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Limites d'une fonction numérique Cours Cours en vidéos

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On considère la fonction ` f` définie sur `R^(ast) ` par ` f(x)= (sqrt(1+x^2) -1)/x `

1 Montrer que ` forall x in R^(ast) : abs(f(x))<= abs(x) `

2 En déduire `lim_{ x to 0} f(x) `


Solution

1 Calculer `lim_{ x to 0} x^3sin(1/x^2)` et `lim_{ x to 0} xcos((pi)/x) `

2 Montrer que ` forall x in ]-1, 1[ : abs(2x^3-3x)<= 3abs(x) ` , puis déterminer `lim_{ x to 0 } (2x^3 -3x)`

3 Justifier que pour tout ` x in [-1,1] : sqrt(abs(x) -x^2) <= sqrt(abs(x))` puis déterminer ` lim_{ x to 0} sqrt(abs(x) -x^2) `


Solution

Calculer les limites suivantes :

1 `lim_{ x to -2 } (x^2 -7x -1) `

2 `lim_{ x to -1} (x^(2018) -x^(2017) +2) `

3 `lim_{ x to -sqrt(3)} (x^3 -5x^2 +x+1) `

4 `lim_{ x to 3} (2x^2 -3x -9)/(x-1) `

5 `lim_{ x to 3/2} (x^2+x)/(2x-1) `

6 `lim_{ x to -2} (x^3 -6x^2 +5x+4)/(x^2+4x+3) `

7 `lim_{ x to 3} (x-2)^3(1-x^3) `

8 ` lim_{ x to 2} ((2x-1)(x^2-5x+3))/((5x^2-6)(1-x+x^2)) `

9 `lim_{ x to (pi)/4 ] sinx `

10 ` lim_{ x to (pi)/4} tanx `


Solution

On considère la fonction ` f ` définie sur `R` par `f(x)= (2x)/(1+x^2) `

1) Montrer que `( forall x in R ) : abs(f(x) -1) <= (x-1)^2 `

2) En déduire que `lim_{ x to 1} f(x)= 1 `


Solution


On considère la fonction ` f ` définie sur `R^+` par `f(x)= (sqrt(x))/(1+sqrt(x)) `

1) Montrer que `( forall x in R^+ ) : abs(f(x) -1/2) <= 1/2abs(x-1) `

2) En déduire `lim_{ x to 1} f(x) `


Solution

Calculer les limites suivantes :

1) `lim_{ x to +infty } (2x-5sqrt(x))`

2) `lim_{ x to -infty} sqrt(9x^2+3x-5) +x+3 `

3) `lim_{ x to +infty} sqrt(x+3) -sqrt(x) `

4) `lim_{ x to +infty } sqrt(x^2+5x+2) -x +4 `

5) `lim_{ x to +infty} sqrt(x+1) -sqrt(x) `

6) `lim_{ x to -infty } sqrt(4x^2+x+3) +2x-3`

7) `lim_{ x to +infty} sqrt(1+x) -xsqrt(1+x)`


Solution

On considère la fonction ` f ` définie sur `R^+` par `f(x)= (x-1)/(2x+1) `

1) Trouver un réel ` k ` tel que pour tout ` x in D_f : abs(x+1) <= 1/3 => abs(f(x)-2) <= kabs(x+1) `

2) En déduire ` lim_{ x to -1} f(x) `


Solution

Calculer les limites suivantes :

