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Produit scalaire dans l espace Cours Cours en vidéos

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Soit ` A, B , C ` trois points de l' espace tels que ` AB = 5 ` , `AC =7 ` et ` vec(AB).vec(AC)= 3 `


1) Calculer le produit scalaire ` vec(AB).vec(BC) `

2) Calculer la distance `BC`


Solution

Soit `A, B , C ` trois points de l'espace tels que ` AB =sqrt(3) , AC =2sqrt(5)` et `BC = 4sqrt(2) `

1) Calculer le produit scalaire `vec(AB) .vec(AC)`

2) Soit `I` le milieu du segment `[BC]` calculer ` AI `


Solution

Etudier l'orthogonalité des vecteurs `vec(u)` , ` vec(v)` dans les cas suivants ` m in R `

1) ` vec(u) (-2/5 , 6/(13) , 4/7)` et ` vec(v)(7/(11) , -2/3 , -5/9) `

2) ` vec(u) (-2/3 , 0 , 2)` et ` vec(v)(-3 , 7 , 5/2) `

3) ` vec(u) = vec(i) + 3vec(j) + vec(k) ` et ` vec(v)= vec(i) -2vec(j) + 3vec(k) `

4) ` vec(u)= 3vec(i) +7vec(j) +3/7vec(k) ` et ` vec(v)= -mvec(i) + 3vec(j) + 7/2vec(k) `


Solution

On considère dans l'espace les points `A(3, 1, 4)` , `B(2, 3,5)` , `C(1, 3,2) `

1) les droites `(AB)` et `(AC)` sont elles orthogonales ?

2) Soit `(P)` l'ensemble des points `M` de l'espace tels que `vec(AM).vec(AB)= 0 `

Déterminer une équation cartésienne et la nature de l'ensemble `(P) `


Solution

Déterminer une équation cartésienne de plan `(P)` passant par `A` et de vecteur normal `vec(n)` dans chacun des cas suivants :

1) ` A= (1, -2, 1) ` et ` vec(n)(1, -1, 1) `

2 ) ` A( -1, 0, 2) ` et ` vec(n)(2, -3, 5/2) `

3) ` A( -1, 1, -3)` et ` vec(n)= vec(i) -2vec(k) `

4) ` A(4,1, 0) ` et ` vec(n)= vec(i) -2vec(j) -vec(k) `


Solution

Montrer que les plans `(P)` et `(Q)` sont perpendiculaires dans chacun des cas suivants :

1) `(P) : x -y +z = 3 = 0 ` et `(Q) : 2x+y -z+7 = 0 `

2) `(P) : 6x -2y +5z = 0 ` et `(Q) : x+3y -2 = 0 `

3) `(P) : x+y -3 = 0 ` et `(Q) : 2x -2y +5 = 0 `

4) `(P) : z -2 = 0 ` et `(Q) : 3x -2y -2 = 0 `


Solution

On considère le plan `(P)` d'équation cartésienne ` (P) : x+2y -3z -5 = 0 ` et le point `A(1, -3,2) `

1) Déterminer une représentation paramétrique de la droite `(Delta)` passant par `A` et perpendiculaire à `(P) `

2) Déterminer les coordonnées de `H` projeté orthogonal du point `A` sur le plan `(P) `


Solution

1) Déterminer une équation cartésienne du plan `P` passant par le point `A(-1, 2, 3) ` et perpendiculaire sur la droite `(Delta)` de représentation paramétrique $$ (\Delta) \begin{cases} x= 1-2t \\ \\ y = t \\ \\ z = -1+ t \\ \\ \end{cases} t \in R $$

2) Déterminer les coordonnées du point `I` intersection de `(Delta)` et `(P) `


Solution

On considère la sphère d'équation cartésienne `S : x^2+y^2+z^2-4x-2y+6z +5=0 ` et le plan d'équation cartésienne

`P: 2x-y+3z-2= 0 `

1) Déterminer les coordonnées du centre de la sphère `Omega` , et son rayon `R`

2) a) Calculer la distance `d( Omega, P) ` ,puis en déduire que le plan `P` coupe la sphère selon un cercle `C( H, r) ` de centre `H` et de rayon `r`

b) Déterminer le rayon du cercle`C `

c) Déterminer les coordonnées de `H`


Solution

Déterminer les points d'intersection de la droite `D` et la sphère `S` dans les cas suivants :

