2 `

3 : ` 3y'+5y = 8 `

4 : ` y'' = -2y' + 3 `

2) Déterminer la solution `f` de l'équation différentielle `y' -6y = 3 ` vérifiant ` f(1/6)= 0 `

3) Déterminer la solution `g` de l'équation différentielle `y'=piy +sqrt(2) ` vérifiant ` g(0)= -1 `


Solution

1) Résoudre les équations différentielles

1 : ` y' = 5y `

2 : ` y' +sqrt(2)y = 0 `

3 : ` y' = (ln2) y `

2) Déterminer la solution de l'équation différentielle `3y'+5y = 0 ` vérifiant ` y(0)= -7`


Solution

Résoudre les équations différentielles suivantes :

1) ` y'' + y' -2y = 0 `

2) ` 4y'' -4y' +y = 0 `

3) ` y'' - y' +y = 0 `

4) ` y'' = -2y' +3 `


Solution

Résoudre les équations différentielles suivantes :

1) ` y' = 2y +3 `

2) ` sqrt(2)y' +sqrt(2) y = sqrt(3) `

3) ` 3y' + 2y = 4 `

4) ` y' -(ln2)y = ln3`


Solution

On considère l'équation différentielle `(E) : 4y'' +5y' +y = 2e^(-2x)(7x -11)`

a) Vérifier que la fonction ` u` définie par `u(x)= 2xe^(-2x)` est une solution particulière de `(E) `

b) Soit `f` une solution de `(E) ` on pose ` f = g +u ` montrer que `g` est solution de l'équation `(F) : 4y'' +5y' +y = 0 `

c) Trouver toutes les solutions de l'équation `(F) ` puis résoudre l'équation `(E) `


Solution

Déterminer la solution de l'équation différentielle `(E)` qui vérifie la condition initiale ` y(x_0) = y_0 ` dans chacun des cas suivants :

1) ` E : 2y' +5y = 1/2 ` et ` x_0 = -1 ` et ` y_0 = 2 `

2) ` E : 3y' -4y = sqrt(2) ` et `x_0 = -2 ` et `y_0= -3 `

3) ` E : y'ln2 + y = ln8 ` et ` x_0 = ln2 ` et ` y_0= 1/e `


Solution

On considère l'équation différentielle `E : 4y' ' +pi^2 y = 0 `

1) Résoudre l'équation différentielle `(E) `

2) Déterminer la fonction `g` solution de l'équation `E` vérifiant les deux conditions suivantes :

1 ` A(1/2,(sqrt(2))/2) ` est un point de la courbe `C_g` de `g`

2 `C_g` admet une tangente horizontale en `A `


Solution

On considère l'équation différentielle `E :y' ' -y' -2y = (-6x -4)e^(-x)`

1) Résoudre l'équation `E_0 : y' ' -y' -2y = 0 `

2) Démontrer que la fonction `u` définie sur `R` par `u(x)=(x^2+2x)e^(-x)` est une solution de `E`

3) soit `f` une fonction définie et dérivable sur `R` .montrer que `f` est solution de `E` si et seulement si ` f-u` est solution de l'équation `E_0`

4) En déduire l'ensemble des solutions de `E`

5) Déterminer la solution `g` de `(E)` telle que `g(0)=g'(0)=1`


Solution

soit `f` une fonction définie et dérivable sur `R^(ast,+)` .telle que ` (E) : forall x > 0 : f'(x)=f(1/x)`

1) soit `g` la fonction définie sur `R` par `g(x)=f(e^x)`

a) Montrer que ` forall x > 0 : x^2f' '(x) + f(x)= 0 `

b) En déduire que la fonction `g` est solution de l'équation différentielle ` y' ' -y' +y = 0 `

2) Déterminer toutes les fonctions `f` vérifiant ` ( E) `


Solution

Session de rattrapage 2005

Partie 1

On considère l équation différentielle ` E : y'' -2y'+y= x-1 `

1) Résoudre l équation différentielle ` : y''-2y'+y = 0 `

2) Déterminer `a, b` pour que `y_0 = ax+b ` soit solution de `E`

3) On considère la fonction définie sur `[0,+infty[` définie par `g(x)= (x-1)e^x +x+1`

a) Montrer que `g` est solution de l équation `E`

b) Calculer `g'(x)` puis en déduire qu'elle est strictement croissante

c) Montrer que `forall x >= 0 : g(x) >= 0`

Partie II
on considère la fonction `f` définie sur `R^(ast) ` par `f(x)= {xe^x}/{(e^x-1)^2}`

1) a) Montrer que `f` est impaire

b) calculer `lim_{ x to 0^+} f(x) ` puis donner l interprétation graphique du résultat obtenu

2) Montrer que `lim_{ x to +infty} f(x) = 0` puis donner l interprétation graphique du résultat obtenu

3) Montrer que `f'(x) = -e^x/(e^x-1)^3xxg(x)` , puis donner tableau des variations de `f`


Solution
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