1) `lim_{ x to -infty } 4x^5 - 3x^2+7 `

2) `lim_{ x to +infty} (-2x^4+x^3-3x -1)^3 `

3) `lim_{ x to -infty } { x+3}/{x^2-5} `

4) `lim_{ x to +infty } {(1-x)^3}/{1+x+x^3} `

5) `lim_{ x to +infty } {x^2+5x}/{(2x+3)^2} `

6) `lim_{ x to -infty } {2x^2 -9x +5}/{2x^2 -(2x+1)^2} `

7) `lim_{ x to +infty } {(1-sqrt(2))x^2 +3x -5}/{x^2+x+2} `

8) `lim_{ x to -infty } ( {sqrt(2)x^2}/{x+1} -sqrt(3)x) `

9) ` lim_{ x to +infty} sqrt(x^3 -2x^2+3x -8) `

10) `lim_{ x to -infty } sqrt({2x^2-5x}/{8x^2+7})`

11) `lim_{ x to +infty} sqrt( 1/{2x-5})`

12) `lim_{ x to -infty} sqrt({5x^3-1}/{2x^3+7})`


Solution

1) ` lim_{ x to +infty} (cosx)/(x^2+1) `

2) ` lim_{ x to +infty} ( x+sinx)/(x^2+cosx) `

3) ` lim_{ x to +infty} (2x+cosx)/(3x+sinx) `

4) ` lim_{ x to +infty} (2-cosx)/(1+sqrt(x)) `

5) ` lim_{ x to -infty} (sinx)/(x^2+1) `

6) ` lim_{ x to -infty} (x^3)/(2-cosx) `

7) ` lim_{ x to +infty} (x+cosx)/(3-cosx) `

8) ` lim_{ x to +infty} (E(sqrt(x)))/x `


Solution

Calculer les limites suivantes :

1) `lim_{ x to sqrt(2) } {x^2-2}/{x-sqrt(2)}`

2) `lim_{ x to 3 } {x^2-5x+6}/{9-x^2}`

3) `lim_{ x to -5 } {x^2+6x+5}/{x^2+4x-5}`

4) `lim_{ x to 2 } {x^3-8}/{x^2-2x}`

5) `lim_{ x to 0 } {sqrt(x+4) -2}/{x-x^2}`

6) `lim_{ x to 4 } {sqrt(2x+1) -3}/{sqrt(x) -2 }`

7) `lim_{ x to -1 } {2x^3+3x^2+4x+3}/{x^2+3x+2 }`

8) `lim_{ x to 3 } {x^2-x-6}/{sqrt(x+6) -3 }`

9) `lim_{ x to 3 } {sqrt(2x+3) -sqrt(x+6)}/{sqrt(x-1) -sqrt(8-2x)} `

10 ) `lim_{x to 4} {sqrt(x+5) -sqrt(x) -1}/{sqrt(x+12) -sqrt(x) -2}`


Solution

On considère la fonction `f` définie sur `R-{1} ` par

`f(x)={sqrt(x^2-x)}/(x-1) text{ si } x > 1 `

`f(x) = {x^2-5}/{sqrt(1-x)} text{ si } x < 1 `

Calculer les limites suivantes :

a) `lim_{ x to 1^+ } f(x) `

b) `lim_{ x to 1^- } f(x) `

c) `lim_{ x to +infty } f(x) `

d) `lim_{ x to -infty } f(x) `

e) `lim_{ x to -infty } { f(x) }/x `


Solution

Calculer les limites suivantes :

1) `lim_{ x to 0 } {sin(7x)}/{4x} `

2) `lim_{ x to 0 } {tan(4x)}/{sin(3x)} `

3) `lim_{ x to 0 } {2x-tan(3x)}/{x+sin(4x)} `

4) `lim_{ x to 0 } {1-cos(4x)}/{sin(2x)tan(3x)} `

5) `lim_{ x to 0 } {sqrt(x+4) -2}/{sinx} `

6) `lim_{ x to +infty} {sinx}/{1+x^2}`

7) `lim_{ x to -infty} {1+x+cosx}/{x-1}`

8) `lim_{ x to +infty} {x^2+1+sinx}/x`


Solution

Calculer les limites suivantes

1) `lim_{ x to 0 } { sin(2x) -2sin(x)}/{x^3}`

2) `lim_{ x to +infty} x^2(1-cos(1/x))`

3) `lim_{ x to 0^+} {1-cos(sqrt(x))}/{sinx}`


Solution

Calculer les limites suivantes :

1) `lim_{ x to 0 } {sinx}/{sqrt(1+x) -1}`

2) `lim_{ x to 0 } {sinx(cos2x-cosx)}/{tanx-sinx}`

3) `lim_{ x to 1^+} {1-2x}/{sqrt(x-1)}`

4) `lim_{ x to +infty}sqrt(x^2+x+1)+x`


Solution

Calculer les limites suivantes

1) `lim_{ x to -infty} cos({pix+1}/x)`

2) `lim_{ x to +infty} sin(1/{sqrt(x)})`

3) `lim_{ x to 0} {sin^2(x)}/x`


Solution

Calculer les limites suivantes :

