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Les suites numériques Cours Cours en vidéos

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Soit `(u_n)` une suite géométrique à termes positifs tels que `u_4= 0,84` et `u_6 =5,25`

1 Calculer la raison `q` de cette suite et le premier terme `u_0`

2 Exprimer `u_n` en fonction de `n`

3 Préciser la monotonie de la suite `(u_n)`


Solution

Soit `(u_n)` la suite numérique définie par `u_0= 1/2 ` et `u_(n+1)=(9u_n)/(4u_n+3)` pour tout ` n in N `

1 Montrer par récurrence que ` forall n in N : u_n ne 0 `

2 Pour tout ` n in N ` on pose `v_n =2-3/u_n` . Montrer que `(v_n)` est géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme


Solution

On considère la suite `(u_n)` définie par `u_0= 0 ` et `u_(n+1)= (2u_n+3)/(u_n+4)` pour tout ` n in N `

On pose pour tout ` n in N : v_n =(u_n-1)/(u_n+3)`

1 Montrer que la suite `(v_n)` est géométrique dont on déterminera la raison


Solution

On considère la suite `(u_n) ` définie par ` forall n in N : u_n = 2^n -7n +1 `

Calculer en fonction de `n` la somme `S_n = u_0+u_1+....u_n `


Solution

Soit `(v_n)` la suite numérique définie par :

` v_0 = 3 `

`v_(n+1)= (2+v_n^2)/(2v_n)` pour tout ` n in N `

1) Montrer par récurrence que ` forall n in N : v_n > sqrt(2) `

2) Etudier la monotonie de la suite `v_n`


Solution

Calculer les sommes suivantes :

`S_1 = 15 +21 + 27 + 33 +.......+603`

`S_2 = 1/3 +1 + 5/3 + 7/3 +.....+(19)/3 +7 `

`S_3 = 1+2/5 +4/(25) + 8/(125) +.........+(256)/(390625)`

`S_4 = 1 +1/(10) +1/(100)+ 1/(1000) +.......+1/(10000000)`

`S_5 = 18 +54 + 162 + .........+39366`

`S_6 = 1 -1/8 +1/(16) -1/(32) +.......+1/( 1048576)`

`S_7 = 1/2 +1/2^2 +.......+1/2^(n-1) ; n in N^(ast) `

`S_8 = x^2+x^4 +x^6 + ........x^(34) ; x in R -{ 1, -1} `


Solution

Soit `(v_n)` la suite numérique définie par ` v_n = sqrt(n+1) -sqrt(n)`

Calculer `v_0 +v_1+.....v_(2018)`


Solution

Soit `(u_n)_(n >=1)` la suite numérique définie par : ` u_n = 1/(n+1) -1/n `

Calculer `u_1+u_2+......+u_(2020)`


Solution

On considère la suite `(S_n)_(n>= 2) ` définie par `S_n =1+1/2^2+1/3^2+.....+1/n^2 `

1) Vérifier que ` forall k in N^(ast) - {1} : 1/k^2 <= 1/(k-1) -1/k `

2) En déduire que la suite `(S_n)_(n >=2) ` est majorée

3) Montrer que `(S_n)_(n >= 2)` est croissante


Solution

On considère la suite `u_n` définie par `u_0= 3/2 ` et ` forall n in N : u_(n+1)= (u_n^2+u_n)/(u_n^2+1) `

1 a) Calculer `u_1`

b) Montrer que ` forall n in N : u_n > 1 `

c) En déduire la monotonie de la suite `(u_n)`

2) a) Montrer que ` forall n in N : u_(n+1) -1 <= 1/2(u_n -1) `

b) En déduire que ` forall n in N : 0 < u_n -1 <= (1/2)^n `

3) Montrer que ` forall n in N : n < sum_{ k = 0}^(n-1) u_k <= n+2(1 -(1/2)^(n))`


Solution

On considère la suite `(u_n)` définie par ` u_(n+1)= n^4 -5n^3 + n -2020 `

Exprimer `u_(n+1) ` en fonction de ` u_n ` et de ` n `


Solution

On considère la suite numérique définie par ` n in N : u_n=(2n+3)/(n+1) `

1 ) Vérifier que pour tout entier `n : u_n= 2+1/(n+1) `

2 ) Déduire que la suite `(u_n)` est bornée


Solution

soit `(u_n)_(n>=n_0)` une suite arithmétique telle que `u_1+u_2 +u_3 = 15 ` Calculer `u_2 `