1)
on a `S : (x-1)^2+ (y-2)^2+ (z+1)^2= 6 `

et `D ` a pour représentation paramétrique

` x= 2+3t `
`y= 4 +t `
`z= -2+5t `

2) ` S : x^2+y^2+z^2 -2x +2y -1 = 0 `
et `D ` a pour représentation paramétrique

` x= -1+t `
`y= 1+2t `
`z= 2 `

3) ` S : x^2+y^2+z^2 +4x+2y-1 = 0 `
et `D ` a pour représentation paramétrique

` x= 1+t `
`y= 3+t `
`z= -3 -2t `


Solution

On considère les points ` A(-1, 1, 1) ` , `B(7, -5, 5)` et le plan `(Q)` d'équation cartésienne ` 2x-3y +4z+5= 0 ` et `(S)` la sphère de diamètre `[AB]`

1a) Donner une équation cartésienne de `(S)`

b) En déduire le centre `Omega` et la rayon `R` de `(S) `

2) Déterminer une équation cartésienne du plan `(P)` tangente à la sphère au point `A`

3a) Montrer que les plan `(P)` et `(Q)` sont sécants

b) Déterminer une représentation paramétrique de la droite `(Delta)` intersection de `(P)` et `(Q) `


Solution

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct `(O, vec(i), vec(j) , vec(k))`

On considère la sphère `(S)` d'équation cartésienne `x^2+y^2+z^2+4x-2y-2z -19 =0`

1) Montrer que la sphère `(S)` a pour centre `Omega(-2,1,1)` et rayon `R= 5`

2) Soit `(Delta)` la droite de représentation paramétrique

a) Calculer `d(Omega, (Delta))` puis en déduire que la droite est tangente à la sphère `(S)`

b) Déterminer les coordonnées du point `I` du contact de `(S)` et `(Delta)`


Solution

On considère la sphère `(S)` d'équation cartésienne ` x^2+y^2 +z^2 -2x +6y +10z +26 = 0 `

Soit `(P)` le plan d'équation ` x+2y -2z -5 = 0 `

1) Déterminer le centre et le rayon de `(S) `

2) Montrer que le plan `(P)` coupe la sphère `(S)` selon un cercle `(C)` dont on déterminera le centre et le rayon

3) Déterminer une équation cartésienne de chacun des deux plans tangents à `(S)` et parallèles à `(P)`

4) Soit `(Delta)` la droite de représentation paramétrique

Etudier l intersection de la droite `(Delta)` et la sphère `(S) `


Solution

On considère dans l'espace les points suivants : `A(2, 2, -2) , B(-3, 2,3) , C(0,3,0) , D(0, 0, -3) `

Soit `(S)` l'ensemble des points de l'espace tels que ` (S) : AM^2 +BM^2 = (55)/2 `

1a) Déterminer une équation cartésienne de `(S) `

b) En déduire que `(S)` est une sphère dont on déterminera le centre et le rayon

2a) Montrer que ` x-2y +2z+6 = 0 ` est une équation cartésienne du plan `(ACD) `

b) Montrer que le plan `(ACD)` coupe la sphère `(S)` selon un cercle dont on déterminera le centre et le rayon

3) Soit `(Delta)` la droite passant par `A` et dirigée par le vecteur `vec(u)(-2, 0, 1) `

a) Montrer que `(Delta) subset (ACD) `

b) Montrer que `(Delta)` est tangente à `(S) `


Solution

Session de rattrapage 2003


Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j) , vec(k))` On considère le plan `(P) : x-2y+2z-2= 0 `

et la sphère `(S) : x^2+y^2 +z^2 -2x+2z+1= 0 `

1) Déterminer le centre et le rayon de la sphère `(S)`

2) Montrer que le plan `(P)` est tangent à `(S) `

3) Déterminer le triplet de coordonnées du point `I `contact de `(P)` et `(S) `


Solution

Session normale 2006


Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j) , vec(k)) ` On considère le point `A(1, -1, 3) ` et le plan `(P) ` d'équation `x-y+3z= 0 `