1) `lim_{ x to 3 } {7-5x}/(x-3)^2`

2) `lim_{ x to -1^- } {x+1}/{sqrt(x^2-1)}`

3) `lim_{ x to 1^-} {x^2-x-3}/{x^2+2x-3}`

4) `lim_{ x to 1^- } { sqrt(x^2-3x +2)}/{x-1}`

5) `lim_{ x to 1^- } { 8x-4}/{sqrt(1-x)}`

6) `lim_{ x to 4^+ } {x}/{ 2-sqrt(x)}`

7) `lim_{ x to 4^+ } { sqrt(x+12) - sqrt(3x-4)}/{ x^2-8x +16}`

8 ) `lim_{ x to 2^+} { sqrt(x) +sqrt(x-2) -sqrt(2)}/{ sqrt(x^2-4)}`

9) `lim_{ x to 2^-} {sqrt(4-x^2) +x-2}/{ x-2}`

10) `lim_{ x to -1} {x^3+1}/{(x+1)^3(x-2)}`

11) `lim_{ x to 0^+} {2-sqrt(x^2+4)}/{ sqrt(x) - sqrt(2x^2)}`

12) `lim_{ x to -3^-} {x^3}/{abs(x^2-9)}`

13) `lim_{ x to (1/2)^+} {3x^2 -x-1}/{4x^2-1}`


Solution

Soit ` a in R^(ast)` : Calculer les limites suivantes :

1) `lim_ { x to a} {x^2-ax}/{x^2-a^2}`

2) `lim_ { x to +infty} ( {x^5+x^4+x^3+x^2+x+1}/{x^4 -1} -ax ) `

3) `lim_ { x to a } {sinx -sin(a)}/{cosx-cosa} `

4) `lim_{ x to a} (a-x)tan({pix}/{2a})`

5) `lim_{ x to +infty} ( sqrt(x^2+x+1) -ax )`

6) `lim_{ x to -infty} ( sqrt(x^2+x+1) -ax )`


Solution

calculer les limites suivantes

1) ` lim_{x to 0} {sinx}/{3x} `

2) ` lim_{x to 0} {1-cos(2x)}/{x} `

3) ` lim_{x to 0} {tan(3x)}/{sinx} `


Solution

Calculer les limites suivantes :

1) `lim_{ x to 0} {sin(3x)}/{7x}`

2) `lim_{ x to 0} {tan(2x)}/{sin5x}`

3) `lim_{ x to 0} {1-cos(2x)}/{x^2}`

4) `lim_{ x to ({pi}/3)^+} 1/{cos(x) -1/2} `


Solution

Calculer les limites suivantes :

1) `lim_{ x to 0} x^2sin(1/x)`

2) `lim_{ x to +infty} {1-4cosx}/{x+3}`

3) `lim_{ x to {pi}/2} (pi -2x)tanx`

4) `lim_{ x to 0 } x sin(1/x) `


Solution

Calculer les limites suivantes

1) `lim_{x to 2} {x^2+x-6}/{sqrt(x)-sqrt(2)}`

2) `lim_{x to -2^-} { sqrt(x^2+x-2)}/{x^2-4}`

3) `lim_{x to +infty} { sqrt(x^2+3x)-x}/{sqrt(2x^2+x -5)}`


Solution

calculer les limites suivantes :

1) `lim_{x to 1} {x^2-1}/{2x^2-5x+3}`

2) `lim_{x to 1} {x^3+3x^2-4}/{x-1}`

3) `lim_{x to 3} {x^3+2x^2-11x-12}/{x^4-81}`


Solution

Déterminer `D_f ` le domaine de définition et calculer les limites aux bornes du `D_f` dans chacun des cas suivants :

1)
`f(x) ={1-cosx}/x text{ si } x ne 0`

`f(0)= 0`


2)

`f(x)= {x^2-3x+2}/{x-1} text{ si } x ne 1`

`f(1)= 1`


Solution

calculer les limites suivantes :

1) `lim_{ x to +infty} 1/x(sqrt(2x^2+1)- sqrt(x^2+x+1))`

2) `lim_{ x to -infty} sqrt(4x^2+3x-1) +2x +7`

3) `lim_{ x to + infty} sqrt(x^2-x) + sqrt(x^2+x) -2x `


Solution

calculer les limites suivantes :
1) `lim_{ x to 2} x^3 -2x+1 `
2) `lim_{ x to -1} {1-x^2}/{2x}`
3) `lim_{ x to 0 } sinx/x`


Solution
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