Solution

Soit `(u_n)` la suite définie par ` u_n = (4n+3)/(2n+1) `

1) Montrer que la suite `(u_n)` est majorée par `3 `

2) Montrer que la suite `(u_n)` est minorée par ` 2 `


Solution

1 On considère la suite `(u_n)` définie par

Montrer par récurrence que `forall n in N : u_n = 8 -(1/4)^(n-1) `

2 On considère la suite `(v_n)` définie par

Montrer que `(v_n)` est arithmétique puis exprimer `(v_n)` en fonction de `n `

3 On considère la suite `(w_n)` définie par

Montrer que la suite `(w_n)` est géométrique puis exprimer `w_n` en fonction de `n`


Solution

soit ` n in N ; ` tel que ` n >= 2 `

1) Montrer que la suite `(S_n)_(n>=2)` définie par ` S_n= sum_{k= 1}^n 1/{n+k} ` est majorée par `3/4`

2) En déduire que la suite `(S_n)_(n >=2)` est convergente


Solution

Soit `(a_n)` et `(b_n)` les suites numériques définies par `a_n = 2sqrt(n+1) -5 ` et `b_n = 5/4+3/(5n+3) `

Montrer que la suite `(a_n)` est croissante et que la suite `(b_n)` est décroissante


Solution

1) Soit `(u_n)` une suite arithmétique de raison ` r = 4 ` et de premier terme `u_0 = -6 `

a) Exprimer `u_n` en fonction de `n` puis en déduire `u_(56)`

b) Calculer ` S_n = u_0 +u_1+......u_n ` en fonction de `n`

2) Soit `(u_n)` la suite numérique définie par ` u_0 = 2 ` et pour tout ` n in N : u_(n+1)= (7u_n -25)/(u_n-3) `

pour tout ` n in N ` on pose ` v_n = 1/(u_n-5) `

a) Montrer que `(v_n)` est arithmétique , Préciser la raison et le premier terme

b) Exprimer ` v_n` puis `u_n` en fonction de ` n `


Solution

Soit `(u_n)` la suite définie par `u_0 = 1 ` et `u_(n+1)= 1+1/(1+u_n) ` pour tout ` n in N `

1) Calculer ` u_1 , u_2 `

2) Montrer que ` forall n in N : 1 <= u_n <= 3/2 `

3) Montrer que `( forall n in N^(ast) ) : abs(u_(n+1) -u_n) <= 1/4abs(u_n -u_(n-1)) `


Solution

1) Soit `(u_n)` une suite géométrique de raison ` q= 2/5 ` et de premier terme `u_0 = 3 `

a) Exprimer `u_n` en fonction de `n`

b) Exprimer `S_n = u_0+u_1+.....u_n ` en fonction de `n`

2) Soit `(u_n)` la suite numérique définie par `u_0 = 1 ` et pour tout ` n in N u_(n+1)= (2n+1)/(4n+6) u_n `

a) Montrer par récurrence que `( forall n in N ) : 0 < u_n <= 1 `

b) Montrer que la suite `(u_n)` est décroissante

3) soit `(v_n)` la suite définie pour tout ` n in N ` par ` v_n = (2n+1)u_n `

a) Montrer que `(v_n)` est géométrique , Préciser la raison et le premier terme

b) Exprimer `v_n` puis `u_n` en fonction de `n `

4) pour tout ` n in N^(ast)` on pose `S_n = v_1+v_2 +.....v_(n-1) `

Exprimer `S_n` en fonction de ` n `


Solution

Soit `(u_n)` la suite numérique définie par `u_0= 1/2 ` et `( forall n in N ) : u_(n+1)= (2u_n)/(1+u_n^2) `