1a) Vérifier que est une représentation paramétrique de la droite `(OA)`

b) Déterminer une équation cartésienne du plan `(Q)` perpendiculaire à la droite `(OA)` en ` A `

c) Vérifier que `(P) text{ // } (Q) `

2) On considère la sphère `(S)` tangente au plan `(Q)` en ` A ` telle que la plan `(P)` la coupe en un cercle `(C)` de centre `O` et de rayon `r =sqrt(33) `

a) Montrer que le point `Omega(a, b,c) ` centre de la sphère `(S)` appartient à la droite `(OA)` et en déduire que `b =-a` et `c=3a`

b) Montrer que `OmegaA^2 -OmegaO^2 = 33 ` et en déduire que `a-b+3c= -11`

d) En déduire les coordonnées du point `Omega` puis montrer que le rayon de `(S)` est `R = 2sqrt(11) `


Solution

Session normale 2008


On considère les points `A(0,, -1, 1) ` et `B(1, -1, 0) ` et la sphère `(S)` d'équation cartésienne `(S) : x^2+y^2+z^2 -2x -4z +2 = 0 `

1) a) Montrer que le centre de la sphère `(S)` est le point `Omega(1, 0,2) ` et que son rayon est `R = sqrt(3)`

b) Vérifier que ` A` appartient à la sphère `(S) `

2) Montrer que `x +y +z= 0 ` est une équation cartésienne du plan `(OAB) `

3) Montrer que le plan `(OAB)` est tangent à `(S) ` en `A`


Solution

Session de rattrapage 2008


Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j) , vec(k))` On considère la sphère `(S)` d'équation

`(S) : x^2+y^2 +z^2 -4x -6y +2z+5 = 0 `

et le plan `(P) : x+2y +z-1= 0 `

1) Montrer que le centre de la sphère `(S)` est le point `I(2, 3, -1) ` et son rayon est `R = 3 `

2a) Montrer que `d(I , (P)) = sqrt(6) `

b) En déduire que la plan `(P)` coupe la sphère `(S)` selon un cercle `(Gamma)` de rayon `r = sqrt(3) `

3a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite `(D)` passant par `I` et orthogonal à `(P) `

b) Montrer que le centre de `(Gamma)` est `H(1, 1, -2) `


Solution

Session normale 2018

On considère les points `A(0,-2,-2)` , `B(1,-2,-4)` , `C(-3,-1,2)`

1) a) Montrer que `vec(AB)` ^ `vec(AC) = 2vec(i)+2vec(j)+k`

b) Montrer que l'equation du plan `(ABC)` est `2x+2y+z+6 = 0 `

2) On considère la sphère d'équation `x^2+y^2+z^2-2x-2z-23 = 0 `

Montrer que le centre de `S` est `Omega(1,0,1)` et le rayon `R= 5 `

3) a) Montrer que la représentation paramétrique de la droite `Delta` , passant par `Omega` et
perpendiculaire au plan `(ABC)` est

`x= 1+2t`
`y=2t` , ` t in R `
`z=1+t`

b) Déterminer les cordonnées du point `H` intersection de `Delta` et le plan `ABC`

4) Vérifier que `d(Omega, (ABC))= 3` , puis montrer que `(ABC)` coupe la sphère selon un cercle de rayon `r= 4 ` et de centre `omega` du'on déterminera ses coordonnées


Solution

Session normale 2019

On considère les points `A(1,-1,-1)` , `B(0,-2,1)` , `C(1,-2,0)`

1) a) Montrer que `vec(AB)` ^ `vec(AC) = vec(i)+vec(j)+vec(k)`

b) En déduire que l'équation du plan `(ABC)` est `E : x+y+z+1= 0 `

2) Soit `S` la sphère d'équation ` S : x^2+y^2+z^2 -4x+2y-2z+1= 0 `

a) Montrer que `Omega(2,-1,1)` est le centre de `S` et `R= sqrt(5) ` son rayon

3) a) Calculer la distance `d( Omega, (ABC))`

b) En déduire que `(ABC)` coupe la sphère selon un cercle


Solution
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