1) Calculer ` u_1 , u_2 `

2) Montrer par récurrence que `( forall n in N ) : 0 <= u_n <= 1 `

3
a) Montrer que la suite `(u_n)` est croissante

b) En déduire que `( forall n in N ) : 1/2 <= u_n `


Solution

On considère les suites `(u_n)` et `(v_n)` définies par :

et

Pour tout ` n in N ` on pose `d_n = u_n -v_n ` et `c_n = u_n +v_n `

1 Montrer que `(d_n)` est géométrique dont on déterminera la raison

2 Montrer que `(c_n)` est une suite constante puis en déduire les expressions de `u_n` et `v_n` en fonction de `n`


Solution

soit ` alpha ` et `beta ` les solutions de l'équation ` x^2-x-1 = 0 `

Pour tout ` n >= 1 ` On pose `S_n = alpha^n +beta^n `

1) Calculer `S_1 , S_2 , S_3 `

2) a) Montrer que ` forall n in N : S_(n+2)= S_(n+1) +S_n `

b) En déduire `S_4` et `S_5 `


Solution

On considère la suite `(u_n)` définie par `u_n = sqrt(2n+1 -2sqrt(n(n+1)))`

Calculer `S_n = sum_{k = 0 }^n u_k `

Sujet des concours


Solution

Soit `(u_n)` la suite numérique définie par

`u_0 in [0 , 1]`
`(forall n in N ) , u_{n+1} = 2+u_n -sqrt(3+(u_n)^2)`

1) a) Vérifier que pour tout ` n in N ` on a `u_{n+1} = 2- 3/{u_n +sqrt(3+(u_n)^2)}`

b) En déduire que `(forall n inN ) : 0<= u_n <= 1 `

c) Etudier la monotonie de la suite `(u_n)`
2)
a) Montrer que `(forall n in N ) : 0 <= 1-u_{n+1} <= (sqrt(3)-1)(1-u_n)`

b) En déduire que `(forall n in N ) : 0 <= 1-u_n <= (sqrt(3)-1)^n(1-u_0)`

3) On pose `S_n =sum_{k=0}^{n-1} sqrt(3+(u_k)^2)` et `T_n = u_n +S_n`

a) Déterminer la nature de la suite `T_n`

b) Exprimer `S_n` en fonction de `n, u_0 , u_n`


sans solution

soit `u_n` la suite numérique définie par
`u_0=1, u_1= 5 `
`u_{n+2} = 4u_{n+1}_4u_n`

Soit la suite `X_n = u_{n+1} -ku_n`

1) Déterminer `k` pour que `X_n` soit géométrique , en déterminant sa raison

2) On suppose que `k=2`

a) Montrer que `u_{n+1} = 2u_n +3*2^n`

b) on pose `w_n = {u_n}/2^n` montrer que `w_n` est arithmétique

c) Déterminer `u_n` en fonction de `n`


Solution

Soit ` n in N^(ast) ` on pose `S_n=sum_{k=1}^n k/n^k`

1) Montrer que ` forall n in N^(ast) : S_n - sum_{k=1}^n 1/n^k = 1/n(S_n - n/n^n)`

2) En déduire que ` forall n >= 2 : S_n = n/{(1-n)^2}- n^2/{(1-n)^2}xx(1/n)^n`


Solution

soit `(u_n)` la suite numérique définie par `u_(n-1)= 3^(2n-3)` pour tout ` n>= 1 `

1) Calculer `u_0 , u_3 `

2) Exprimer `u_n` en fonction de `n`

3) Calculer `u_(n+1)/u_n` et `u_n/u_(n-1) `


Solution

1) Soit `(u_n)` une suite arithmétique de raison `r = 4` et de premier terme `u_0 = -6 `

Calculer `u_6 , u_(12) , u_(35)`

2) Soit `(v_n)` une suite arithmétique telle que `v_1 = 5 ` et `v_(13)=7 `

Calculer la raison et le premier terme de la suite `(v_n) `


Solution

On considère la suite `(u_n)` définie par `u_0= 1 ` et ` forall n in N : u_(n+1)= sqrt(2+u_n) `

1) Calculer `u_1 , u_2 `

2) Montrer par récurrence que ` forall n in N : 0 < u_n < 2 `

3) a) Montrer que `(u_n)` est une suite croissante ,

b) en déduire que ` forall nin N : 1 <= u_n < 2 `

4 a) Montrer que ` forall n in N : 2 -u_(n+1) <= 1/2 ( 2-u_n) `

b)En utilisant la récurrence montrer que ` forall n in N : 2-u_n <= (1/2)^n `


Solution

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